\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \usepackage{floatflt} \usepackage{texdraw, epic, pstcol ,pstricks ,pst-3d, pst-poly,pst-grad,pst-node, pst-text} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^m}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\cb}{\mathbb{C}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\zb}{\mathbb{Z}} \newcommand{\tx}{(\widetilde{X}, \widetilde{x}_0)} \newcommand{\x}{(X,x_0)} \newcommand{\pnx}{\pi_n(X,x_0)} \newcommand{\xt}{\widetilde{x}} \newcommand{\yt}{\widetilde{y}} \newcommand{\Xt}{\widetilde{X}} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{V.3 Simplicial approximation theorem} % baricenter % \begin{floatingfigure}[r]{4.5cm} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(2,2)% \pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.732) \psline(0,0)(1.5,0.866)\psline(2,0)(.5,0.866)\psline(1,0)(1,1.732) \rput(-0.2,-0.2){$a_1$} \rput(1,1.9){$a_0$} \rput(2.2,-0.2){$a_2$} \rput(1.95,1.6){$\widehat{\sig}$} \psline{->}(1.8,1.4)(1.02,0.62) \psdots[dotscale=1](0,0)(2,0)(1,1.732) \end{pspicture} \end{floatingfigure} {\bf Barycentric subdivision}\\ Given $\sig =\subset \rb^N$, the \emph{\textbf{barycenter}} $\widehat{\sig}$ of $\sig$ is defined by \[ \widehat{\sig}= \displaystyle{\frac{1}{n+1} \sum^n_{i=0}} a_i. \] \vspace{1em} \begin{defn} Let $K$ be a simplicial complex in $\rb^N$, the \emph{\textbf{baricentric subdivision}} of $K$, denoted by $ sd K$, is defined inductively as follows\\ 1. $L_0:=V(K)$.\\ 2. Given $L_p$, $L_{p+1}$ is the simplicial complex determined by $ \displaystyle{\bigcup_{\sig\in K^{p+1}}}\{\widehat{\sig}*\partial\sig \}$\\ \hspace*{1em} where $\partial\sig$ is viewed as a subcomplex of $L_p$. \\ 3. $sdK=\bigcup L_p$. \end{defn} \begin{center} \psset{unit=1.3cm} \begin{pspicture}(0,-0.4)(2.5,2)% \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2,0)(1,1.732) \psline(2,0)(2.5,1) \psdots[dotscale=1.5](0,0)(2,0)(1,1.732)(2.5,1) \rput(1.3,-0.4){$K$} \end{pspicture} \vspace{2em} \begin{pspicture}(0,-0.4)(2.5,2)% \psdots[dotscale=1.5](0,0)(2,0)(1,1.732)(2.5,1) \rput(1.3,-0.4){$L_0$} \end{pspicture} \hspace{1.5em} \begin{pspicture}(0,-0.4)(2.5,2)% \pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.732) \psdots[dotscale=1.5](0,0)(2,0)(1,1.732)(1,0)(.5,0.866)(1.5,0.866)(2.5,1)(2.25,0.5) \psline(2,0)(2.5,1) \rput(1.3,-0.4){$L_1$} \end{pspicture} \hspace{1.5em} \begin{pspicture}(0,-0.4)(2.5,2)% \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2,0)(1,1.732) \psdots[dotscale=1.5](0,0)(2,0)(1,1.732)(1,0)(.5,0.866)(1.5,0.866)(2.5,1)(2.25,0.5)(1,0.577) \psline(2,0)(2.5,1) \psline(0,0)(1.5,0.866)\psline(2,0)(.5,0.866)\psline(1,0)(1,1.732) \rput(1.3,-0.4){$L_2$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{2em} {\bf Note.} Abstractly,\\ 1. $V(sdK)= \displaystyle{\bigcup_{\sig\in K}}\{\widehat{\sig}\}$\\ 2. $sd K= \{<\widehat{\sig}_1,\cdots,\widehat{\sig}_p> | ~\sig_1 <\cdots <\sig_p, p=1,2,\cdots, \sig_i\in K \}$,\\ \hspace*{1em} where $<$ denotes proper face. \\ 3. $|sdK|=|K|$ as a topological space. \begin{defn} $K$ : a finite simplicial complex in $\rb^N$. \\ \hspace*{3.2em}$mesh(K) = max\{diam(\sig)~|~ \sig\in K\}$. \end{defn} \begin{thm} \hfill\\ (1) $\sig$ : $n$-simplex in $\rb^N$ $\Rightarrow mesh(sd\sig)\leq \frac{n}{n+1}mesh(\sig)$.\\ (2) $K$ : $n$-dimensional finite simplicial complex in $\rb^N$\\ \hspace*{2em} $\Rightarrow mesh(sdK)\leq \frac{n}{n+1}mesh(K)$ \end{thm} \begin{proof} (2)는 (1)의 내용과 $\frac{x}{x+1}$이 증가함수라는 사실로부터 바로 나오므로, (1)을 증명하자. 이를 증명하기에 앞서 다음 Note를 살펴보자. {\bf Note.} 1. $\forall\,\, \sigma,\,\, \exists\,$ an edge $ e<\sigma ,$ such that $diam(\sigma)=length(e)$. 2.$\forall \,\,x\in\sigma,\,\,|~\hat{\sigma}-x|\leq |~\hat{\sigma}-v|$ for some vertex $v$ of $\sigma$, and\\ $|~\hat{\sigma}-v_0|=|~v_0-\displaystyle{\frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n} v_i| = |~\displaystyle{\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n (v_i-v_0)} | \leq \displaystyle{\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n |~v_i-v_0|} $\\ \hspace*{3.8em}$ \leq \displaystyle{ \frac{n}{n+1}max |~v_i-v_0|} $ $ \displaystyle{\leq\frac{n}{n+1}mesh(\sigma) } $\\ 이제 (1)의 증명을 하자. $\forall\,\tau \in sd(\sigma)$에 대해 $\tau$의 모든 edge $e$는 barycenter에서 혹은 face의 barycenter에서 나가므로 Note 2에 의해 $length(e)\leq \frac{n}{n+1}mesh(\sigma)$ 이다. 따라서 Note 1에 의해 $mesh(\tau)\leq\frac{n}{n+1}mesh(\sigma)$ 이다. \end{proof} \begin{cor} $mesh(sd^N K)\leq C(\frac{n}{n+1})^N$ and converge to $0$ as $N\rightarrow \infty$.\\ \end{cor} {\bf Note.} $g:K \rightarrow L$, a simplicial map \\ \hspace*{3em}$\Rightarrow g(st(v))\subset st(g(v))$, $\forall v \in V(K)$.\\ \begin{proof} $x\in st(v)\Leftrightarrow t_v(x)>0$.\\ $g$가 simplicial map이므로 $t_{g(v)}(g(x))\geq t_v(x)$이고 따라서 $x\in st(v)$이면 $ t_{g(v)}(g(x))>0$이고 $g(x)\in st(g(v))$. \end{proof}\\ \begin{prop} Let $f:|K|\rightarrow |L|$ be a map and $g:|K|\rightarrow |L|$ be a simplicial map. Then the followings are equivalent. (1) $\forall\,x\in|K|$, $f(x)\in \overset{\circ}\tau \Rightarrow g(x) \in \tau$. (2) $\forall\,x\in|K|$, $f(x)\in \tau \Rightarrow g(x) \in \tau$. (3) $v\in V(K),f(st(v))\subset st(g(v))$. \end{prop} \begin{defn} Such simplicial map $g$ is called a \emph{\textbf{Simplicial approximation}} of $f$. \end{defn} \begin{proof} (2)$\Rightarrow $(1)은 당연하다. \\ (1)$\Rightarrow$(3) $x\in st(v)$,$f(x)\in\overset{\circ}\tau$ 라 놓자. 가정으로부터 $t_v(x)>0,\,\,g(x)\in\tau$이다. 이때, $t_{g(v)}(g(x))\geq t_v(x)>0$이므로, $g(x)\in st(g(v))$이다. 그런데 $g(x)\in \tau$임을 알고 있으므로, $g(v)$는 $\tau$의 vertex이고, $\overset{\circ}\tau\subset st(g(v))$이다. 따라서 $f(x)\in\overset{\circ}\tau\subset st(g(v))$. (3)$\Rightarrow $(2) $x\in\overset{\circ}\sigma$ 이고, $f(x)\in\tau$라고 가정하자. 이 때, 임의의 $v\in V(\sigma)$ 에 대해 $x\in st(v)$이다. $f(st(v))\subset st(g(v))$로부터 $ f(x)\in st(g(v))$ 이고 따라서 $g(v)$는 $\tau$의 vertex가 된다. 임의의 $v\in V(\sigma)$에 대하여 성립하므로, $g(\sigma)\subset \tau$ 이고 $g(x)\in \tau$이다. \end{proof} \begin{thm} Let $f:|K|\rightarrow |L|$ be a map which satisfies "star condition", i.e., $\forall\,\,v\in V(K),\,\,\exists\,\,w\in V(L)$ such that $f(st(v))\subset st(w)$. \\ Then there exists $g:K\rightarrow L$ which is a simplicial approximation of $f$. \end{thm} \begin{proof} 모든 $v\in V(K)$에 대해 $f(st(v))\subset st(w)$를 만족하는 아무런 $w$ 를 선택하여 $g(v)=w$로 정의하자. \\ 이제 이 $g$가 simplicial map임을 보이기 위해 $$가 simplex이면, $$가 simplex임을 보이자. simplex $\sigma=$로 놓으면 $x\in\overset{\circ}\sigma$가 존재하고, $x\in\displaystyle{\bigcap_{i=0}^k}st(v_i)$이다. \\이 때, $f(x)\in \displaystyle{f(\bigcap st(v_i))\subset \bigcap f(st(v_i))\subset \bigcap st(w_i)}\,,\,w_i=g(v_i)$이 되어 모든 $i$에 대해 $t_{w_i}(f(x))>0$이다. 따라서 $=$는 simplex를 형성한다.(interior point $f(x)$가 존재하므로). 따라서 $g$는 simplicial map이 되고 $f(st(v))\subset st(g(v))$ 를 만족하므로 앞의 명제 3의 (3)을 만족하여 $g$는 $f$의 simplicial approximation이 된다. \end{proof}\\ {\bf Remark.} $f:|K|\rightarrow |L|$가 $K$의 subcomplex $M$에서 이미 simplicial map이라고 하자. 그러면 위 정리의 증명과정에서 $g$를 잡을 때, $M$에서의 값은 그대로 주고 (앞 Note에서 simplicial map은 star condition을 만족하므로 ) 나머지 부분만 정리의 증명처럼 하면 되므로 $g|_{|M|}=f|_{|M|}$이 되도록 approximation $g$를 잡을 수 있다. \begin{thm}[Simplicial approximation theorem] \hfill\\ $K,L$ : finite simplicial complexes in $\rb^N$. \\ (1) Given a map $f:|K|\rightarrow |L|$, $\exists N>0$ such that $f$ has a simplicial approximation $g:sd^N K\rightarrow L$.\\ (2) If $g$ is a simplicial approximation of $f$, $f\simeq g$. \end{thm} \begin{proof} (1) $\mathcal{U}=\{f^{-1}(st(w))~|~w\in V(L)\}$은 $|K|$의 open covering이 된다. $K$가 finite이므로 $|K|$는 compact이고 따라서 open covering $\mathcal{U}$에 대해 Lebesgue number $\eps$이 존재한다. 이 때, $mesh(sd^N K)<\frac{\eps}{2}$ 를 만족하도록 $N$을 충분히 크게 잡으면 $sd^N K$ 안의 각 star들은 diam이 $\eps$보다 작고 따라서 어떤 $U \in \mathcal{U}$에 포함된다. 그러면 $f:|sd^N K|\rightarrow |L|$은 star condition을 만족하고 $|sd^N K|=|K|$ 이므로 정리 4에 의해 simplicial approximation $g$가 존재한다. (2) $f$와 $g$사이의 homotopy를 $F:|K|\times I \rightarrow |L|$, $F(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)$로 정의한다. 먼저 명제 3에 의해 각 $f(x)$와 $g(x)$는 같은 simplex 안에 있으므로 $F$는 잘 정의된다. 또한 각 simplex $\sig$에서 $f$와 $g$는 연속이므로 $F$는 $|~\sig|\times I$에서 연속이다. $K$가 finite이므로 $F$는 연속이다. 따라서 $F$는 원하는 homotopy이다. \end{proof}\\ {\bf Remark.} \\ 1. Theorem 5 holds for arbitrary simplicial complexes $K$ and $L$, and for a suitable subdivision (satisfying mesh condition in the proof) $K'$ of $K$.\\ (Reference: Munkres, 16.5, 19.4, 20.5)\\ 2. In general, The topology of $|K|\times I$ is coherent with the subspaces\\ $\{|\sigma|\times I \,\,|\,\,\sigma \in K\}$. (see Munkres, Elements of algebraic topology.) ({\bf 숙제 16.}) \end{document}