\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \usepackage{floatflt} \usepackage{texdraw, epic, pstcol ,pstricks ,pst-3d, pst-poly,pst-grad,pst-node, pst-text} \usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^m}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\cb}{\mathbb{C}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\zb}{\mathbb{Z}} \newcommand{\tx}{(\widetilde{X}, \widetilde{x}_0)} \newcommand{\x}{(X,x_0)} \newcommand{\pnx}{\pi_n(X,x_0)} \newcommand{\xt}{\widetilde{x}} \newcommand{\yt}{\widetilde{y}} \newcommand{\Xt}{\widetilde{X}} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{IV.3 Some basic properties of $\pi_n$.} \begin{thm} $\pi_n(X\times Y, (x_0,y_0)) \cong \pi_n\x \times\pi_n(Y,y_0)$ \end{thm} \begin{proof} Exactly same as $\pi_1$-case.\end{proof} \begin{thm} Let $p : \tx \to \x $ be a covering space. Then $p_* : \pi_n\tx \to \pnx$ is an isomorphism for $n\geq 2$. \end{thm} \begin{proof} (1) $p_*$ is one to one :\\ $p_*[\alp]=0$이라면 $p\circ \alp \sim x_0$이므로, covering homotopy property에 의하여 $\alp \sim \xt_0$이 되어 $[\alp]=0$이다. (Lifting property section의 따름정리 5 참조) 따라서 $p_*$는 one to one이다. \\ (2) $p_*$ is onto :\\ 임의의 $\alp :(S^n, e_1)\to \x$에 대하여 $\pi_1(S^n)=0$이므로 ($n\geq 2$), general lifting theorem의 가정을 만족한다. 따라서, $\alp$의 lifting $\widetilde{\alp}:(S^n, e_1)\to \tx$가 존재한다. 이때, $p_*[\widetilde{\alp}]=[\alp]$이므로, $p_*$는 onto이다. \end{proof}\\ {\bf Examples.}\\ 1. $\pi_n(S^1)=\pi_n(\rb)=0$.\\ $\rb$은 contranctible space이므로 $\pi_n(\rb)=0$이고, $\rb$는 $S^1$의 universal covering space이므로 위의 정리에 의하여 자명하다.\\ 2. $\pi_n(T^2)=\pi_n(S^1\times S^1)=\pi_n(S^1)\times \pi_n(S^1) =0$.\\ 3. $\pi_n($Closed surface with genus $g\geq 1)=\pi_n(\triangle )=0$ ($\triangle=$Open unit disk).\\ 2.에서 살펴본 Torus의 경우는 다음과 같은 방법으로도 생각할 수 있다. Torus는 4각형의 마주보는 변을 서로 identify한 것으로 나타낼 수 있는데 이 identification들은 각각 가로, 세로 평행 이동에 의해 realize되고, 이 사각형을 평행이동하면 평면전체를 tile처럼 덮을 수 있는 소위 "tessellation"을 주게되어, $\rb^2$는 이 평행이동들을 deck transformation group으로 가지는 Torus의 covering space가 된다. \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(4,2) %\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green] % Torus \rput(3,0.5){\pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \psline{->>}(0,0)(0,0.55) \psline{->}(0,0)(.55,0) \psline{->}(0,1)(.55,1) \psline{->>}(1,0)(1,0.55) \rput(0.5,-0.3){Torus} } %R2 \rput(1,1){ \psline[linewidth=0.5mm]{->}(-1,0)(1,0) \psline[linewidth=0.5mm]{->}(0,-1)(0,1)% \multido{\na=-0.8+0.4}{5}{ \psline(-0.9,\na)(0.9,\na) \psline(\na,-0.9)(\na,0.9) } \psline{->}(0.22,0.2)(0.6,0.2) \psline{->}(0.2,0.22)(0.2,0.6) } \rput(2.5,1){$=$} \end{pspicture} \end{center} 따라서, $\pi_n(T^2)=\pi_n(\rb^2)=0$임을 다시 확인할 수 있다. \\ 일반적으로 genus가 $g$인 surface는 $4g$각형으로 나타낼 수 있는데, $g>1$인 경우에는 꼭지각이 $\frac{2\pi}{4g}$가 아니므로 이 $4g$각형을 평행이동하여 평면의 tessellation을 줄 수 없다. 따라서, 다음과 같은 Poincar\'{e} disk에서 생각한다. \\ \begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(4.5,2.2) %\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green] \SpecialCoor %극좌표계 \degrees[8] % Poincare disk% \rput(1,2.15){\bf Poincar\'{e} disk}% \rput(1,1){\pscircle(0,0){1} \psbezier(1;1.7)(.5;1.7)(.5;3.5)(1;3.5) \psbezier(1;2.5)(.5;2.5)(.5;4.5)(1;4.5) \psline(1;1)(1;5)} %직각표시 \rput(1,1){\psline(.65,0.65)(0.7,0.6)(0.75,0.65)} \rput{.7}(1,1){\psline(.65,0.65)(0.7,0.6)(0.75,0.65)} \rput{1.5}(1,1){\psline(.65,0.65)(0.7,0.6)(0.75,0.65)} \rput{2.5}(1,1){\psline(.65,0.65)(0.7,0.6)(0.75,0.65)} \rput{3.5}(1,1){\psline(.65,0.65)(0.7,0.6)(0.75,0.65)} \rput{4}(1,1){\psline(.65,0.65)(0.7,0.6)(0.75,0.65)} \rput(3.5,1){\pscircle(0,0){1} \multido{\ia=0+1,\ib=1+1}{8}{\psbezier(1;\ia)(.7;\ia)(.7;\ib)(1;\ib) \psbezier(.5;\ia)(.35;\ia)(.35;\ib)(.5;\ib) \psline[linestyle=dotted](0;0)(1;\ia)}% \rput(.3,0){\small $45^\circ$} \rput(.75,0){\small $0^\circ$} } \end{pspicture} \end{center} Poincar\'{e} disk는 평면상의 open disk에 왼쪽 그림과 같이 원과 직각으로 만나는 원호(또는 중심을 통과하는 직선)가 측지선이 되도록 metric을 준 것이다. 즉, 8각형($g=2$)의 경우를 예로 들면 오른쪽 그림과 같은 곡선이 Poincar\'{e} disk에서의 8각형이 된다. \\ 이 때, 바깥쪽 8각형에서 꼭지각은 $0^\circ$이고, 안쪽으로 접근할수록 측지선이 평면상의 직선에 가까워지므로 꼭지각이 평면에서와 같은 $135^\circ$에 수렴한다. 따라서 그림과 같이 중간에 꼭지각의 크기가 $45^\circ$가 되는 8각형을 잡을 수 있다. 이 8각형을 "평행이동"하면 8개의 꼭지점이 모두 한점에 모이므로 Poincar\'{e} disk에 tessellation을 줄 수 있다. \\ 같은 방법으로 다른 $4g$각형에 대해서도 모두 평행이동을 통하여 Poincar\'{e} disk에 tessellation을 줄 수 있으므로, Poincar\'{e} disk는 genus $g$인 surface의 covering space가 된다. \\ 그런데, Poincar\'{e} disk 역시 contractible space이므로 \begin{center}$\pi_n($Closed surface with genus $g\geq 1)=\pi_n(\triangle )=0$\end{center}를 얻는다.\\ 이와 같이 $\pi_1(X)=\Pi$, $\pi_n(X)=0, n\geq 2$가 되는 space를 $K(\Pi,1)$-space라고 부른다. \\ \newpage \begin{thm} If $n\geq 2$, then $\pi_n\x$ is abelian. \end{thm} \begin{proof} Define \[ \alpha \circ \beta (t_1, t_2,\cdots,t_n)= \begin{cases}\alpha(t_1, 2t_2,\cdots,t_n)&\text{if $ 0\leq t_2 \leq \frac{1}{2}$} \\ \beta(t_1,2t_2-1,\cdots,t_n)&\text{if $\frac{1}{2}\leq t_2 \leq 1$} \end{cases} \] 즉, $\alp*\bet$는 첫번째 변수에 대하여 붙인 것인데 $\alp\circ\bet$는 두번째 변수에 대하여 붙인 것이다. 정의로 부터 다음을 바로 알수 있다. (그림에서 가로축은 $I_1$, 세로축은 $I_2$을 나타내며 $I_3,\cdots,I_n$은 생략되어 있다.) \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(6,3) %\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green] \rput(0,2){\pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \psline(0.5,0)(0.5,1) \rput(0.25,0.5){$\alp$} \rput(0.75,0.5){$\bet$} \rput(0.5,-0.2){$\alp*\bet$} } % \rput(1.75,2.5){$\sim$} \rput(1,1.8){$\sim$} \rput(2.5,2){\pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \psline(0.5,0)(0.5,1) \psline(0,0.5)(1,0.5) \rput(0.25,0.75){$\alp$}\rput(0.25,0.25){$x_0$} \rput(0.75,0.75){$x_0$}\rput(0.75,0.25){$\bet$} \rput(0.5,-0.2){$(x_0\circ\alp)*(\bet\circ x_0)=(x_0*\bet)\circ(\alp*x_0)$} } \rput(4.5,2.5){$\sim$} \rput(5,1.8){$\sim$} \rput(5,2){\pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \psline(0,0.5)(1,0.5) \rput(0.5,0.75){$\alp$}\rput(0.5,0.25){$\bet$} \rput(0.5,-0.2){$\bet\circ\alp$}} \rput(1.2,0.9){$\sim$} \rput(.5,0.2){$\sim$} \rput(2,.4){\pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \psline(0.5,0)(0.5,1) \psline(0,0.5)(1,0.5) \rput(0.25,0.75){$x_0$}\rput(0.25,0.25){$\bet$} \rput(0.75,0.75){$\alp$}\rput(0.75,0.25){$x_0$} \rput(0.5,-0.2){$(\bet*x_0)\circ(x_0*\alp)=(\bet\circ x_0)*(x_0\circ\alp)$} } % \rput(3.8,0.9){$\sim$} \rput(4.4,0.2){$\sim$} \rput(4.4,.4){\pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \psline(0.5,0)(0.5,1) \rput(0.25,0.5){$\bet$} \rput(0.75,0.5){$\alp$} \rput(0.5,-0.2){$\bet*\alp$} } % \end{pspicture} \end{center} 따라서, $\pi_n\x$은 abelian이다. \end{proof}\\ {\bf \large $\Omega$-version} \\ 위 정리를 loop space $\Omega$를 이용하여 증명해 보자. \begin{defn} $(X, \mu, x_0)$ is an H-space if\\ \hspace*{2ex} (1) $\mu: X\times X \to X$ is continuous. Write $\mu(x,y)=xy$.\\ \hspace*{2ex} (2) %diagram 그리기 $% \xymatrix @M=1ex @C=1.5cm @R=4ex @*[c] { % X \ar[r]^{(id,x_0)} \ar[dr]_{id} & X\times X \ar[d]^\mu & X \ar[l]_{(x_0,id)} \ar[dl]^{id} \\ &X&} $ \raisebox{-.5cm}{\parbox{5cm}{commute up to homotopy relative to $x_0$}} \end{defn} \bigskip 즉, 위의 (2)는 다음과 동치이다. \\ $L_{x_0}: X \to X$ defined by $L_{x_0}(x)=x_0x$ is homotopic to $id$ (rel $x_0)$ and \\ $R_{x_0}: X \to X$ defined by $R_{x_0}(x)=xx_0$ is homotopic to $id$ (rel $x_0)$.\\ H-space의 예로는 Topological group, loop space $\Ome$등이 있다. \begin{thm} $\Ome$ is an H-space. \end{thm} \begin{proof} (1) Define $\mu:\Ome\times\Ome\to\Ome$ by $\mu(\alp,\bet)=\alp*\bet$ \\[3mm] {\bf 숙제 13.(1)} Show \parbox{5.5cm}{$(X,x)^{(I,1)} \times (X,x)^{(I,0)}\to X^I\\ \hspace*{3em}(\alp, \ \bet)\hspace{1.5cm}\mapsto \alp\bet$} is continuous.\\[3mm] ({\bf 숙제 13.(2)}는 아래에) \\ (2) Show $L_{x_0} \simeq id$ (rel $x_0$) : (Similarly for $R_{x_0}$)\\ $H: \Ome \times I \to \Ome$를 다음과 같이 정의한다. \\ $H(\alp,s)=\alp_s$, $\alp_s(t):=\alp\circ F(s,t)$ where \begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(0,-0.2)(3,1.2) %\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green] \pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)(0.5,0) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0,1)(.5,0) \rput(1.3,0.6){$F$}\rput(1.3,0.5){$\longrightarrow$} \rput(1.6,0){\psline{|-|}(0,0.5)(1,0.5)\rput(0.01,0.35){$0$}\rput(1,0.35){$1$}} \rput(2.9,0.6){$\alp$}\rput(2.9,0.5){$\longrightarrow$} \rput(3.2,0.5){$X$} \pscurve{->}(0.2,0.1)(0.5,-0.1)(1,-0.2)(1.6,0.5) \rput(0.15,0.4){$x_0$} \rput(0.75,0.1){$\alp$} \rput(0.5,1.1){$\alp$} \rput(0.9,-0.1){$t$}\rput(-0.1,0.9){$s$} \end{pspicture} \end{center} 즉, $F$는 각 $s$-level에서 빗금친 부분을 $0$으로 나머지 부분을 linear하게 $I$로 보내주는 함수이고, 따라서 $\alp_s$는 $0\leq t\leq\frac{1}{2}-\frac{1}{2}s$일때 $x_0$에 머물러있다가 $\alp$를 가는 curve가 된다. \\ 이 때, $H$가 $L_{x_0}$와 $id$ 사이의 homotopy임을 보이자.\\ 먼저 $H_0=L_{x_0}$,$H_1=id$임은 자명하다. \\ $G:\Ome\times I_s\times I_t\to X$를 $G(\alp, s, t)=\alp(F(s,t))$로 잡으면 $\widehat{G}=H$이므로, $H$가 연속임을 보이기 위하서는 $G$가 연속임을 보이면 충분하다. 그런데, $G$는 \begin{center} $G:\Ome\times I_s\times I_t\overset{id\times F}{\longrightarrow} \Ome\times I \overset{evaluation}{\longrightarrow} X$\\ $\hspace*{5em}(\alp,s,t)\longmapsto (\alp,F(s,t))\longmapsto \alp(F(s,t))$ \end{center} 와 같이 연속함수들의 합성이므로 연속이다. 따라서 $L_{x_0} \simeq id$. \end{proof} \begin{thm} Suppose $(X,e)$ is an H-space. Then $\pi_1(X,e)$ is abelian. \end{thm} \begin{proof} {\bf 숙제 13.(2)} (Hint. Almost same as the case of topological group.) \end{proof}\\ 이제 위의 두 정리로부터 다음의 따름정리를 얻는다. \begin{cor} If $n\geq 2$, $\pi_n\x$ is abelian. \end{cor} \end{document}