
\documentclass[12pt ]{article}
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\newcommand{\key}[1]{\emph{\textbf{#1}}}
\newcommand{\ch}[2][K]{C_{#2}(#1)}
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\newcommand{\cy}[2][K]{Z_{#2}(#1)}
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\newtheorem{thm}{정리}
\newtheorem{cor}[thm]{따름정리}
\newtheorem{lem}[thm]{보조정리}
\newtheorem{prop}[thm]{명제}
\newtheorem{cl}{Claim}


{\theorembodyfont{\rm}
\newtheorem{ex}{예}
\newtheorem{que}{질문}
\newtheorem{notation}{Notation}[section]
\newtheorem{defn}{정의}
\newtheorem{rem}{주}
\newtheorem{note}{Note}
}
\renewcommand{\thenote}{}
\renewcommand{\therem}{}

\newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}\\}
\newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}

\begin{document}
\parindent=0cm
\section*{VI Simplicial Homology}
\begin{defn}
(1) An \key{ordered simplex} is a simplex $\sig$ together with a
particular order of vertices of $\sig$ and will be denoted by
$\sig=(v_0,\cdots, v_p)$.\\
(2) An \key{orientation} of a simplex $\sig=(v_0,\cdots, v_p)$ :
Two orderings of vertices of $\sig$ are equivalent if they differ
by an even permutation. A choice of an equivalence class is called
an orientation of $\sig$.\\
(3) An \key{oriented simplex} is a simplex $\sig$ together with an
orientation of $\sig$ and will be denoted by $[v_0,\cdots,v_p]$
representing the equivalence class of $(v_0,\cdots, v_p)$ as an
orientation of $\sig$.
\end{defn}
예를 들면, 2-simplex의 경우 $[v_0,v_1,v_2]=[v_1,v_2,v_0]$이다.\\

그림으로 보면 다음과 같이 각 simplex에 두가지 orientation이
존재한다.\\

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\parbox{2.7cm}{
\begin{pspicture}(1.4,1.4)%
\rput(.2,.2){\psline{->}(0,0)(.55,.55) \psline{*-*}(0,0)(1,1)}
\rput(0,0){$v_0$} \rput(1.4,1.4){$v_1$}
\rput(1.5,0.3){$[v_0,v_1]$}
\end{pspicture}}
or \hspace{1em}
\parbox{2.7cm}{
\begin{pspicture}(1.4,1.4)%
\rput(.2,.2){\psline{-<}(0,0)(.55,.55) \psline{*-*}(0,0)(1,1)}
\rput(0,0){$v_0$} \rput(1.4,1.4){$v_1$}
\rput(1.5,0.3){$[v_1,v_0]$}
\end{pspicture}}\\[6mm]

\psset{unit=1cm} \parbox{2.7cm}{
\begin{pspicture}(0,-.5)(2.5,2)%
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2,0)(1,1.732)
\rput(1,1.94){$v_2$} \rput(-0.2,-0.2){$v_0$}\rput(2.2,-0.2){$v_1$}
\rput(1,0.6){\psarc{->}(0,0){0.3}{100}{440}}
\rput(1,-0.7){$[v_0,v_1,v_2$]}
\end{pspicture}}
or \hspace{1em}
\parbox{2.7cm}{
\begin{pspicture}(0,-.5)(2.5,2)%
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2,0)(1,1.732)
\rput(1,1.94){$v_2$} \rput(-0.2,-0.2){$v_0$}\rput(2.2,-0.2){$v_1$}
\rput(1,0.6){\psarc{<-}(0,0){0.3}{100}{440}}
\rput(1,-0.7){$[v_0,v_2,v_1$]}
\end{pspicture}}
\end{center}
\caption{Orientations}
\end{figure}


{\bf Notation} $\sig$ : an oriented simplex $\Rightarrow$
$\overline{\sig}$ : an oriented simplex with opposite orientation.

\begin{defn}[$p$-th chain group]
$K$ : a simplicial complex\\
$\ch{p}$= the abelian group generated by the oriented
$p$-simplices with the relation $\overline{\sig}=-\sig$.
\end{defn}
즉, $\ch{p}$는 $K$의 $p$-simplex들로 generate된 free abelian
group임을 알 수 있다. 일반적으로 $p\leq 0$인 경우에는
$\ch{p}=0$으로 정의한다. 또한, $\ch{p}$의 원소를 $p$-chain이라고
부르고 $\displaystyle{\sum^k_{i=1}}n_i\sig_i,\ n_i\in \zb$로
유일하게 표현된다.\\

다음은 free abelian group의 universal property로부터 명백하다.\\

{\bf Note.} A function $f$ from the oriented $p$-simplices of $K$
to an abelian group $G$ extends to a homomorphism : $\ch{p} \to G$
uniquely if $f(\overline{\sig})=-f(\sig)$ for all oriented $\sig$.\\

{\bf \underline{Boundary operation}} \\[2mm]
$\partial_p : \ch{p}\to\ch{p-1}$, boundary operator is defined as
follows.
\begin{displaymath}
\sig=[v_0,\cdots, v_p] \Rightarrow
\partial_p\sig=\sum^k_{i=0}(-1)^i[v_0,\cdots,\widehat{v}_i,\cdots,v_p]
\end{displaymath}
$\partial_p$가 orientation을 정의하는 equivalence class에 대하여
well-defined임을 확인하기 위해서는
$\partial_p\sig$가 well-defined이고 \\
$\partial_p(\overline{\sig})=-\partial_p\sig$임을 보이면 되는데,
이는
transposition에 대하여 부호가 반대가 됨을 보이면 충분하다.\\
 즉,$\partial
[v_0,\cdots,v_j,v_{j+1},\cdots,v_p]=-\partial[v_0,\cdots,v_{j+1},v_j,\cdots,v_p]$임을
확인하면 된다. 그런데 이는 $\partial$의 정의에 따라서 자명하므로,
$\partial_p$는 well-defined homomorphism이 된다.

\begin{lem}
$\partial_{p-1}\partial_p=0$ ($\partial^2=0$)
\end{lem}
\begin{proof}
$\partial_{p-1}\partial_p[v_0,\cdots,v_p]=\partial_{p-1}\displaystyle{\sum^k_{i=0}}
(-1)^i[v_0,\cdots,\widehat{v}_i,\cdots,v_p]\\
\hspace*{5ex}=\displaystyle{\sum^k_{i=0}}(-1)^i\partial_{p-1}[v_0,\cdots,\widehat{v}_i,\cdots,v_p]\\
\hspace*{5ex}=\displaystyle{\sum^k_{j<i}}(-1)^i(-1)^j[v_0,\cdots,\widehat{v}_j,\cdots,\widehat{v}_i,\cdots,v_p]\\
\hspace*{9ex}+\displaystyle{\sum^k_{i<j}}(-1)^i(-1)^{j-1}[v_0,\cdots,\widehat{v}_i,\cdots,\widehat{v}_j,\cdots,v_p]\\
\hspace*{5ex}=0$
\end{proof}

\newpage
{\bf Remark}\\
For convenience, we can add more generators and relations to
$\ch{p}$. \\
If $v_0,\cdots,v_p$ are vertices not necessarily distinct of some
simplex, we define
\begin{displaymath}
[v_0,\cdots,v_p]=\{\begin{array}{ll} 0 & \textrm{if not
distinct.}\\ \textrm{as before}&\textrm{if distinct}\end{array}.
\end{displaymath}
and define $\partial$ by the same formula
\begin{displaymath}
\partial_p\sig=\sum^k_{i=1}(-1)^i[v_0,\cdots,\widehat{v}_i,\cdots,v_p]
\end{displaymath}
Then this is well defined and $\partial^2=0$.

\begin{defn}
$\cdots \to \ch{p+1} \overset{\partial_{p+1}}{\to}\ch{p}
\overset{\partial_{p}}{\to}\ch{p-1}\to \cdots$ (:=$\{C_p,
\partial\}$) with $\partial^2=0$ \\
\hspace*{7ex}  is called a chain complex.\\
Define $\cy{p}$ = $ker \partial_p$ = the group of $p$-cycles.\\
\hspace*{7ex}$\bd{p}$ = $im \partial_p$ = the group of $p$-boundaries.\\
\hspace*{7ex}$\ho{p}$ = $\cy{p}/\bd{p}$ = the $p$-th homology
group.\\
\end{defn}

몇가지 object에 대하여 homology group을 계산해 보자.\\

1. (0) $K=$ \psset{unit=1cm} \parbox{2.7cm}{
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(2.5,2)%
\pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.732) \psline{->}(1,1.732)(0.5,0.866)
\psline{->}(0,0)(1,0) \psline{->}(2,0)(1.5,0.866)
\rput(1,1.94){$v_1$} \rput(-0.2,-0.2){$v_2$}\rput(2.2,-0.2){$v_3$}
\rput(0.1,1){$\sig_1$}
\rput(1,-0.3){$\sig_2$}\rput(1.9,1){$\sig_3$}
\end{pspicture}}\psset{unit=0.5cm}
(=$\partial$\parbox{1cm}{\begin{pspicture}(0,0)(2,1.8)%
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2,0)(1,1.732)
\rput(1,0.6){\psarc{->}(0,0){0.3}{100}{440}}
 \end{pspicture}})\\[4mm]


먼저 $\ch{1}=\zb\langle\sig_1,\sig_2,\sig_3\rangle=\zb^3$,
$\ch{0}=\zb\langle v_1,v_2,v_3\rangle=\zb^3$임을 알 수 있고, chain
complex
\begin{displaymath}
0\to \ch{1} \overset{\partial}{\to} \ch{0}\to 0
\end{displaymath}
을 얻는다. $\ho{0}$를 구하면, 먼저 $\ch{0}$는 $\partial$에 의하여
모두 0이 되므로, $\cy{0}=\ch{0}$임을 알 수 있다. 또한, $\partial
\sig_1=v_2-v_1$, $\partial \sig_2=v_3-v_2$, $\partial
\sig_3=v_1-v_3$이므로, $\bd{0}$는 $\{v_2-v_1,v_3-v_2,v_1-v_3\}$로
generate되는 $\ch{0}$의 subgroup이다. 이 subgroup의 차원이
2이므로, $\ho{0}=\cy{0}/\bd{0}=\zb$임을 알 수 있다. \\

직관적으로 $\bd{0}$에 속하는 원소는 1-simplex의 boundary가 되므로,
$\ho{0}$에서는 1-simplex로 연결되어 있는 vertex들은 서로
equivalent한 것으로
보기 때문에, 일반적으로 다음 사실이 성립한다.\\
 {\bf Note}.
$\ho{o}\cong\zb^k$, $k$= number of connected
components of $|K|$.\\

다음으로 $\ho{1}$을 구해보자. 먼저 $\bd{1}=0$이므로
$\ho{1}=\cy{1}=ker\partial$이다. 임의의 $c\in \ch{1}$에 대하여,
$c=n_1\sig_1+n_2\sig_2+n_3\sig_3$로 쓸 수 있는데, $\partial c
=0$이 되기 위해서는 \\
\hspace*{5em} $\partial
c=n_1\partial\sig_1+n_2\partial\sig_2+n_3\partial\sig_3\\
\hspace*{6em}=n_1(v_2-v_1)+n_2(v_3-v_2)+n_3(v_1-v_3)\\
\hspace*{6em}=(n_3-n_1)v_1+(n_1-n_2)v_2+(n_2-n_3)v_3=0$\\
이 되어야 하므로, $n_1=n_2=n_3:=n$임을 알 수 있다. 따라서
$\ho{1}=\cy{1}=\zb\langle\sig_1+\sig_2+\sig_3\rangle\cong\zb$이다.\\

(1) $K_1=$ \psset{unit=0.7cm} \parbox{2.7cm}{
\begin{pspicture}(2.5,2)%
\rput{150}(2,1){\pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.732)
\psline{->}(1,1.732)(0.5,0.866) \psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(2,0)(1.5,0.866)}

\rput{-30}(2,1){\pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.732)
\psline{->}(1,1.732)(0.5,0.866) \psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(2,0)(1.5,0.866)}
\end{pspicture}}\\

$K_1$는 connected이므로, $\ho[K_1]{0}=\zb$이다. $\ho[K_1]{1}$을
구하기 위하여 $\cy[K_1]{1}$를 알아보자. 위의 (0)에서 논의한 바를
임의의 1-chain $c$에 적용하면, $\partial c=0$이기 위한
필요충분조건은 $c$에 속하는 각 vertex에 대하여 들어오는
1-simplex의 계수와 나가는 1-simplex의 계수가 일치해야 한다는
것임을 알 수 있다. 즉,
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\parbox{2.5cm}{\begin{pspicture}(2.5,2)%
\psline(0,2)(1,1) \psline(0,0)(1,1) \psline(1,1)(2,1)
\psline{->}(0,2)(0.5,1.5) \psline{->}(0,0)(0.5,0.5)
\psline{->}(1,1)(1.5,1) \rput(0.7,0.3){$\sig_1$}
\rput(0.7,1.7){$\sig_2$}\rput(1.5,1.2){$\sig_3$}
\end{pspicture}}
$c=n_1\sig_1+n_2\sig_2+n_3\sig_3+\cdots$
\end{center}
그림과 같이 $c$가 주어진 경우에 $n_1+n_2=n_3$가 되어야 한다.
따라서, $K_1$의 그림에서 왼쪽 삼각형을 도는 cycle을 $c_1$, 오른쪽
삼각형을 도는 cycle을 $c_2$라고 하면 $K_1$의 1-cycle은
$nc_1+mc_2$의 꼴로 표현된다. $\bd[K_1]{1}=0$이므로,
$\ho[K_1]{1}\cong \zb^2$이다.\\

(2) $K_2=$ \psset{unit=0.7cm} \parbox{3cm}{
\begin{pspicture}(2.5,2)%
\rput{90}(2,0){\pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.732)
\psline{->}(1,1.732)(0.5,0.866) \psline{->}(0,0)(1.1,0)
\psline{->}(2,0)(1.5,0.866)}

\rput{30}(2,0){\pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.732) \psline{-<}(0,0)(1,0)
\psline{-<}(2,0)(1.5,0.866)}
\end{pspicture}}\\

마찬가지로 $\ho[K_2]{0}=\zb$이고, 1-cycle은 $nc_1+mc_2$의 꼴로
표현되므로 $\ho[K_2]{1}\cong \zb^2$이다.\\

(3) $K_3=$ \psset{unit=0.7cm} \parbox{3cm}{
\begin{pspicture}(2.5,2)%
\rput{90}(2,0){\pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.732)
\psline{->}(1,1.732)(0.5,0.866) \psline{->}(0,0)(1.1,0)
\psline{->}(2,0)(1.5,0.866)}

\rput{30}(2.5,0){\pspolygon(0,0)(2,0)(1,1.732)
\psline{-<}(0,0)(1,0) \psline{-<}(2,0)(1.5,0.866)}
\end{pspicture}}\\

마찬가지로 $\ho[K_3]{0}=\zb^2$이고, $\ho[K_3]{1}\cong \zb^2$임을 확인할 수 있다. \\

일반적으로, $K$의 1-dimensional 구멍의 개수를 $k$라고 했을 때,
$\ho{1}=\zb^k$로 주어짐을 위와 같은 방법으로 확인할 수 있다. \\

{\bf 숙제 19.} $G$: Graph $\Rightarrow$
$\ho[G]{1}=abel(\pi_1(G))$.\\

위의 예에서 $K_1$과 $K_2$의 homology group이 일치함을 관찰할 수
있는데, 일반적으로 homotopically equivalent한 object들의 homology
group은 완전히 일치하게 된다.\\

2. (1) $K=$ \psset{unit=1cm} \parbox{2.7cm}{
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(2.5,2)%
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2,0)(1,1.732)
\rput(1,0.6){$\tau$}\rput(1,0.6){\psarc{->}(0,0){0.3}{100}{440}}
\psline{->}(1,1.732)(0.5,0.866) \psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(2,0)(1.5,0.866) \rput(1,1.94){$v_1$}
\rput(-0.2,-0.2){$v_2$}\rput(2.2,-0.2){$v_3$}
\rput(0.1,1){$\sig_1$}
\rput(1,-0.3){$\sig_2$}\rput(1.9,1){$\sig_3$}
\end{pspicture}} \\[4mm]

$K$는 connected이므로 $\ho{0}=\zb$임은 바로 알 수 있다.\\
$K$의 1-cycle $c$는 앞서 알아본 바와 같이
$c=n(\sig_1+\sig_2+\sig_3)=:nc_1$의 꼴이다. 그런데 $c_1=\partial
\tau$이므로 $c\sim 0$(homologous to zero)이다. 따라서
$\ho{1}=0$이다.\\
또한 $\bd{2}=0$이므로 $\ho{2}=\cy{2}=ker\partial$임을 알 수
있는데, $\ch{2}$의 generator $\tau$에 대하여 $\partial
\tau=c_1\neq 0$이므로 $ker\partial=0$이 되어 $\ho{2}=0$이다. \\


(2) $K=$ \psset{unit=0.5cm} \parbox{4cm}{
\begin{pspicture}(6,6)%
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1.5,4)(4.5,5)(6,0)(0,0)
\psline{->}(1.5,4)(0.75,2)\psline{->}(4.5,5)(3,4.5)\psline{->}(6,0)(5.25,2.5)
\psline{->}(0,0)(3,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,1.5)(4,1.5)(3,3.232)
\psline{->}(3,3.232)(2.5,2.366) \psline{->}(2,1.5)(3,1.5)
\psline{->}(4,1.5)(3.5,2.366)

\psline(0,0)(2,1.5)(1.5,4)(3,3.232)(4.5,5)(4,1.5)(6,0)(3,1)(0,0)
\psline(3,1)(2,1.5)\psline(3,1)(4,1.5) \rput(3,4){{\scriptsize
$\sig_1$}}
\end{pspicture}}
\parbox{8.5cm}
{2차원 cell들에 시계반대방향으로 orientation을
준다.\\ $c_1$ : 바깥쪽 cycle.\\ $c_2$ : 안쪽 cycle.\\
$\tau = \sig_1+ \sig_2 +\cdots$ where $\sig_i$ are 2-dimensional cells. }\\[4mm]
 % 그에 따라 1차원 simplex의 orientation이 결정된다.

$K$는 connected이므로 $\ho{0}=\zb$임은 자명하다.
\begin{center}\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(6,2)%
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linestyle=dashed](0,0)(2,0)(1,1.732)
\psline[linewidth=.6mm](0,0)(1,1.732)(2,0)
\psline[linewidth=.6mm]{-<}(1,1.732)(0.5,0.866)
\psline[linewidth=.6mm]{-<}(2,0)(1.5,0.866)
\rput(3,0){\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linestyle=dashed](0,0)(2,0)(1,1.732)
\psline[linewidth=.6mm](0,0)(2,0)
\psline[linewidth=.6mm]{->}(0,0)(1.2,0)} \rput(2.5,0.86){$\sim$}
\end{pspicture}
\end{center}
위 그림과 같은 성질을 이용하여 $K$ 내부의 1-cycle은 바깥쪽으로
homologous하게 밀어낼 수 있으므로, $K$의 essential한 1-cycle은
$nc_1$의 꼴이 된다. 따라서,
$\ho{1}=\langle c_1\rangle=\zb$.\\
$K$의 임의의 2-chain $c=n_1\sig_1+n_2\sig_2+\cdots$에 대하여
$\partial c = n_1\partial\sig_1+n_2\partial\sig_2+\cdots=0$이면,
앞서 논의한 바와 같이 (이번에는 각 공통변에서의 incidence를
고려하면) $n_1=n_2=\cdots$이므로, $c$가 cycle이라면,
$c=n(\sig_1+\sig_2+\cdots)=n\tau$의 꼴이다. 그런데, $\partial
c=n\partial\tau=n(c_1-c_2)=0$이 되어야 하므로 $n=0$ 즉, $c=0$이다.
따라서, $\ho{2}=0$이다.\\

일반적으로 boundary가 있는 manifold $K$에 대하여 이와 같이 생각해
보면 $\ho{2}=0$이 됨을 알 수 있다.
\\

3. Surfaces\\
(0) $K=$ \psset{unit=1cm} \parbox{2.3cm}{
\begin{pspicture}(2,2.5)%
\psline(1,2)(0,0.6)(1,0)(1,2)(2,0.6)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](0,0.6)(2,0.6)
\end{pspicture}}
$\approx S^2$ \hspace{0.5cm} \parbox{8cm}{orientable surface이므로
boundary에서 서로 상쇄되도록 orientation을 줄 수 있다. }\\[4mm]

$\ho{0}=\zb$이다.\\
1-cycle은 위의 2.(2)에서와 같이 옆으로 밀어내면 point와
homologous하게 되므로 $\ho{1}=0$이다. \\
2-cycle은 앞서와
마찬가지로 $c=n\tau$, $\tau=\sig_1+\sig_2+\sig_3+\sig_4$의 꼴이
되어야 하는데, $\partial c=n\partial \tau=0$(orientation을
boundary에서 서로 상쇄되도록 주었으므로)이므로, $c$가 2-cycle임을
확인할 수 있다. 따라서, $\ho{2}=\langle\tau\rangle=\zb$이다. \\

뒤에서 살펴보겠지만, 만약 orientable하지 않다면 boundary에서
상쇄되도록 orientation을 줄 수 없으므로 2-cycle이 존재하지 않아
$\ho{2}=0$이 된다.\\

(1) Torus\\
\hspace*{1em} $K=$ \psset{unit=2cm} \parbox{3cm}{
\begin{pspicture}(1.3,1.35)%
\rput(0,0.65){$a$} \rput(0.65,0){$b$}%
\rput(1.3,0.65){$a$} \rput(0.65,1.3){$b$}%
\rput(0.15,0.15){\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
    \psline{->>}(0,0)(0,0.55)
    \psline{->}(0,0)(.55,0)
    \psline{->}(0,1)(.55,1)
    \psline{->>}(1,0)(1,0.55)}
\end{pspicture}}
\parbox{9cm}{Torus에 적당한 trangulation을 주고, boundary에서
상쇄되도록 orientation을 준다.}\\[4mm]

$\ho{0}=\zb$이다.\\
1-cycle은 바깥쪽으로 밀어낼 수 있으므로, boundary에서의 1-cycle과
같다. 다시말해, $D_1=\cy{1}\cap\{$boundary chains$\}$라 두면,
$\cy{1}=D_1+\bd{1}$이다. boundary는 figure eight과 같으므로
$D_1=\cy{1}\cap\{$boundary chains$\} =\langle
a,b\rangle=\zb^2$이다. $\bd{1}\cap D_1$을 구하면, 임의의 2-chain
$c$에 대하여 $\partial c$가 boundary에 포함되기 위해서는
$c=n\tau$의 꼴이 되어야 하고, 이 때 $\partial
c=n\partial\tau=n(b+a-b-a)=0$이므로 $\partial$의 image가 되는
1-cycle은 0뿐이다. 따라서 $\ho{1}=\cy{1}/\bd{1}=(D_1+B_1)/B_1=D_1/(B_1\cap D_1) =\zb^2$이다.\\
2-cycle은 앞서와 마찬가지로 $c=n\tau$의 꼴이 되어야 하는데,
$\partial c=n\partial \tau=0$이므로 $c$가 2-cycle임을
확인할 수 있다. 따라서, $\ho{2}=\langle\tau\rangle=\zb$이다. \\

(2) $P^2=$ \psset{unit=1.5cm} \parbox{3cm}{
\begin{pspicture}(1.3,1.6)%
\rput(0.6,1.6){$a$} \rput(0.6,0){$a$}
\rput(0.6,0.8){\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){0.6}
\psarc{*->}(0,0){0.6}{0}{95}\psarc{*->}(0,0){0.6}{180}{275}}
\end{pspicture}}\\[4mm]

$\ho[P^2]{0}=\zb$이다. \\
1-cycle은 boundary에서만 생각하면 되는데 boundary는 circle과
같으므로 $D_1=\langle a\rangle$이다. $\bd[P^2]{1}\cap D_1$을
구하면, 임의의 2-chain $c$에 대하여 $\partial c$가 boundary에
포함되기 위해서는 $c=n\tau$이고, 이 때 $\partial
c=n\partial\tau=2na$이므로 $\bd[P^2]{1}\cap D_1=\langle
2a\rangle$이 되어 결국
$\ho[P^2]{1}=\langle a\rangle/\langle 2a\rangle=\zb/2\zb=\zb_2$이다.\\
2-cycle은 앞서와 마찬가지로 $c=n\tau$의 꼴이 되어야 하는데,
$\partial c=n\partial \tau=2na$이므로 $\partial c=0$이면 $n=0$ 즉,
 $c=0$이 되어 $\ho[P^2]{2}=0$이다. \\

(3) Klein Bottle\\
\hspace*{1em} $K=$ \psset{unit=2cm} \parbox{3cm}{
\begin{pspicture}(1.3,1.35)%
\rput(0,0.65){$a$} \rput(0.65,0){$b$}%
\rput(1.3,0.65){$a$} \rput(0.65,1.3){$b$}%
\rput(0.15,0.15){\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
    \psline{->>}(0,0)(0,0.55)
    \psline{->}(0,0)(.55,0)
    \psline{->}(0,1)(.55,1)
    \psline{-<<}(1,0)(1,0.55)}
\end{pspicture}}
$\ho{0}=\zb$이다. \\[4mm]

앞서와 마찬가지로 $D_1=\langle a,b\rangle$이다.
$\partial\tau=b+a-b+a=2a$이므로 $\bd{1}\cap D_1=\langle
2a\rangle$이 되고 결국
$\ho{1}=\langle a,b\rangle/\langle 2a\rangle=\zb_2\bigoplus\zb$이다.\\
또한 $\partial \tau=2a\neq 0$이므로 $\ho{2}=0$이다. \\

{\bf 숙제. 20} Compute
$\ho[\overset{g}{\underset{1}{\sharp}}T^2]{*}$ and
$\ho[\overset{k}{\underset{1}{\sharp}}P^2]{*}$

\end{document}