\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \usepackage{floatflt} \usepackage{texdraw, epic, pstcol ,pstricks ,pst-3d, pst-poly,pst-grad,pst-node, pst-text} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^m}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\cb}{\mathbb{C}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\tx}{(\widetilde{X}, \widetilde{x}_0)} \newcommand{\txx}{(\widetilde{X}_1, \widetilde{x}_1)} \newcommand{\txxx}{(\widetilde{X}_2, \widetilde{x}_2)} \newcommand{\x}{(X,x_0)} \newcommand{\xt}{\widetilde{x}} \newcommand{\yt}{\widetilde{y}} \newcommand{\Xt}{\widetilde{X}} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{II.3 Category of covering space and deck transformation group} {\bf Note.} Assume all the spaces are path connected and locally path connected from now on. \begin{defn} Given $\x$, consider a {\bf category} of covering spaces $\tx$ and morphisms between covering spaces. \\ A morphism of $\widetilde{X}_1$ to $\widetilde{X}_2$ is a map $\phi:\widetilde{X}_1\rightarrow \widetilde{X}_2$ such that the diagram \hspace{2em}$\txx\hspace{1em}\overset{\phi}{\rightarrow} \hspace{1em}\txxx$ $ \hspace{3em}p_1\searrow \hspace{2em} \swarrow p_2 \hspace{5em}$ commutes. \hspace{4.5em}$\x$ \end{defn} 즉, 위 diagram 이 commute한다는 말은 fiber를 fiber로 보낸다는 뜻이 된다. \begin{thm} Let $p_i:\widetilde{X}_i\rightarrow X, i=1,2 $ be covering maps. Then a morphism $\phi:(\widetilde{X}_1,\widetilde{x}_1)\rightarrow (\widetilde{X}_2,\widetilde{x}_2)$ exists if and only of $p_{1\sharp}\pi_1(\widetilde{X}_1,\widetilde{x}_1)\subset p_{2\sharp}\pi_1(\widetilde{X}_2,\widetilde{x}_2)$. \\In this case, $\phi$ is unique. \end{thm} \begin{proof} morphism은 본질적으로 lifting이므로, General Lifting Property에 의해 자명하다. uniqueness 역시 lifting의 uniqueness에 의하여 자명하다. \end{proof} \begin{thm} A morphism $\phi$ is a covering map. \end{thm} \begin{proof} Exercise. \end{proof}\\ {\bf Note.} 일반적으로, commute하는 diagram \begin{center} $X \ \overset{p}{\rightarrow}\ Y$\\ $ q\searrow \ \ \swarrow r$\\ $ Z$ \end{center} 에서 2개가 covering이면 나머지도 covering임을 보일 수 있다. ($Z$가 universal covering을 가질때) \begin{thm} Let $p_i:\widetilde{X}_i\rightarrow X, i=1,2 $ be covering maps. Then there exists an isomorphism $\phi:\txx\rightarrow\txxx$ if and only if $ p_{1{\sharp}}\pi_1\txx=p_{2{\sharp}}\pi_1\txxx$ \end{thm} \begin{proof} ($\Rightarrow$) 정리 1을 양쪽으로 적용하면 자명하다.\\ ($\Leftarrow$) 정리 1에 의하여 morphism $\phi:\txx\rightarrow\txxx$, $\psi:\txxx\rightarrow\txx$가 존재하고, $\psi\circ\phi$는 $\widetilde{x}_1$을 $\widetilde{x}_1$으로 보내는 lifting이므로, uniqueness에 의하여 identity map이 된다. 마찬가지로 $\phi\circ\psi$도 identity map이므로, $\phi$는 isomorphism이 된다. \end{proof}\\ 위 정리에서 base point와 무관하게 다음 내용이 성립함을 알 수 있다. \begin{cor} Let $p_i:\widetilde{X}_i\rightarrow X, i=1,2 $ be covering maps. Then there exists an isomorphism $\phi:\widetilde{X}_1\rightarrow\widetilde{X}_2$ if and only if $ p_{1{\sharp}}\pi_1\txx$ and $p_{2{\sharp}}\pi_1\txxx$ are conjugate in $\pi_1(X,x)$ for some $x=p_1(\widetilde{x}_1)=p_2(\widetilde{x}_2)$ \end{cor} \begin{proof} 앞절에서 일반적으로 $p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}_0)$와 $p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}_0')$은 conjugate임을 알고 있으므로 정리 3으로부터 보일 수 있다. \end{proof} \begin{defn} An isomorphism $g:\widetilde{X} \to \widetilde{X}$ is called a {\it deck transformation} (or a {\it covering transformation}). The group of deck transformations is called a deck transformation group and will be denoted by $G$ in this section. \end{defn} {\bf Note.}\\ (1) $g, h \in G$, $h(\xt)=g(\xt)$ for some $\xt$ $\Rightarrow g=h$. Hence $G$-action on $\widetilde{X}$ is free.\\ 이것은 morphism은 lifting이라는 사실로부터 uniqueness에 의하여 당연하다. \\ (2) $G$ acts on $p^{-1}(x)$ (as a permutation group.) \\ 즉, $\xt\in p^{-1}(x)$에 대하여 $p\circ g(\xt)=p(\xt)=x$이므로, $g(\xt) \in p^{-1}(x)$이다.\\ (3) $g\in G$ and $g(\xt_0 )=\xt_1$, then what is g($\yt$) for $\yt\in\Xt$?\\ general lifting property에서 사용한 argument로 부터 $\xt_0$에서 $\yt$로 가는 path를 잡고 이 path를 $X$로 내린 후 $\xt_1$에서 출발하는 path로 다시 올리면 그 끝점이 바로 $g(\yt)$이다. \\ {\bf (참고) Group Action}\\ Let G be a group. G acts on a set X on the left if\\ $\exists\,\,\alp : G \times X \rightarrow X$, denoted by $g\cdot x := \alp (g,x)$ \\ such that (1) $(g\cdot h)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)$, (2) $ e\cdot x= x$, where $e$ is an identity in G.\\ $\bullet$ Orbit of $x=G\cdot x=\{g\cdot x\,\,|\,\,g \in G\}$ ,\\ $\bullet$ Isotropy subgroup at $x=G_x=\{g\in G\,\,|\,\,gx=x\}$\\ $\bullet$ The action is said to be {\it free} if $g\cdot x=x$ for some $x$ implies $g=e$.\\ $\bullet$ The action is said to be \textit{transitive} if $G\cdot x=X$ for some $x\in X$. $\bullet$ 일반적으로 $G/G_x\cong G\cdot x $이 성립한다.\\ (증명)$\phi:G/G_x\rightarrow G\cdot x$를 $\phi(gG_x)=g\cdot x$로 정의하면 well-defined이고 bijection임을 쉽게 보일 수 있다. $\bullet$ $G_{g \cdot \, x} = g \, G_x \, g^{-1}$ \\ (증명) $\subset$ 은 불변,\,\,\, $\supset$ : $ G_x = G_{g^{-1}(gx)} \supset g^{-1}\, G_{gx} \, g$ 에서 나온다. \newpage \section*{Action of paths on fibers} % figure : action of paths on fibers % \psset{unit=2cm} \begin{floatingfigure}[l]{6.5cm} \begin{center} \begin{pspicture}(3,3.2)% %\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green] \rput(1.5,0){ \rput(0,0){\psellipse(0,0)(1.1,0.35)} \pscurve[linewidth=0.03](-1,3)(-1,1.1)(-0.9,1)(0.9,1)(1,1.1)(1,3) \psdot(-0.5,-0.1) \psdot(0.5,0.1) \pscurve(-0.5,-0.1)(0,-.05)(0,.05)(0.2,0.15)(0.5,0.1) \pscurve{->}(-0.5,-0.1)(0,-.05)(0,.05)(0.2,0.15) \psdots(-0.5,1.2)(0.5,1.2)(-0.5,1.4)(0.5,1.4)(-0.5,1.6)(0.5,1.6)% (-0.5,1.8)(0.5,1.8)(-0.5,2.0)(0.5,2.0)(-0.5,2.2)(0.5,2.2)% (-0.5,2.4)(0.5,2.4)(-0.5,2.6)(0.5,2.6)% \rput(0,0.6){$\downarrow p$} }% \rput(1.5,2.1){\pscurve(-0.5,-0.1)(0,-.05)(0,.05)(0.2,0.15)(0.5,0.1) \pscurve{->}(-0.5,-0.1)(0,-.05)(0,.05)(0.2,0.15)} \rput(1.4,2.25){$\widetilde{\sig}$}% \rput(0.9,0.05){$x_0$} \rput(2.15,-0.05){$x_1$} \rput(1.4,0.15){$\sig$}% \rput(1,3){$p^{-1}(x_0)$} \rput(2,3){$p^{-1}(x_1)$} \end{pspicture} \end{center} \caption{Action of paths on fibers} \end{floatingfigure} Given $\sig$ from $x_0$ to $x_1$, a lifting $\widetilde{\sig}$ defines a bijection $\theta_{\sig} : p^{-1}(x_0)\to p^{-1}(x_1)$ where $\theta_{\sig}(\widetilde{\sig}(0))=\widetilde{\sig}(1)$\\ Note. (a) $\sig \sim \tau \Rightarrow \theta_{\sig}=\theta_{\tau}$ \\ \hspace*{33pt}(b) $ \theta_{\sig*\tau}=\theta_{\tau}\circ\theta_{\sig}$\\ 위 note에 의하여 $\theta_{\sig}\circ\theta_{\overline{\sig}}=\theta_{\sig*\overline{\sig}} =\theta_{x_0}=id$이므로, $\theta_{\sig}$는 bijection임을 안다.\\ \vspace{8em} 따라서,\\ (1) $|p^{-1}(x_0)|=|p^{-1}(x_1)|$\\ (2) Have a $\pi_1\x$ (right) action on $p^{-1}(x_0)$:\\ $\xt_0\cdot[\alp]=\theta_\alp(\xt_0)$로 정의하면 위의 Note (a)에 의하여 잘 정의되고, Note (b)에 의하여 $\xt_0\cdot([\alp][\bet])=\theta_{\alp*\bet}(\xt_0)=\theta_{\bet}\circ\theta_{\alp}(\xt_0) =(\xt_0\cdot[\alp])\cdot[\bet]$가 된다. 또한 constant loop를 올리면 constant loop가 되기 때문에 $\xt_0\cdot 1=\xt_0$가 성립하여 right action이 정의된다.\\ Isotropy subgroup at $\widetilde{x_0}=p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})$: (증명)($\subseteq$)만약 $[\alp]\in$ Isotropy subgroup at $\widetilde{x_0}$라면, $\widetilde{x}_0\cdot[\alp]=\widetilde{x}_0$이므로 $\widetilde{\alp}$는 loop가 된다. $[\widetilde{\alp}]\in \pi_1 \tx$에서 양변에 $p_{\sharp}$ 을 취하면 $[\alp]=p_{\sharp}[\widetilde{\alp}]\in p_{\sharp}\pi_1\tx$이다. \\ ($\supseteq$)역으로 $[\beta]\in p_{\sharp}\pi_1\tx$를 잡자. 그러면 어떤 $[\beta ']\in \pi_1\tx$에 대해 $p_{\sharp}([\beta '])=[\beta]$ 이다. 이 때, $\beta$의 lifting을 $\widetilde{\beta}$ 라 두면 $p_{\sharp}[\widetilde{\beta}]=[p\circ \widetilde{\beta}]=[\beta]=p_{\sharp}[\beta ']$.\\ 따라서 $\beta=p\circ \widetilde{\beta}\sim p\circ \beta'$이므로 $\widetilde{\beta}\sim \beta '$ 이 되고, $\beta '$은 loop 이므로 $\widetilde{\beta}$도 loop가 된다. 따라서 $\widetilde{\beta}_{\widetilde{x_0}}(1)=\widetilde{x_0}$ 를 만족한다.\\ (3) $\Xt$ : path connected $\Rightarrow$ $\pi_1$-action is transitive.\\ fiber 상의 임의의 두 점을 연결하는 path가 있으므로, 이 path의 $p$-image는 loop가 되고 이것에 의한 action을 생각하면 자명하다.\\ 위 사실로부터 다음을 알 수 있다. \begin{displaymath} p^{-1}(x_0)\cong \pi_1\x / p_{\sharp}\pi_1\tx \end{displaymath} \begin{cor} If $X$ is simply connected, i.e., $\pi_1(X)=1$, then $p:\widetilde{X}\rightarrow X$ is a homeomorphism. \end{cor} \begin{proof} $\pi_1(X,{x})$이 trivial이므로 그의 subgroup인 $p_{\sharp}\pi_1\tx$ 역시 trivial하다. 따라서 $ |p^{-1}(x)|=|\pi_1(X,{x})|=1$이 되어 $p$는 1-1이 된다. 원래 covering map $p$ 는 onto, continuous, open map이었으므로 $p$는 homeomorphism 이 된다. \end{proof} \section*{Actions of G and $\pi_1\x$ on $p^{-1}(x)$} {\bf Notation.} % $G$= deck transformation group\\ $\Pi=\pi_1(X,x)$, $Y=p^{-1}(x)$, $\Pi_y=p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},y)$\\ 1. Two actions commute, i.e., $g(\xt\cdot[\alp])=g(\xt)\cdot[\alp]$.\\ % figure : Two actions commute. % \psset{unit=2cm} \begin{floatingfigure}[l]{6cm} \begin{center} \resizebox{4.5cm}{4.8cm}{ \begin{pspicture}(3,3.2)% %\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green] \rput(1.5,0){ \rput(0,0){\psellipse(0,0)(1.1,0.35)} \pscurve[linewidth=0.03](-1,3)(-1,1.1)(-0.9,1)(0.9,1)(1,1.1)(1,3) \rput(0,0.6){$\downarrow p$} } \rput(1.8,0){ \pscurve{*-*}(-0.5,-0.1)(-.2,-0.1)(-0,-0.1)(0.2,-.05)(0.2,.05)(-0.5,-0.1) \pscurve{->}(-0.5,-0.1)(-.2,-0.1)(-0,-0.1) \psdots(-0.5,1.2)(-0.5,1.4)(-0.5,1.6)% (-0.5,1.8)(-0.5,2.0)(-0.5,2.2)% (-0.5,2.4)(-0.5,2.6)(-0.5,2.8)% }% \rput(1.8,1.5){ \pscurve(-0.5,-0.1)(-.2,-0.1)(-0,-0.1)(0.2,-.05)(0.2,.2)(-0.5,0.3) \pscurve{->}(-0.5,-0.1)(-.2,-0.1)(-0,-0.1) } \rput(1.8,2.3){ \pscurve(-0.5,-0.1)(-.2,-0.1)(-0,-0.1)(0.2,-.05)(0.2,.2)(-0.5,0.3) \pscurve{->}(-0.5,-0.1)(-.2,-0.1)(-0,-0.1) } \rput(2.2,1.6){$\widetilde{\alp}$}% \rput(2.3,2.4){$g\circ\widetilde{\alp}$}% \rput(1.1,-0.1){$x$} \rput(1.4,0.15){$\alp$}% \rput(1.3,3.1){$p^{-1}(x)$} \rput(1.1,1.4){$\xt$}% \rput(0.9,1.8){$\xt\cdot[\alp]$}% \rput(1.0,2.2){$g(\xt)$}% \rput(0.35,2.6){$g(\xt)\cdot[\alp]=g(\xt\cdot[\alp])$}% \end{pspicture}} \end{center} \caption{Two actions commute} \end{floatingfigure} \begin{proof} $p\circ (g\circ \widetilde{\alp})=p\circ \widetilde{\alp}=\alp$ 이므로 $g\circ \widetilde{\alp}$는 $\alp$의 lifting임을 안다. 이때, $g\circ \widetilde{\alp}$의 시작점은 $g(\widetilde{x})$이므로, $\pi_1$-action의 정의에 따라 $g(\widetilde{x})\cdot[\alp]=(g\circ \widetilde{\alp})(1)$이다. 그런데, $(g\circ \widetilde{\alp})(1)=g(\widetilde{\alp}(1))=g(\xt\cdot[\alp])$ 이므로 $g(\widetilde{x}\cdot [\alp])=g(\widetilde{x})\cdot [\alp]$이 된다. \end{proof}\\ \vspace{9em} 2. (a) By general lifting theorem(또는 앞절 정리3에 의해) , $\exists g\in G$ such that $ g(y)=y' \Leftrightarrow \Pi_y =\Pi_{y'}$.\\ \hspace*{2ex} (b) In general, $\Pi_{y\cdot[\alp]}=[\alp]^{-1}\Pi_y[\alp]$.\\ 위의 (a)와 (b)로부터 다음 사실을 알 수 있다.\\ \hspace*{2ex} (c) \framebox[1.05\width]{\Large $\exists g\in G$ such that $ g(y)=y\cdot [\alp] \iff [\alp]\in N(\Pi_y)$} \\ 여기서 $N(\Pi_y)$는 $\Pi_y$의 Normalizer를 말한다. 즉, $[\alp]\in N(\Pi_y)$는 $[\alp]^{-1}\Pi_y[\alp]=\Pi_y$임을 뜻한다.\\ (d) Define a homomorphism $\theta:N(\Pi_y)\rightarrow G$ by $\theta([\alp])(y)=y\cdot[\alp]$\\ (여기서 $\theta([\alp])$는 deck transformation이므로, uniqueness에 의해 한 점의 image $\theta([\alp])(y)$에 의해 완전히 결정된다. )\\ 먼저 $\theta$가 homomorphism임을 보이자. \\ $\theta([\alp][\bet])(y)=y\cdot([\alp][\bet])=(y\cdot[\alp])\cdot[\bet]\\ =(\theta([\alp])(y))\cdot[\bet]=\theta([\alp])(y\cdot[\bet])$\hspace{2cm}($\because$ Two actions commute.) \\ $=\theta([\alp])(\theta([\bet])\cdot y)=(\theta([\alp])\theta([\bet]))(y)$\\ $\theta$ is onto: \\ 임의의 주어진 $g\in G $에 대해 $y'=g(y)$라 두자. 그리고 $\widetilde{\alp}$를 $y$에서 $y'$ 로 가는 path라 두자. 그러면 loop $\alp=p\circ \widetilde{\alp}$에 대해 $y'=y\cdot [\alp]$ 이 되고 위의 2(c)에 의하여 $[\alp] \in N(\Pi_y)$이 된다.\\ 마지막으로, $ker\theta = \{\alp\in N(\Pi_y)| y\cdot[\alp]=y\}=\Pi_y$임을 알수 있으므로 다음을 얻는다. \begin{center} \framebox[1.1\width]{\Large $N(\Pi_y)/\Pi_y \cong G$} \end{center} 이때, $N(\Pi_y)/\Pi_y \cong G$의 isomorphism을 $\theta_y$라 둔다. 즉, $\theta_y(\overline{[\alp]})=\theta([\alp])$.\\ {\bf Remark.} \\ (1) $\theta_y$ depends on a choice of $y\in p^{-1}(x)$.\\ (2) $\Xt$ is called a universal covering of $X$ if $\Xt$ is simply connected, i.e., $\Xt$ is path-connected and $\pi_1(\Xt)=0$. In this case, it follows that $\pi_1(X)=G$.\\ {\bf 숙제 6.} Universal covering의 경우, $\theta_y$가 $y$의 선택에 따라 어떻게 달라지는가?\\ \newpage \begin{defn} A covering $p:(\Xt,\xt)\to (X,x)$ is a {\it regular (or normal) covering} if $p_\sharp \pi_1 (\Xt,\xt)$ is a normal subgroup of $\pi_1(X,x)$.\end{defn} {\bf Note.} The notion of regular covering is independent of choice of base point, i.e., if $p:(\Xt,\xt_0)\to (X,x_0)$ is a regular covering, then $p:(\Xt,\xt)\to (X,x)$ is also a regular covering.\\ \begin{proof} $\hspace{3em}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}_0)\hspace{2em} \overset{\phi_\rho}{\longrightarrow}\hspace{2em}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$\\ $\hspace*{6em}p_{\sharp}\downarrow\hspace{9.5em}\downarrow p_{\sharp}\hspace{5em}$\\ $\hspace*{5.5em}\pi_1(X,x_0)\hspace{2em}\overset{\phi_{\overline{\rho}}}{\longrightarrow}\hspace{2em}\pi_1(X,x)$\\ $\rho$를 $\xt_0$에서 $\xt$로 가는 path라 하고, $\overline{\rho}=p\circ\rho$라 하면, $\phi_\rho, \phi_{\overline{\rho}}$는 모두 isomorphism이고, 위 diagram이 commute하므로,$p_\sharp \pi_1 (\Xt,\xt_0)$이 $\pi_1(X,x_0)$의 normal subgroup이면 $p_\sharp \pi_1 (\Xt,\xt)$이 $\pi_1(X,x)$의 normal subgroup이 된다. \end{proof} \begin{thm} $p:\widetilde{X}\rightarrow X$ is a regular covering $\Leftrightarrow$ G action on $p^{-1}(x)$ is transitive. \end{thm} \begin{proof} $p$가 regular covering이라는 것은 어떤 $y\in\Xt$에 대하여 $N(\Pi_y)=\Pi$라는 것과 동치이다. 먼저, $N(\Pi_y)=\Pi$라면, 임의의 $y'\in p^{-1}(x), x=p(y)$에 대하여 $y$에서 $y'$으로 가는 path $\widetilde{\alp}$가 존재하고 이것의 $p$-image를 $\alp$라고 하면 $[\alp]\in\Pi=N(\Pi_y)$이고 $y'=y\cdot[\alp]$이다. 따라서, 2.(c)에 의하여 $g(y)=y'$인 $g\in G$가 존재하므로 $p^{-1}(x)=G\cdot y$이다.\\ 역으로 $p^{-1}(x)=G\cdot y$라면, 임의의 $[\alp]\in\Pi$에 대하여, $g(y)=y\cdot[\alp]$인 $g$가 존재하므로 2.(c)에 의하여 $[\alp]\in N(\Pi_y)$가 되어 $N(\Pi_y)=\Pi$가 된다. \end{proof}\\ {\bf Application.} If $\Pi=\pi_1(X)$ for some $X$ and $\Gamma$ is a subgroup of $\Pi$ of index 2, then $\Gamma\lhd\Pi$.\\ \begin{proof} 다음 절의 정리에 따라 $p_\sharp\pi_1\tx=\Gamma$가 되는 covering $\Xt$가 존재하고, index가 2이므로 이 covering은 double covering이 된다. 이 때, 각 fiber의 두 점을 치환하는 map은 deck transformation이 되고 deck transformation group $G$는 order 2인 group이 되므로 $G$-action은 transitive하게 된다. 따라서, 위의 정리에 따라 $\Gamma\lhd\Pi$임을 알 수 있다. \end{proof} \newpage 일반적으로 group $G$가 set $X$에 act하는 경우에 orbit들의 모임 $\{ G\cdot x ~|~ x\in X\}$을 orbit space라고 하고, $G\setminus X$로 쓴다. 이 때, cannonical projection $q:X\to G\setminus X$가 surjection이므로, $G\setminus X$에 quotient topology를 준다. 이때, $q$를 quotient map이라고 부른다. \begin{thm} If $p:\Xt\to X$ is a regular covering, then $X=G\setminus \Xt$. \end{thm} \begin{proof} quotient map $q:\Xt\to G\setminus X$을 생각하면, 정리 6에 의하여 $q$가 바로 covering map $p$와 일치한다는 것을 알 수 있고, 따라서 $X=G\setminus \Xt$이다. \end{proof}\\ 위 정리의 역을 생각하기 위하여 다음을 정의한다. \begin{defn} A group action $(G,\Xt)$ is called a {\it covering action} if\\ (1) $G$-action is free \\ (2) $\forall \xt\in\Xt$, $\exists U$ a neighborhood of $\xt$ such that $g(U)\bigcap U=\varnothing$, $\forall g\in G$. \end{defn} \begin{thm} If $(G,\Xt)$ is a covering action, then the quotient map $q:\Xt\to G\setminus \Xt$ is a regular covering. \end{thm} \begin{proof} covering action의 조건 (2)에 따라, 임의의 $\xt\in \Xt$에 대해 좋은 neighborhood $U$가 존재하여 $g(U)$들이 모두 disjoint하게 된다. 따라서, $g(\xt)\in G\setminus \Xt$의 neighborhood $q(U)$가 바로 evenly covered neighborhood가 되어, $q$가 covering map이 된다. 이때, $G$의 원소들은 deck transformation이 되고, orbit space의 정의에 따라, $G$-action이 transitive임은 당연하다. 따라서, 정리 6에 의하여 regular covering이 된다. \end{proof}\\ {\bf 숙제 7.}. Let $p:\Xt\to X$ be a covering map. Show that $\Xt$ is Hausdorff if $X$ is Hausdorff. Is the converse true?\\ (Hint. Let $f:\rb^2\setminus \{0\} \to \rb^2\setminus \{0\}$ be given by $f=( \begin{array}{rr}2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{array} )$, and\\ \hspace*{3em}consider the action $(G,\rb^2\setminus \{0\})$ where $G=\cong\mathbb{Z}$.) \end{document}