
\documentclass[12pt ]{article}
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\newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}}
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\newcommand{\tx}{(\widetilde{X}, \widetilde{x}_0)}
\newcommand{\txx}{(\widetilde{X}_1, \widetilde{x}_1)}
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\newcommand{\x}{(X,x_0)}
\newcommand{\xt}{\widetilde{x}}
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\newcommand{\Xt}{\widetilde{X}}

\newtheorem{thm}{정리}
\newtheorem{cor}[thm]{따름정리}
\newtheorem{lem}[thm]{보조정리}
\newtheorem{prop}[thm]{명제}
\newtheorem{cl}{Claim}


{\theorembodyfont{\rm}
\newtheorem{ex}{예}
\newtheorem{que}{질문}
\newtheorem{notation}{Notation}[section]
\newtheorem{defn}{정의}
\newtheorem{rem}{주}
\newtheorem{note}{Note}
}
\renewcommand{\thenote}{}
\renewcommand{\therem}{}

\newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}
\newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}

\begin{document}
\parindent=0cm
\psset{unit=2cm}
\section*{III.3 Applications}
1. $X=$ \resizebox{2cm}{0.4cm}{%
\begin{pspicture}(2,.4)%
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green]
\rput(1,0.2){\pscurve(0,0)(-0.5,-.2)(-1,0)(-0.5,0.2)(0,0)}
\rput{180}(1,0.2){\pscurve(0,0)(-0.5,-.2)(-1,0)(-0.5,0.2)(0,0)}
\end{pspicture}}
 \hspace{3ex}
 $\Rightarrow$\hspace{3ex}$\pi_1(X)=\zb \underset{\{e\}}{*} \zb=\zb*\zb=F_2$\\
\hspace*{16em}(Free group with 2 generators)\\
각 circle을 포함하는 open set을 $U$, $V$라고 하면 (즉, $U=$\resizebox{1cm}{0.3cm}{%
\begin{pspicture}(1.1,.4)%
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green]
\psclip{\psframe[linestyle=none](0,0)(1.1,0.5)}
\rput(1,0.2){\pscurve(0,0)(-0.5,-.2)(-1,0)(-0.5,0.2)(0,0)}
\rput{180}(1,0.2){\pscurve(0,0)(-0.5,-.2)(-1,0)(-0.5,0.2)(0,0)}
\endpsclip
\end{pspicture}},$V=$\resizebox{1cm}{0.3cm}{%
\begin{pspicture}(.9,0)(2,.4)%
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green]
\psclip{\psframe[linestyle=none](.9,0)(2.1,0.5)}
\rput(1,0.2){\pscurve(0,0)(-0.5,-.2)(-1,0)(-0.5,0.2)(0,0)}
\rput{180}(1,0.2){\pscurve(0,0)(-0.5,-.2)(-1,0)(-0.5,0.2)(0,0)}
\endpsclip
\end{pspicture}}), $\pi_1(U)=\pi_1(V)=\zb$이고 $\pi_1(U\bigcap V)=\{e\}$이므로
amalgamated product를 생각하면 $\pi_1(X)=F_2$임을 알 수 있다.\\
같은 방법으로 $\pi_1( \raisebox{-2.5ex}{
\resizebox{6ex}{6ex}{%
\begin{pspicture}(2,2)
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green]
\rput(1,1){\pscurve(0,0)(-0.5,-.2)(-1,0)(-0.5,0.2)(0,0)}
\rput{240}(1,1){\pscurve(0,0)(-0.5,-.2)(-1,0)(-0.5,0.2)(0,0)}
\rput{120}(1,1){\pscurve(0,0)(-0.5,-.2)(-1,0)(-0.5,0.2)(0,0)}
\end{pspicture}}})=F_3$(Free group with 3 generators)이다.\\

2.
\begin{floatingfigure}[l]{6cm}
\begin{pspicture}(3,2)%
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green]
% S^2%
\rput(1,1){\psellipse(0,0)(.7,.2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none](-1,0)(1,0)(1,0.5)(-1,0.5)(-1,0)
\psellipse[linestyle=dashed](0,0)(.7,0.2) \pscircle(0,0){.7}
}%
\rput{180}(1.7,1){\pscurve(0,0)(-0.5,-.2)(-1,0)(-0.5,0.2)(0,0)}
\end{pspicture}
\end{floatingfigure}

$S^2$를 포함하는 open set과 circle을 포함하는 open set을 생각하면,
$\pi_1(S^2)=1$, $\pi_1(S^1)=\zb$이고 교집합의 fundamental group은
trivial group이므로, 그림과 같은 surface의 fundamental group은
\begin{displaymath}
1*\zb =\zb
\end{displaymath}
이다.\\

3. $X=M^2$, closed surface.\\
(1) orientable case \\
먼저 Torus의 경우를 생각하면, 앞절에서 살펴본 바와 같이
Fundamental group이 $\zb\bigoplus\zb$이다. 이를 Van-Kampen
Theorem을 이용하여 구해보자.
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0.3)(4,1.7)%
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green]
% Torus%
\rput(1,1){\psellipse(0,0)(1,.7) }
% genus
\rput(1,1){\psarc(0,0.9){1}{240}{300}\psarc(0,-0.95){1}{70}{110} }
 \rput(2.4,1){=}%
\rput(3,0.5){\pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
    \psline{->}(0,0)(0,0.55)
    \psline{->}(0,0)(.55,0)
    \psline{->}(0,1)(.55,1)
    \psline{->}(1,0)(1,0.55)
    \rput(1.1,.5){$b$}
    \rput(.5,-.1){$a$}
    \rput(-.1,.5){$b$}
    \rput(.5,1.1){$a$}

    % 구멍
    \rput(.8,.8){$U$}
    \rput(1.2,.1){$V$}
    \psline{->}(1.1,.1)(.6,.4)
    \rput(.5,.5){\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){0.15}\pscircle(0,0){0.03}}
    }
\end{pspicture}
\end{center}
Torus는 사각형의 각 변을 서로 Identify해 준것과 같다. 오른쪽의
그림에서와 같이 Torus에서 한점 빼준 open set을 $U$, 그점을
포함하는 open neighborhood를 $V$라고 하면, $U\bigcap V$는
annulus와 같으므로 $\pi_1(U\bigcap V)=\zb$이고, $V$는 disk이므로
$\pi_1(V)=\{e\}$이다. 또한 숙제 1에서 $\pi_1(U)=\pi_1($figure
eight$)$임을 알아본 바 있으므로, (실제로 그림에서 figure eight
$a\cup b$는 $U$의 strong deformation retract가 됨을 쉽게 알 수
있다.) $\pi_1(U)=\zb*\zb=F_2$이다.\\
group presentation을 이용하여 amalgamated product를 구하기 위하여
각 group의 generator를 알아보면, $\pi_1(U)$의 generator는 위
그림에서 loop $a$, $b$의 equivalence class들이고, $\pi_1(U\bigcap
V)$의 generator는 점주위를 한바퀴 도는 loop\\
($c$라고 하자)의 equivalence class이다. $\pi_1(V)$의 generator는
없으므로 Amalgamated product는 $a,b$로 generate되는 free group에
relation만 주면 되는데, loop $c$는 $U$의 loop로 보면
$aba^{-1}b^{-1}$이고 $V$의 loop로 보면 constant loop이므로
relation은 $aba^{-1}b^{-1}=1$임을 알 수 있다.\\
따라서, $\pi_1(Torus)=<a,b~|~aba^{-1}b^{-1}>=\zb\bigoplus\zb$이다. \\

마찬가지로 genus가 2인 surface에 대해서 생각해보면, genus가 2인
surface는 Torus를 2개 connected sum해준 것이므로 다음 그림과 같이
8각형을 이용하여 표현할 수 있다.
\begin{center}
\begin{pspicture}(5,2)
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green]
% Torus%
\rput(1,1){\psellipse(0,0)(1,.7) }
% genus
\rput(1,1.2){\psarc(0,0.9){1}{240}{300}\psarc(0,-0.95){1}{70}{110}}%
\rput(1,.8){\psarc(0,0.9){1}{240}{300} \psarc(0,-0.95){1}{70}{110}}%
\rput(2.3,1){=}%
\SpecialCoor  %극좌표계
\degrees[8] \rput(4,1){
\multido{\ni=0.5+1.0,\nj=1.5+1.0}{8} { \psline(1;\ni)(1;\nj)}
    \psline{-<}(1;0.5)(0.9238;1)
    \psline{-<}(1;1.5)(0.9238;2)
    \psline{->}(1;2.5)(0.9238;3)
    \psline{->}(1;3.5)(0.9238;4)
    \psline{-<}(1;4.5)(0.9238;5)
    \psline{-<}(1;5.5)(0.9238;6)
    \psline{->}(1;6.5)(0.9238;7)
    \psline{->}(1;7.5)(0.9238;8)
    \rput(1.1;1){$b$}
    \rput(1.1;2){$a$}
    \rput(1.2;3){$d^{-1}$}
    \rput(1.2;4){$c^{-1}$}
    \rput(1.1;5){$d$}
    \rput(1.1;6){$c$}
    \rput(1.2;7){$b^{-1}$}
    \rput(1.2;8){$a^{-1}$}
    \psline[linestyle=dashed](1;2.5)(1;6.5)
}
\end{pspicture}
\end{center}
오른쪽 그림에서 점선을 따라 자르면 각각은 Torus에 disk를 떼어낸
것과 같음을 알 수 있다. (점선부분이 disk가 된다.) 따라서 위 그림은
2개의 Torus에서 disk를 떼어내고 disk끼리 붙인 것이므로(다시 말해
connected sum)
genus가 2인 surface를 나타낸다.\\
Torus의 경우와 마찬가지로 생각해보면, 이 surface의 fundamental
group은
\begin{displaymath}
<a,b,c,d~|~aba^{-1}b^{-1}cdc^{-1}d^{-1}>
\end{displaymath}
이다. 일반적으로 genus가 $g$인 surface는 $4g$각형으로 표현할 수
있다. 위와 같은 방법으로 $U$, $V$를 잡고 amalgamated product하면
\begin{displaymath}
\pi_1(\Sigma_g)=<a_1,b_1,\cdots,a_g,b_g~|~\prod^g_{i=1}[a_i,b_i]>
\end{displaymath}
임을 알 수 있다. (여기서 $[a_i,b_i]=a_i b_ia_i^{-1}b_i^{-1}$ :
commutator of $a$ and $b$)\\

\newpage
(2) Non-orientable case\\
 Non-orientable surface $M$은
$M=N_k=\rb P^2\sharp\rb P^2\sharp\cdots\sharp\rb P^2$로 나타낼 수
있다.\\
따라서, $M$은 다음 그림과 같이 다각형으로 표현할 수 있다.
\begin{center}
\begin{pspicture}(2,2)
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green]
\SpecialCoor  %극좌표계
\degrees[6]
 \rput(1,1){
\multido{\ni=0.5+1.0,\nj=1.5+1.0,\i=1+1}{6} {
    \psline(1;\ni)(1;\nj)
    \psline{-<}(1;\ni)(0.866;\i)}
    \rput(1.05;1){$a_1$}
    \rput(1.05;2){$a_3$}
    \rput(1.05;3){$a_3$}
    \rput(1.05;4){$a_2$}
    \rput(1.05;5){$a_2$}
    \rput(1.05;6){$a_1$}
    \psline[linestyle=dashed](1;1.5)(1;5.5)
    \psline[linestyle=dashed](1;1.5)(1;3.5)
    \psline[linestyle=dashed](1;3.5)(1;5.5)
}
\end{pspicture}
\end{center}
위 그림은 $M=N_3$의 경우인데 점선을 따라 자르면 가운데 삼각형은
$S^2$에서 disk를 3개 떼어낸 것과 같고 나머지 삼각형들은 $\rb
P^2$에서 disk를 떼어낸 것과 같다.(마찬가지로 점선부분이 disk가
된다.) 따라서 위 도형은 $\rb P^2$ 3개를 connected sum한 것과 같다.\\
orientable case와 마찬가지로 open set $U$,$V$를 잡고 Fundamental
group을 계산하면,
\begin{displaymath}
\pi_1(N_k)=<a_1,\cdots,a_k ~|~a_1^2a_2^2\cdots a_k^2 >
\end{displaymath}
임을 알 수 있다. 특히 $k=1$이면 $\pi_1(\rb
P^2)=<a~|~a^2>=\zb/2$이다.\\

{\bf 숙제 10.} $K$ : Klein Bottle \\
Since $K=\rb P^2\sharp\rb P^2=N_2$, We know $\pi_1(K)=<a,b~|~a^2
b^2>$.\\
But from $K=$%
\raisebox{-1cm}{ \psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(1.25,1.25)
\pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
    \psline{->}(0,0)(0,0.55)
    \psline{->}(0,0)(.55,0)
    \psline{->}(0,1)(.55,1)
    \psline{-<}(1,0)(1,0.55)
\rput(-.15,.5){$d$} \rput(1.15,.5){$d$} \rput(.5,1.15){$c$}
\rput(.5,-.15){$c$}
\end{pspicture}
}%
, we get $\pi_1(K)=<c,d~|~ cdc^{-1}d>$.\\
(1) Compare two presentations.\\
(2) Find $\pi_1(T^2)$ in $\pi_1(K)$ as a subgroup of index 2. \\
(3) Can you show $\pi_1(K)$ is non-abelian?\\

\newpage
4. $X=S^n$, $n\geq 2$ $\Longrightarrow \pi_1(S^n)=0$ \\
북반구를 포함하는 open ball을 $U$, 남반구를 포함하는 open ball을
$V$라 하면 $U$, $V$는 모두 disk이므로 $\pi_1(U)=\pi_1(V)=0$이다.
따라서 이들을 amalgamated product하면 $\pi_1(S^n)=0$이다.(여기서 $n\geq 2$이어야 $U\bigcap V$가 path connected이다.)\\
또한 $S^n$은 $\rb P^n$의 double covering space라는 사실로부터
$\pi_1(\rb P^n)=\zb/2$임을 알 수 있다.\\

이를 이용하면 다음 정리를 얻는다.
\begin{thm}[Borsuk-Ulam]
\hfill\\
\textcolor{blue}{(1) There is no anti-pode preserving map $f:S^n \to S^1$. \\
(2) Let $f:S^n \to \rb^2$ $\Rightarrow$ $\exists x\in S^n$ such
that $f(x)=f(-x)$.}
\end{thm}
\begin{proof}
(1) anti-pode preserving map $f$가 존재한다면 다음 diagram이
commute한다.\\
$\hspace*{5em}S^n\hspace{1em}\overset{f}{\longrightarrow}\hspace{1em}S^1$\\
$\hspace*{4.3em}q\downarrow\hspace{5em}\downarrow r$\\
$\hspace*{4.5em}\rb P^n\hspace{.7em}\overset{\bar{f}}{\longrightarrow}\hspace{1em}\rb P^1 =S^1$\\
이 때, $q$와 $r$은 quotient map이며 $f$가 anti-pode
perserving이므로, $\bar{f}$가 잘 정의된다. \\
$\bar{f}_\sharp : \pi_1(\rb P^n) \to  \pi_1(\rb P^1)$을 생각하면,
$\pi_1(\rb P^n)=\zb/2$이고 $\pi_1(\rb P^1)=\zb$이므로
$\bar{f}_\sharp=0$이다. 따라서, $\rb P^n$의 loop의
$\bar{f}$-image는 $\rb P^1$에서 constant loop와 homotopic한 loop가
되고 이 loop를 $S^1$으로 올리면 constant loop와 homotopic한 loop가
되어야 한다. \\
그런데, $\pi_1(\rb P^n)=\zb/2$이므로 $\rb P^n$에는 constant loop와
homotopic하지 않은 loop가 존재하고, $S^n$에서 $x_0$와 $-x_0$를
연결하는 path를 project시킨 것이 이러한 성질을 가지고 있다. 이
path의 $f$-image는 anti-pode preserving이라는 가정에서 $S^1$의
loop가 되지 않으므로 diagram이 commute한다는 사실에 모순이다.
따라서 anti-pode preserving map $f$는 존재하지 않는다. \\

(2) 임의의 $x\in S^n$에 대하여 $f(x)\neq f(-x)$이라고 가정하자. \\
$g:S^n \to S^1$을 $g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{|f(x)-f(-x)|}$로
정의하면 $g$는 anti-pode preserving map이 되므로 모순이다.
\end{proof}\\

5. $\pi_1(M^n\sharp N^n)=\pi_1(M^n)*\pi_1(N^n)$ if $n\geq 3$. \\
$M\setminus B^n$을 살짝 포함하는 open set $U$, $N\setminus B^n$을
살짝 포함하는 open set $V$를 $\pi_1(U\bigcap
V)=\pi_1(S^{n-1})=0$이 되도록 잡을 수 있으므로 자명하다.


\end{document}