
\documentclass[12pt ]{article}
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\newtheorem{thm}{정리}
\newtheorem{cor}[thm]{따름정리}
\newtheorem{lem}[thm]{보조정리}
\newtheorem{prop}[thm]{명제}
\newtheorem{cl}{Claim}


{\theorembodyfont{\rm}
\newtheorem{ex}{예}
\newtheorem{que}{질문}
\newtheorem{notation}{Notation}[section]
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\newtheorem{rem}{주}
\newtheorem{note}{Note}
}
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\renewcommand{\therem}{}

\newenvironment{pf}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}

\begin{document}
\parindent=0cm
\section*{VIII. Application of Homology}
1. The Jordan-Brouwer Separation theorem.
\begin{thm}
$e^r$= a closed $r$-cell (i.e., a homeomorph of $D^r$) in $S^n$
$\Rightarrow \rh{S^n-e^r} =0$.
\end{thm}
\begin{pf}
use induction on $r$.\\
$r=0$ : $e^0$는 한 point이므로 $S^n-e^0$는 contractible하여
당연하다.\\
$r>0$ : $e^r$이 $r$-cell이므로, $\phi :I^r\to e^r\subset S^n$인
homeomorphism이 존재한다. $z$를 $S^n-e^r$의 임의의 reduced
$p$-cycle이라 두자.
\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5.6,1.9)%
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green]
\rput(0.2,0.4){ \pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\psline(0.7,0)(0.7,1) \psline[linestyle=dotted](0.6,0)(0.6,1)
\psline[linestyle=dotted](0.8,0)(0.8,1) \rput(-.2,.5){$I^{r-1}$}
\rput(.4,-.2){$I$} \rput(.7,-.1){\scriptsize $t$}
\pscurve[linestyle=dotted](.6,1)(.7,1.05)(.8,1)
\rput(.75,1.15){\scriptsize $U_t$}

\rput(1.5,.5){\pcarc{->}(0,0)(1,0)} \rput(2,.7){$\phi$} }

\rput(3,0.3){ \pscurve(0,0)(.2,.5)(.5,1)
\pscurve(.5,1)(.7,1.05)(1,.9)(2,1)
\rput(-.5,-1){\pscurve(.5,1)(.7,1.05)(1,.9)(2,1)}
\rput(1.5,0){\pscurve(0,0)(.2,.5)(.5,1)}

\rput(-0.2,0){ \rput(1,-.1){\pscurve(0,0)(.2,.5)(.5,1)}
\rput(.9,-.1){\pscurve[linestyle=dotted](0,0)(.2,.5)(.5,1)}
\rput(1.1,-.1){\pscurve[linestyle=dotted](0,0)(.2,.5)(.5,1)} }

}

\rput(5.15,.8){\psellipse(0,0)(0.2,0.6)\rput(.3,-.3){$z$}
\pscurve[linestyle=dotted](0,.6)(-.3,.3)(-.5,0)(-.3,-.3)(0,-.6)
\rput(-.4,-.6){$c_t$} \psline{->}(-.4,-.5)(-.3,-.3)

}


 \rput(4.8,1.7){$\phi(t\times I^{r-1})=e_t^{r-1}$}


\psline{->}(4.5,1.5)(4.3,1.2)


\end{pspicture}
\end{center}

induction의 가정에 의하여 $\rh{S^n-e_t^{r-1}}=0$이므로, $\bd
c_t=z$가 되는 $c_t\in S_{p+1}(S^n-e_t^{r-1})$이 존재한다. 그런데,
$|c_t|$= support of $c_t$는 compact이므로
$d(e_t^{r-1},|c_t|)=\eps_t>0$이다. 따라서, 그림과 같이
$\phi(U_t\times I^{r-1})\cap |c_t|=\phi$가 되는 $t$의 open
neighborhood $U_t$가 존재한다. \\
각각의 $t\in I$에 대하여 $U_t$가 존재하므로 $\{U_t\}$는 compact
set $I$의 covering이 되고 이에 대해 Lebesgue number
$\frac{1}{m}$을 잡자. \\
$I_j=[\frac{j}{m},\frac{j+1}{m}]$로 두면, $I_j$는 어떤 $U_t$에
속하므로 각각의 $I_j$에 대하여 $\bd c_j=z$가 되는 $c_j\in
S^n-\phi(I_j\times I^{r-1})$이 존재한다. 이제 다음 claim으로부터
증명이 끝난다. \\

\underline{Claim}  Let $J_1=[a,t]$, $J_2=[t,b]$ for $a,b\in I$ and
$e_i^r=\phi(J_i\times I^{r-1})$. \\ If $c_i\in S_{p+1}(S^n-e_i^r)$
is such that $\bd c_i=z$ for $i=1,2$, then there exists $c\in
S_{p+1}(S^n-e_1^r \cup e_2^r)$ such that $\bd c=z$.\\[2mm]
\underline{proof of Claim}\\
$X_i=S^n-e_i^r$이라 두면, $X_1\cup X_2=S^n-e_t^{r-1}$, $X_1\cap
X_2=S^n-e_1^r\cup e_2^r$이므로 다음과 같은 MV-sequence를 얻는다.

\[
\xymatrix @=1em @*[c] { %
\cdots \ar[r] & \hh_{p+1}(X_1\cup X_2) \ar[r] & \hh_{p}(X_1\cap
X_2) \ar[r]^<<<i & \hh_p(X_1)\oplus\hh_p(X_2) \ar[r] &\cdots }
\]
induction의 가정에 의하여 $\hh_{p+1}(X_1\cup X_2)=0$이므로 $i$는
injection이다. claim의 가정으로부터 $\{z\}$는 $\hh_p(X_1)$,
$\hh_p(X_2)$에서 보면 0이고, $i$는 각각의 좌표에 대한
inclusion으로부터 induce된 map이므로 $\hh_{p}(X_1\cap X_2)$에서
$\{z\}= 0$이다.
\end{pf}
\begin{cor}
$e^r\subset \rb^n\Rightarrow \hh(\rb^n-e^r)\cong\hh(S^{n-1})$.
\end{cor}
\begin{pf} Exercise. \end{pf}
\begin{thm}
Let $s^r\subset S^n$ be a homeomorph of $S^r$. Then\\
(1) $r\leq n$ \\
(2) $r=n\Rightarrow s^n=S^n$ \\
(3) $r<n \Rightarrow \hh_p(\sm)=\{\begin{array}{ll} \zb (or\ R)&,
p=n-r-1\\ 0&, otherwise \end{array}$
\end{thm}
\begin{pf}
가정에 의하여 homeomorphism $\phi :S^r\to s^r$이 존재한다. $S^r$의
(적도를 포함하는) 북반구를 $E^r_+$, 남반구를 $E^r_-$라 두고,
$e^r_+=\phi(E^r_+)$, $e^r_-=\phi(E^r_-)$라 하자. $X_+=S^n-e^r_+$,
$X_-=S^n-e^r_-$라 하면, $X_+\cup
X_-=S^n-s^{r-1}$, $X_+\cap X_-=S^n-s^{r}$이다.\\
먼저 $\sm=\phi$인 경우에는 $S^n=s^r$이므로 $n=r$임을 알 수 있다.\\
$\sm\neq\phi$라면 다음의 MV-sequence를 얻는다.
\[
\xymatrix @=1em @*[c] { %
\cdots \ar[r] & \hh_{p+1}(X_1)\oplus\hh_{p+1}(X_2) \ar[r] &
\hh_{p+1}(X_1\cup X_2) \ar[r] & \hh_{p}(X_1\cap X_2) \ar[r]
&\cdots }
\]
정리 1에 의하여 $\hh(X_1)=\hh(X_2)=0$이므로,
$$ \hh_{p+1}(S^n-s^{r-1})\cong \hh_p(\sm)$$
을 얻는다. 이 식을 귀납적으로 적용하면,
$$  \hh_p(\sm)\cong\hh_{p+r}(S^n-s^0)$$
임을 알 수 있다. 그런데 $s^0$는 2 points이므로 $S^n-s^0\simeq
S^{n-1}$이고, 따라서
$$\hh_p(\sm) =\{\begin{array}{ll} \zb (or\ R)&,
p+r=n-1\\ 0&, otherwise \end{array}$$ 이다. 이 때, 만약 $r\geq
n$이라면 $p=n-r-1<0$에 대하여 $\hh_p(\sm)=\zb$가 되므로 모순이다.
따라서 (1)(2)(3)이 모두 증명되었다.
\end{pf}

\newpage
\begin{cor}
$s^r\subset\rb^n\Rightarrow r<n$ and $
\hh_p(\rb^n-s^r)=\{\begin{array}{ll} \hh_p(\sm) &, p\neq n-1\\
 \hh_p(\sm)\oplus \zb &, p=n-1\end{array}$
 \end{cor}
\begin{pf} Exercise. \end{pf}\\
즉,\\
(1) $r\neq 0 \Rightarrow \hh_p(\rb^n-s^r)=\{\begin{array}{ll} \zb &, p=n-r-1,\ n-1\\
 0 &, otherwise\end{array}$,\\
(2) $r= 0 \Rightarrow \hh_p(\rb^n-s^r)=\{\begin{array}{ll} \zb\oplus\zb &, p=n-1\\
 0 &, otherwise\end{array}$.\\
이로부터 다음의 따름정리를 얻는다.
\begin{cor}
$s^r\subset S^n$ disconnects iff $r=n-1$\\ and $s^r\subset \rb^n$
disconnects iff $r=n-1$.
\end{cor}
\begin{pf}
$r=n-1$이면 $\hh_0(\sm)=\hh_0(\rb^n-s^r)=\zb$이므로 자명하다.
\end{pf}
\begin{thm}[Jordan-Brouwer Separation theorem]
\hfill\\ For all $s^{n-1}\subset S^n$, $S^n-s^{n-1}$ consists of 2
connected components both having $s^{n-1}$ as boundary.
\end{thm}

\begin{pf}
$\hh_0(S^n-s^{n-1})=\zb$이므로 $S^n-s^{n-1}$는 2개의
path-component를 갖는다. 이를 $O_1, O_2$라고 두고 각각의
boundary가 $s^{n-1}$임을 보이면 증명이 끝난다.\\
$O_1, O_2$는 모두 open set이므로, $x\in bdy(O_i)$라면 $x \notin
O_i$가 되어 $x\in s^{n-1}$이다.\\
역으로 $s^{n-1}\subset bdy(O_i)$를 보기기 위해서 임의의 $x\in
s^{n-1}$에 대하여 $x$의 임의의 open neighborhood $U$가 $U\cap
O_i\neq\emptyset$를 만족함을 보이면 된다.\\
%\psset{unit=2cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(5.6,1.9)%
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green]
%\rput(0.7,1){ \pscircle(0,0){.5}}
%\rput(0.2,0.4){\rput(1.5,.5){\pcarc{->}(0,0)(1,0)}
%\rput(2,.7){$\phi$} } \rput(3,0.4){
%\pscurve(0,0)(.9,.1)(1,.8)(0,.9)(-.1,.1)(0,0) }
%\end{pspicture}
%\end{center}
먼저 $y_1\in O_1$, $y_2\in O_2$를 적당히 잡는다. homeomorphism
$\phi$에 대해 $s^{n-1}=\phi(S^{n-1})$라 두고 $x\in A\subset U\cap
s^{n-1}$를 만족하도록 $y=\phi^{-1}(x)\in S^{n-1}$의 closed ball
neighborhood $B$와 $A=\phi(B)$를 잡으면, $e^{n-1}:=
s^{n-1}-\phi(\overset{\circ}{B})$는 closed $(n-1)$-cell이 된다.
따라서 정리 1에 의하여 $\hh_0(S^n-e^{n-1})=0$이므로,
$S^n-e^{n-1}$는 path
connected이다. \\
$y_1$, $y_2$를 잇는 $S^n-e^{n-1}$의 path를 $\sig$라 두자.
$\emptyset\neq\sig(I)\cap s^{n-1}=\sig(I)\cap A$는 closed
set이므로 $\sig^{-1}(\sig(I)\cap A)$는 closed set이고, 이의
complement $W$는 open interval들의 countable union이다. 이제,
$I_1=[0,x_1)$과 $I_2(x_2,1]$을 $W$의 처음과 마지막 open
interval이라 두자.

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5,1.6)%
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=red,subgridcolor=green]
\rput(0.2,.7){ \psline(0,0)(1,0)
\psline(0,0.05)(0,-.05)\psline(1,0.05)(1,-.05)\psline(0.3,0.05)(0.3,-.05)\psline(0.7,0.05)(0.7,-.05)
\rput(0,-.2){$0$}\rput(0.3,-.2){$x_1$}\rput(0.7,-.2){$x_2$}\rput(1,-.2){$1$}
\rput(.15,.1){\scriptsize $I_1$}\rput(.85,.1){\scriptsize $I_2$} }

\rput(0,0.2){\rput(1.5,.5){\pcarc{->}(0,0)(1,0)}
\rput(2,.7){$\sig$} } \rput(3,0.2){
\pscurve(0,0)(.9,.1)(1,.8)(0,.9)(-.1,.1)(0,0)
\pscircle[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=white](1,.5){.5}
\pscurve[linestyle=dotted](0,0)(.9,.1)(1,.8)(0,.9)(-.1,.1)(0,0)
\pscurve{*-*}(.5,.7)(1.5,.5)(.6,.4)(1.7,.2)
\rput(.3,.7){$y_1$}\rput(1.9,.2){$y_2$} \rput(.25,.2){$O_1$}
\rput(2,-.2){$O_2$} \rput(1.1,1.1){$A$} \psline{->}(1,1)(.9,.9)
\rput(.4,1.3){$\sig(I_1)$}\rput(1.3,-.2){$\sig(I_2)$}
\psline{->}(.5,1.1)(.7,.7)\psline{->}(1.3,-.1)(1.2,.18)
 }
\end{pspicture}
\end{center}
이제, $\sig(I_1)\subset S^n-s^{n-1}$이고 $O_1$이 path
component이므로 $\sig(I_1)\subset O_1$이고, 마찬가지로
$\sig(I_2)\subset O_2$이다. 그런데 $\sig(x_i)\in A\subset
U$이므로, $U\cap O_i\neq\emptyset$이다.
\end{pf}


\begin{cor}
For all $s^{n-1}\subset \rb^n$, $n\geq 2 \Rightarrow
\rb^n-s^{n-1}$ has 2 connected components both having $s^{n-1}$ as
boundary.
\end{cor}
\begin{pf}
$S^n=\rb\cup\{\infty\}$이므로 위의 정리로부터 자명하다.
\end{pf}\\
이 때, $\infty$를 포함하는 component를 unbounded component,
그렇지않는 component를 bounded component라 부른다.\\


{\bf Remark}\\
If $n=2$, the above corollary is the Jordan Curve Theorem. \\

\underline{\bf Schoenflies Theorem}\\
If $n=2$, $\overline{O}_1$ and $\overline{O}_2$ are closed disks.
In fact, any embedding $h:S^1(\subset \rb^2) \to \rb^2$ can be
extended to a homeomorphism $\bar{h}:\rb^2\to \rb^2$.\\

If $n=3$, this is not true as Alexander horned sphere shows.

\begin{figure}[h]
   \centerline{\includegraphics*[scale=0.3,clip=true]{alexander.eps}}
\end{figure}
\begin{center}
그림 : Alexander horned sphere \footnote{It is homeomorphic with
the ball $D^3$, and its boundary is therefore a sphere. It is
therefore an example of a wild embedding in $\rb^3$. The outer
complement of the solid is not simply connected, and its
fundamental group is not finitely generated. Furthermore, the set
of nonlocally flat ("bad") points of Alexander's horned sphere is
a Cantor set. \\
From http://mathworld.wolfram.com/AlexandersHornedSphere.html}
\end{center}
\newpage
\begin{thm}[Invariance of domain]
\hfill\\
Let $U\subset \rb^n$(resp. $S^n$) be an open set. If $f: U\to
\rb^n$(resp. $S^n$) is one-to-one continuous, then $f(U)$ is open
in $\rb^n$(resp. $S^n$) and hence $f$ is an embedding. (since $f$
is an open map.)
\end{thm}
\begin{pf}
$S^n$에 대해서만 보이면 충분하다.\\
임의의 $y=f(x)\in f(U)$에 대하여 $x\in B_\eps\subset
\overline{B_\eps}\subset U$인 open ball $B_\eps$를 잡자.
$S_\eps=\bd B_\eps$, $s^{n-1}=f(S_\eps)$라 두면, 앞의 정리에
의하여 $S^n-s^{n-1}$은 2개의 connected component $O_1$과 $O_2$를
갖는다. 이 떄 $y$를 포함하는 component를 $O_1$이라 두고
$f(B_\eps)=O_1$임을 보이면 증명이 끝난다.\\
$f(B_\eps)\subset O_1$ : $f(B_\eps)$는 connected이므로 자명하다.\\
$f(B_\eps)=O_1$ : $f(\overline{B}_\eps)$는 $n$-cell이므로
$S^n-f(\overline{B}_\eps)$는 connected이다. 그런데,
$$S^n-f(\overline{B}_\eps)=S^n-f(B_\eps)-f(S_\eps)=(O_1-f(B_\eps))\sqcup
O_2=(O_1-f(\overline{B}_\eps))\sqcup O_2$$ 이고 좌변에서
connected해야 하므로, $O_1-f(\overline{B}_\eps)=\phi$가 되어
$f(B_\eps)=O_1$이 된다.
\end{pf}

\end{document}