\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \usepackage{floatflt} \usepackage{texdraw, epic, pstcol ,pstricks ,pst-3d, pst-poly,pst-grad,pst-node, pst-text} \usepackage{floatflt} \usepackage[all]{xy} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^m}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\cb}{\mathbb{C}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\zb}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bd}{\partial} \newcommand{\key}[1]{\emph{\textbf{#1}}} \newcommand{\td}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\ssx}[1][p]{\triangle^{#1}} \newcommand{\sg}[2][X]{S_{#2}({#1})} \newcommand{\sgi}[2][X]{S_{#2}({#1}\times I)} \newcommand{\sgp}[1][X]{S_{p}({#1})} \newcommand{\sgip}[1][X]{S_{p}({#1}\times I)} \newcommand{\iosh}{i_{0\sharp}} \newcommand{\ish}{i_{1\sharp}} \newcommand{\ios}{i_{0*}} \newcommand{\is}{i_{1*}} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}\\} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{VII.3 Homotopy invariance of homology} Goal. $f\simeq g : X\to Y \Rightarrow f_* =g_* : H_p(X)\to H_p(Y)$. \begin{defn}[Chain homotopy] Let $f, g : \cc\to\cc{}'$ be chain maps i.e.,\\ $ f=\{f_p : C_p\to C_p' ~|~ f_{p-1}\bd_p=\bd_p {}'f_p\}$, $ g=\{g_p : C_p\to C_p' ~|~ g_{p-1}\bd_p=\bd_p {}'g_p\}$. \\ A \key{Chain homotopy} $D$ between $f$ and $g$ ($D:f\simeq g$) is a collection of homomorphisms $\{D_p : C_p\to C_{p+1}{}'\}$ such that $\bd_{p+1}{}'D_p +D_{p-1}\bd_p=f_p-g_p$. (simply denote by $\bd D +D\bd=f-g$) \end{defn} \begin{thm} If $f\simeq g : \cc\to\cc{}'$, then $f_* =g_* : H_p(\cc)\to H_p(\cc{}')$. \end{thm} \begin{proof} $z\in Z_p(C) \Rightarrow \bd Dz =f(z)-g(z) \Rightarrow f(z)\sim g (z)\Rightarrow f_*[z]=g_*[z]$ \end{proof} Special case : $\cc=\cc{}',\ f=id,\ g=0$\\ Then a chain homotopy $D$ between $id$ and 0 is called a chain contraction and if $\cc$ has a chain contraction, then $\cc$ is said to be \key{chain contractible}. In this case, $\bd D+D\bd=1$. \begin{thm} If $\cc$ is a free chain complex, i.e., each $C_p$ is a free abelian group,\\ then $\cc$ is acyclic $\Leftrightarrow$ $\cc$ is chain contractible. \end{thm} \begin{proof} $\Leftarrow$) by theorem 1, $id_*=0 \Rightarrow H_p(C)=0\ \forall p$\\ $\Rightarrow$) Define $D_p$ inductively.\\ \[ \xymatrix @=2em @*[r] { % \cdots \ar[r] & C_2 \ar[d]^{id} \ar[r] & C_1 \ar[d]^{id} \ar[r] \ar@{.>}[dl]^{\exists D_1}& C_0 \ar[d]^{id} \ar[r] \ar@{.>}[dl]^{\exists D_0}& 0 \ar@{.>}[dl]^{0}& \textrm{: free}\\ \cdots \ar[r] & C_2 \ar[r] & C_1 \ar[r] & C_0\ar[r] & 0 & \textrm{: acyclic}} \]\\[1mm] 그림에서와 같이 0에서 $C_0$로 가는 zero homomorphism을 정의하고 귀납적으로 $D$를 정의한다. \\ $C_p$가 free이므로, $D$가 존재함을 보이기 위해서는 $C_p$의 generator에 대해 조건을 만족하면서 $C_{p+1}$로 가는 함수가 존재함을 보이면 된다. 즉, 각 generator $g$에 대하여 $\bd D(g)=g-D\bd(g)$를 만족하는 $C_{p+1}$의 원소 $D(g)$를 대응시키면 된다. (Induction의 가정에서 우변의 $D$는 이미 정의된 것이고 좌변의 $D$를 정의하여야 한다.)\\ 위 diagram에서 아래의 sequence가 exact이므로, $\bd(g-D\bd(g))=0$이면 $\bd (h)=g-D\bd(g)$인 $h\in C_{p+1}$이 존재하고 $D(g)=h$로 정의한다. \\ 따라서, $\bd(1-D\bd)=0$임을 확인하면 된다. 그런데, \[\bd(1-D\bd)=\bd-\bd D\bd= \bd-(1-D\bd)\bd=\bd-\bd+D\bd^2=0\] 이므로 증명이 끝났다. \end{proof} {\bf Note. Comparison theorem in homological algebra}\\ (1) Existence of chain map lifting a given $k:\zb\to\zb$. \[ \xymatrix @=2em @*[r] { % \cc & \cdots \ar[r] & C_2 \ar@{.>}[d]^{\exists k_2} \ar[r]^{\bd} & C_1 \ar@{.>}[d]^{\exists k_1} \ar[r]^{\bd} & C_0 \ar@{.>}[d]^{\exists k_0} \ar[r]^{\bd} & \zb \ar[d]^{k} \ar[r]^{\bd} & 0 & \textrm{: free}\\ \cc{}'& \cdots \ar[r] & C_2{}' \ar[r]^{\bd} & C_1{}' \ar[r]^{\bd} & C_0{}' \ar[r]^{\bd} & \zb \ar[r]^{\bd} & 0 & \textrm{: acyclic}} \] $\bd k_{p+1}=k_p\bd$인 $k_p$들이 존재함을 보이려면 정리 2에서와 마찬가지로 $\bd k_p\bd=0$임을 확인하면 된다. $\bd k_p\bd=k_{p-1}\bd^2=0$이므로 귀납적으로 $k_p$를 정의해 나갈 수 있다.\\ (2) Existence of chain homotopy between two liftings. \[ \xymatrix @=2.5em @*[r] { % \cc & \cdots \ar[r] & C_2 \ar[d]^<<<{k_2,k_2{}'} \ar[r] & C_1 \ar[d]^<<<{k_1,k_1{}'} \ar[r] \ar@{.>}[dl]^{\exists D_1}& C_0 \ar[d]^<<<{k_0,k_0{}'} \ar[r] \ar@{.>}[dl]^{\exists D_0}& \zb \ar[r]\ar@{.>}[dl]^{0}\ar[d]^{k}& 0& \textrm{: free}\\ \cc{}'& \cdots \ar[r] & C_2 \ar[r] & C_1 \ar[r] & C_0\ar[r] & \zb \ar[r] &0 & \textrm{: acyclic}} \] 먼저 $D: \zb\to C_0$를 $D=0$으로 주고, $\bd D =k_p-k_p{}'-D\bd$가 되도록 $D$를 귀납적으로 정의해나간다. 따라서 앞서와 마찬가지로 $\bd(k_p-k_p{}'-D\bd)=0$임을 확인하면 된다. \\ 그런데, $\bd(k_p-k_p{}'-D\bd)=\bd k_p-\bd k_p{}'-\bd D\bd=k_p\bd-k_p{}'\bd-\bd D\bd=(k_p-k_p{}'-\bd D)\bd=D\bd\bd=0$이므로 증명이 끝났다. \begin{lem} $X$ is a star shaped subset of $\rb^n$ $\Rightarrow \td{H}(X)=0$. \end{lem} \begin{proof} We may assume $X$ is star shaped from the origin. Construct a chain contraction $D$: \[ \xymatrix @=2.5em @*[r] { % \cdots \ar[r] & S_2 \ar[d]^{id} \ar[r]^{\bd} & S_1 \ar[d]^{id} \ar[r]^{\bd} \ar@{.>}[dl]^{D_1}& S_0 \ar[d]^{id} \ar[r]^{\eps} \ar@{.>}[dl]^{ D_0} & \zb \ar[r] \ar@{.>}[dl]^{D_{-1}}\ar[d]^{id}& 0 \\ \cdots \ar[r] & S_2 \ar[r] & S_1 \ar[r] & S_0\ar[r] & \zb \ar[r] &0 } \] %먼저 $D_{-1}$을 $D_{-1}(1)=$constant map to the origin으로 정의한다. Define $D_{-1}(1)=$constant map to the origin. \\ Given $\sig:\triangle^p\to X$, define $D(\sig)\in S_{p+1}(X)$ by $D(\sig)(se_0+(1-s)t)=(1-s)"\sig"(t)$, where $s\in I$ and $t\in\langle e_1,\cdots, e_{p+1}\rangle$. (다시말해 $D(\sig)(e_0)=0$ and $D(\sig)\circ f^0_{p+1}=\sig$. $p=0$의 경우에는 $D(\sig)^{(0)}=\sig$, $D(\sig)^{(1)}=0$이므로, $\bd D(\sig)=\sig-D_{-1}(1)=\sig-D_{-1}\eps(\sig)$이다. 따라서, $\bd D+D\eps=1$이 성립한다.\\ $p>0$의 경우에는 $D(\sig)^{(0)}=\sig$이고, $D(\sig)^{(i+1)}=D(\sig^{(i)})$가 성립한다.\\ $(\because D(\sig)^{(i+1)}(e_1,\cdots,e_p)=D\sig (e_1,\cdots,\hat{e}_{i+1},\cdots, e_{p+1})\\ \hspace*{3ex} D(\sig^{(i)})(e_1,\cdots,e_p)=\sig^{(i)}(e_0,\cdots,e_{p-1})\\ \hspace*{5em} =\sig(e_0,\cdots,\hat{e}_{i},\cdots,e_p) =D\sig(e_1,\cdots,\hat{e}_{i+1},\cdots, e_{p+1}))$\\ 따라서 \[ \bd D\sig=\sum_{i=0}^p (-1)^{i+1}(D\sig)^{(i+1)} + D(\sig)^{(0)} =\sum_{i=0}^p (-1)^{i+1}D(\sig^{(i)}) +\sig =-D(\bd\sig)+\sig \] 이므로, $\bd D+ D\bd=1$이 성립한다. \end{proof} \begin{lem} Let \raisebox{-1.4ex}{\parbox{3cm}{$i_0: X\to X\times I $ \\ \hspace*{3ex} $ x\mapsto (x,0)$ }} and \raisebox{-1.4ex}{\parbox{3cm}{$i_1: X\to X\times I $ \\ \hspace*{3ex} $ x\mapsto (x,1)$ }}. \\ Then for any space $X$, $\forall p, \exists D_X : S_p(X)\to S_{p+1}(X\times I)$ such that\\ (1) $\bd D +D\bd=i_{1\sharp}-i_{0\sharp}$\\ (2) $D_X$ is natural, i.e., $\forall f: X\to Y$, \\ \hspace*{2em}\parbox{5.5cm}{$ \xymatrix @=1.5em @*[r] { % S_p(X) \ar[d]^{f_\sharp} \ar[r]^{D_X} & S_{p+1}(X\times I) \ar[d]^{(f\times id)_\sharp}\\ S_p(Y) \ar[r]^{D_Y} & S_{p+1}(Y\times I)}$ } commutes. \end{lem} \bigskip 만약 이 보조정리를 증명하였다면 다음 정리가 성립한다. \begin{thm} $f\simeq g : X\to Y \Rightarrow f_* =g_* : H_*(X)\to H_*(Y)$ \end{thm} {\bf 증명} There exist $F:X\times I \to Y$ such that $f=F\circ i_0$ and $g=F\circ i_1$. \\ By the above lemma, there exists $D:i_{0\sharp}\simeq i_{1\sharp}$. Hence, $i_{0*}= i_{1*}:H(X)\to H(X\times I)$. Therefore $f_*=(F\circ i_0)_*=F_*\circ i_{0*}=F_*\circ i_{1*}=(F\circ i_1)_*=g_*$.\hfill\framebox[2mm]{} \begin{cor} $X\simeq Y\Rightarrow H_*(X)\cong H_*(Y)$ \end{cor} \bigskip 따라서 보조정리만 증명하면 된다. \\ \newpage {\bf 보조정리의 증명} (Induction on $p$) \\ idea. 먼저 $D$를 "model space" $\ssx$에 대해서 정의하고, $D$의 naturality를 이용하여 임의의 $X$에 대하여 $D_X$를 정의한다.\\ 먼저 $p=0$인 경우 $D: S_0(\ssx[0])\to S_1 (\ssx[0]\times I)$를 정의하자. $\ssx[0]$은 한 point이므로, $S_0(\ssx[0])$는 constant map $\sig$로 generate되는 free abelian group이다. 여기서, $D\sig$를 obvious한 1-chain으로 정의한다. 즉, $D\sig: \ssx[1]\to \ssx[0]\times I$에서 $\ssx[1]$와 $\ssx[0]\times I$는 본질적으로 같은 space이므로 $D\sig$는 identity map으로 정의한다. 이 때, $\bd D\sig=i_1\circ\sig-i_0\circ\sig=i_{1\sharp}(\sig)-i_{0\sharp}(\sig)$이 된다. \\ $p=0$인 경우에는 같은 방법으로 임의의 space $X$에 대하여 $D_X : \sg{0}\to\sgi{1}$를 바로 정의할 수 있는데, $\sig=x$(constant map), $x\in X$에 대하여 $D\sig$를 $\ssx[1]$에서 $\{x\}\times I$로 가는 "identity map"으로 정의하면 위의 조건 (1),(2)를 만족함을 쉽게 확인 할 수 있다.\\ $p>0$인 경우, $p-1$까지 (1),(2)를 만족하는 $D_X$가 존재한다고 가정하자.\\ $i=id: \ssx\to\ssx$에 대하여 $\bd Di+D\bd i=i_{1\sharp}(i)-i_{2\sharp}(i)$를 만족하는 $Di\in \sgi[\ssx]{p+1}$를 정의하자.\\ $c=\ish(i)-\iosh(i)-D\bd i\in\sgi[\ssx]{p}$로 두고, $c=\bd Di$가 되도록 $Di$를 정의해야 한다. $\ssx\times I$가 star shaped이므로 앞의 보조정리에 의하여 $\td{H}(\ssx\times I)=0$이 되어 $\sgi[\ssx]{p}$의 augmented chain이 acyclic이다. 따라서, 정리 2의 증명에서와 같이 $\bd c=0$만 확인하면 된다.\\ 그런데, induction의 가정을 이용하면 $$ \bd c=\ish(\bd i)-\iosh(\bd i)%=\bd\ish(i)-\bd\iosh(i)-\bd D\bd i -(\ish(\bd i)-\iosh(\bd i)- D\bd(\bd i))=0 $$ 이므로, $Di$가 잘 정의된다.\\ 이제 $Di$를 이용하여 임의의 space $X$에 대하여 $D_X:\sg{p}\to\sgi{p+1}$를 정의하자. \\ 임의의 $\sig\in\sgp$는 $\sig:\ssx\to X$인 map이므로, $\sig_\sharp$은 $\raisebox{-1.4ex}{\parbox{4cm}{$\sig_\sharp: \sgp[\ssx]\to\sgp $ \\ \hspace*{9ex} $ i \mapsto \sig$ }}$ 인 map이다. 따라서, $D_X\sig=(\sig\times id)_\sharp Di$로 정의한다.\\ $\sg{p}$는 $\sig$들로 generate되는 free abelian group이므로, $D_X$는 well-defined이고, 이제 조건 (1),(2)만 확인하면 증명이 끝난다. \\ Check (1):\\ \[ \xymatrix @M=1ex @C=-5mm @R=3ex @*[c] { % %뒤의 윗줄 & \sg[\ssx]{p+1} \ar[rr]^{\bd} \ar[dl]_{\sig_\sharp} \ar[dd]_<<<<{\iosh}^<<<<{\ish} & & \sg[\ssx]{p} \ar[rr]^{\bd}\ar[dl] \ar[dd] \ar@/_3ex/[lldd]_D & & \sg[\ssx]{p-1} \ar[dl]\ar[dd]\ar@/_4ex/[lldd]_D\\ %앞의 윗줄 \sg{p+1} \ar[rr]\ar[dd]_{\iosh, \ish} & & \sg{p} \ar[rr] \ar[dd] \ar@/_3ex/[lldd]_{D_X} & & \sg{p-1}\ar[dd] \ar@/_3ex/[lldd]_{D_X}& \\ %뒤의 아래줄 & \sgi[\ssx]{p+1} \ar[rr] \ar[dl]^<<{(\sig\times id)_\sharp}& & \sgi[\ssx]{p} \ar[rr] \ar[dl]& & \sgi[\ssx]{p-1} \ar[dl]\\ %앞의 아래줄 \sgi{p+1} \ar[rr] & & \sgi{p} \ar[rr] & & \sgi{p-1} & } \] 위,아래, 앞, 뒤의 사각형들은 $\bd$와 $\sharp$이 commute한다는 사실로부터 commute하고, 가운데(세로로 보이는) 사각형은 space들 간의 map이 commute하므로 functorial property로부터 commute한다. ($\iosh, \ish$의 naturality.) 오른쪽의 비스듬한 사각형은 induction의 가정으로부터 commute한다. ($D$의 naturality.) 따라서, $$ \bd D_X \sig=\bd(\sig\times id)_\sharp Di=(\sig\times id)_\sharp\bd Di=(\sig\times id)_\sharp(i_{1\sharp}(i)-i_{0\sharp}(i)-D\bd) $$ 이 때, $\ish$의 naturality로부터 ($\iosh$의 경우도 마찬가지) $$ (\sig\times id)_\sharp i_{1\sharp}(i) =\ish\sig_\sharp(i)=\ish(\sig) $$ 또한, $D$의 naturality로부터 $$ (\sig\times id)_\sharp D(\bd i)= D_X \sig_\sharp(\bd i)=D_X\bd\sig_\sharp(i)=D_X\bd\sig $$ 따라서, $\bd D_X=\ish-\iosh-D_X\bd$임을 확인할 수 있다.\\ Check (2):\\ 임의의 map $f:X\to Y$에 대하여 다음 diagram을 생각해 보자. \[ \xymatrix @M=1ex @C=1ex @R=3ex @*[c] { % % 윗줄 & \sg{p} \ar[rr]^{D_X} \ar[dd]_<<<<{f_\sharp} & & \sgi{p+1} \ar[dd]^{(f\times id)_\sharp}\\ % 가운뎃 줄 \sg[\ssx]{p} \ar[rr]^D \ar[ur]^{\sig_\sharp} \ar[dr]_{(f\circ\sig)_\sharp} & & \sgi[\ssx]{p+1} \ar[ur]^{(\sig\times id)_\sharp} \ar[dr]_{(f\circ\sig\times id)_\sharp}& \\ % 아래줄 & \sg[Y]{p} \ar[rr] & & \sgi[Y]{p+1} } \] 양쪽의 삼각형은 functorial property에 의하여 commute하고, $i\in \sg[\ssx]{p}$에 대해 $D_X$의 정의에 의하여 위의 사각형이, $D_Y$의 정의에 의하여 아래의 사각형이 commute한다. 따라서, 뒤쪽 사각형이 commute한다는 것을 확인 할 수 있다. \hfill\framebox[2mm]{}\\ \textbf{Review of the proof of 2.}\\ Need \\ (i) $\{ S(\bigtriangleup^p \times I),\partial,\epsilon\}$ is acyclic.(to define $D$ for model space, $\bigtriangleup^p$ and $i\in S_p(\bigtriangleup^p))$\\ (ii) $\{ \sigma_{\sharp} i|\sigma : \bigtriangleup^p \rightarrow X\}$ form a basis for $S_p(X)$.(to define $D_X$ for $\forall X$)\\ (iii) $i_{0\sharp} $ and $i_{1\sharp}$ are natural. (to check (1))\\ $\Rightarrow$with functorial properties,\\ $\hspace*{1em}\exists$chain homotopy $D:i_0 \simeq i_1$ s.t. naturality of $D$ holds.\\ \textbf{Note.} \\ $\mathcal{T}$= the category of topological spaces.\\ $\mathcal{S}$= the category of chain complexes.(with augmentation)\\ $ S : \mathcal{T}\longrightarrow\mathcal{S}$ is a functor.\\ $\hspace*{1.4em} X\mapsto S(X)$\\ $ S' : \mathcal{T}\longrightarrow\mathcal{S}$ is a functor.\\ $\hspace*{1.4em} X\mapsto S(X\times I)$\\ $i_{0\sharp}$ and $i_{1\sharp}$ are natural transformations : $S\rightarrow S'$, i.e.,\\ $\hspace*{1em} S : S(X) \hspace{1.5em}\overset{f_{\sharp}}{\longrightarrow}\hspace{1.5em} S(Y)$\\ $\hspace*{0em} i_{0\sharp}\downarrow \hspace{1.5em}\downarrow i_{0\sharp}^X\hspace{2em} \curvearrowright\hspace{2em}\downarrow i_{0\sharp}^Y$\\ $\hspace*{1em} S' : S(X\times I) \overset{(f\times id)_{\sharp}}{\longrightarrow} S(Y\times I)$ \begin{defn} $\mathcal{T}$= the category of chain complexes , $\mathcal{S}$= the category of (augmented) chain complexes and chain maps. Let $\mathcal{M}\subset Ob(\mathcal{T})$ (called models).\\ Let $S:\mathcal{T}\rightarrow \mathcal{S}$ be a functor from $\mathcal{T}$ to $\mathcal{S}$.\\ (1) $S$ is acyclic relative to $\mathcal{M}$ if $S(M)$ is acyclic $\forall M\in \mathcal{M}$.\\ (2) $S$ is free relative to $\mathcal{M}$ if $\forall p\geq 0, \exists J_p$ and $\exists$ an indexed family of $\{M_{\alp}\}_{\alp \in J_p}, M_{\alp}\in \mathcal{M}$ and $\exists$ an indexed family of $\{i_{\alp}\}_{\alp \in J_p}, i_{\alp}\in S_p(M_{\alp})$ s.t. $\{S(\sigma)i_{\alp} | \alp\in J_p, \sigma\in hom(M_{\alp} , X)\}$ is a basis for $S_p(X)$.\end{defn} \begin{thm}\textbf{Acyclic Model Theorem}\\ Let $S, S' :\mathcal{T}\rightarrow\mathcal{S}$ be functors and $\mathcal{M}\subset Ob(\mathcal{T}).\\ S$ : free relative to $\mathcal{M}$ and $S':$ acyclic relative to $\mathcal{M}$.\\ $\Rightarrow$(a) $\exists $ a natural transformation : $\tau :S\rightarrow S'$ as a lifting of a given $\tau_0:S_0\rightarrow S'_0$.(or $k:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ for augmented case)\\ (b) Given two such natural transformations $\tau_0,\tau_1:S\rightarrow S', \exists$ a natural chain homotopy $D:\tau_0\simeq\tau_1$.\end{thm} \begin{proof}(a) Use induction.\\ 1st, define $\tau_p$ for $i_{\alp}\in S_p (M_{\alp})$:\\ \[ \xymatrix @M=1ex @C=2em @R=2em @*[c] { % \cdots \ar[r] & S_p(M_{\alp}) \ar@{.>}[d]^{\tau_p} \ar[r]^{\bd} & S_{p-1}(M_{\alp}) \ar[d]^{\tau_{p-1}} \ar[r]^{\partial} &\cdots& \\ \cdots \ar[r] & S'_p(M_{\alp}) \ar[r]^{\partial} & S'_{p-1}(M_{\alp}) \ar[r]^{\partial} &\cdots& } \]\\[1mm] $S'$이 acyclic이므로 $\tau_p$가 존재함을 보이려면 $\bd\tau_{p-1} \bd$=0임을 보이면 된다. 그런데 induction 가정에 의해 $\bd\tau_{p-1}\bd = \tau_{p-2}\bd\bd=0$.\\ 2nd on X : Use Naturality. \[ \xymatrix @M=1ex @C=1ex @R=3ex @*[c] { % % 윗줄 & i_{\alp}\in S_p(M_{\alp}) \ar[dl]^{S_p(\sig)} \ar[rr]^{\bd} \ar[dd] & & S_{p-1}(M_{\alp}) \ar[dl] \ar[dd]^{\tau_{p-1}}\\ % 가운뎃 줄1 S(\sigma)i_{\alp}\in \sg{p} \ar[rr] \ar@{.>}[dd]_{\tau_p} & & \sg{p-1} \ar[dd]& \\ % 가운뎃 줄 2 & S'_p(M_{\alp}) \ar[dl] \ar[rr] & & S'_{p-1}(M_{\alp}) \ar[dl] \\ % 아래줄 S'_{p}(X) \ar[rr] & & S'_{p-1}(X)& } \] $S(\sigma)i_{\alp}$들이 $S_p(X)$의 basis를 이루므로\\ Define $\tau_p$ for $S(\sigma)i_{\alp}$ : 위 diagram box에서 $i_{\alp}$에 대해서는 이미 $\tau_p$가 정의되어 있으므로 왼쪽 면이 commute하도록 $\tau_p$를 정의하면 앞면을 제외하고 모든 면이 commute하므로 앞면도 commute.\\ $\therefore \tau_p$ is a chain map, $\forall X$.\\ $\tau_p$ is natural: $f :X\rightarrow Y$일 때, \[ \xymatrix @M=1ex @C=1ex @R=3ex @*[c]{ % %윗줄 & S_p (M_{\alp}) \ar[dl]^{S_p(\sig)} \ar[dd]^>>>>>{\tau} \ar[dr]^{S_p(f\circ\sig)} &\\ S_p(X) \ar[rr]^>>>>{S_p(f)} \ar[dd]^{\tau_X} && S_p(Y) \ar[dd]^{\tau_Y}\\ & S'_p (M_{\alp}) \ar[dl] \ar[dr] &\\ S'_p (X) \ar[rr] && S'_p (Y) } \] 이 세로 기둥에서 $i_{\alp}$에 대해 위에서 $\tau_p$의 정의와 $S_p$의 functorial property에 의해 앞면만 빼고 다 commute.\\ $\therefore S(\sigma)i_{\alp}$에 대해 앞면도 commute.\\ (b) exactly same as before. (\textbf{숙제 22.})\end{proof} \begin{defn} A chain map $\tau :\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C'}$ is a chain homotopy equivalence if $\exists$ a chain map $\tau' :\mathcal{C'}\rightarrow\mathcal{C}$ s.t. $\tau\tau' \simeq id_{\mathcal{C'}}$ and $\tau'\tau\simeq id_{\mathcal{C}}$.\end{defn} \textbf{Note.} $\tau :\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C'}:$ chain homopoty equivalence. $\Rightarrow \tau_* : H_* (\mathcal{C}) \cong H_*(\mathcal{C'}).$ \begin{cor} $S , S':\mathcal{T}\rightarrow\mathcal{S}, \mathcal{T}$ with models $\mathcal{M}$ and $S , S'$: both free and acyclic relative to $\mathcal{M}$. $\Rightarrow \exists$ a natural chain map $\tau : S \rightarrow S'$ and any natural chain map is a natural chain homotopy equivalence.\end{cor} \begin{proof} AMT. (a) $\Rightarrow$ natural chain map $\tau$ exists and also $\exists\tau' : S'\rightarrow S$. Now $\tau\tau' :S'\rightarrow S'$\\ AMT (b) $\Rightarrow \tau\tau' \simeq id_{S'},$ similarly $\tau'\tau \simeq id_{S}$\end{proof}\\ \textbf{An application. (Equivalence of homologies)}\\ If $K$ is a simplicial complex, then we have\\ $\mathcal{C}(K)\rightsquigarrow H(K) = $ simplicial homology\\ $\bigtriangleup(K)\rightsquigarrow H_{\bigtriangleup}(K) =$ ordered simplicial homology\\ $S(|K|)\rightsquigarrow H(|K|)$= singular homology for $|K|$ \begin{lem} $K$: a simplicial complex, $w$: a vertex (as a simplicial complex) not in $K .\Rightarrow \{C(w*K),\partial,\epsilon\}$ and $\{\bigtriangleup(w*K),\partial,\epsilon\}$ are acyclic.\end{lem} \begin{proof} Construct a chain contraction:\\ \[ \xymatrix @=2em @*[r] { % \cdots \ar[r] & \bigtriangleup_1 \ar[dl]^{D_1} \ar[d]^{id} \ar[r] & \bigtriangleup_0 \ar[dl]^{D_0} \ar[d]^{id} \ar[r]^{\epsilon} & \mathbb{Z} \ar[dl]^{D_{-1}} \ar[d]^{id}\\ \cdots \ar[r] & \bigtriangleup_1 \ar[r] & \bigtriangleup_0 \ar[r] & \mathbb{Z}} \]\\[1mm] Let $D_{-1}(1) : = w$.Then $\epsilon (w) = 1$이므로 OK.\\ Define $D(v_0 , \cdots, v_p ) = (w, v_0 , \cdots, v_p )$ : join operator.\\ Then $(\bd D + D\bd )(v_0 , \cdots , v_p )\\ \hspace*{2.5em} = \bd(w, v_0 , \cdots , v_p ) + D (\Sigma (-1)^i (v_0 , \cdots , \hat{v_i}, \cdots, v_p))\\ \hspace*{2.5em} = \Sigma (-1)^{j+1} (w , \cdots, \hat{v_j}, \cdots, v_p ) + (v_0 , \cdots , v_p ) + \Sigma (-1)^i (w , \cdots, \hat{v_i} ,\cdots, v_p )\\ \hspace*{2.5em} = (v_0 , \cdots, v_p ).$\\ Similarly for $\{\mathcal{C}(w*K),\bd,\epsilon\}$.\end{proof} \begin{cor}(1) $\forall\sigma\in K ,\hspace{1em} \tilde{H}(\sigma) = \tilde{H}_{\bigtriangleup}(\sigma) =0 $ \\ (i.e. $\{\mathcal{C},\partial,\epsilon\}$ and $\{\bigtriangleup,\partial, \epsilon\}$ are acyclic w.r.t. $\sigma$.)\\ (2) The chain map $\mu :\bigtriangleup(K)\rightarrow\mathcal{C}(K)$ is a natural homotopy equivalence.\\ $\hspace*{8em}(v_0,\cdots,v_p )\mapsto [v_0,\cdots,v_p]$\end{cor} \begin{proof}(1) 보조정리9로부터 clear. \\ (2) $\bigtriangleup , \mathcal{C} :\mathcal{C}(K) \rightarrow\mathcal{S}$ are free and acyclic functors relative to models $\mathcal{M} = \{\sigma |\sigma \in K\}$, where $\mathcal{C}(K)$ is a category of subcomplexes of $K$ with inclusion as morphism. Since $\mu :\bigtriangleup \rightarrow C$ is a natural chain map, it it a chain homotopy equivalence by the previous cor.(따름정리 8)\end{proof}\\ \end{document}