
\documentclass[12pt ]{article}
\setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true
cm}

\usepackage{hangul}
\usepackage{amscd,amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb,theorem}
\usepackage{longtable}
\usepackage{floatflt}
\usepackage{texdraw, epic, pstcol ,pstricks ,pst-3d, pst-poly,pst-grad,pst-node, pst-text}
\usepackage{floatflt}
\usepackage[arrow,matrix]{xy}
\usepackage{graphicx}

\newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}}
\newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}}


\newcommand{\alp}{\alpha}
\newcommand{\bet}{\beta}
\newcommand{\del}{\delta}
\newcommand{\gam}{\gamma}
\newcommand{\vep}{\varepsilon}
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\lam}{\lambda}
\newcommand{\kap}{\kappa}
\newcommand{\sig}{\sigma}
\newcommand{\ome}{\omega}
\newcommand{\Gam}{\Gamma}
\newcommand{\Ome}{\Omega}
\newcommand{\Sig}{\Sigma}
\newcommand{\Del}{\Delta}
\newcommand{\Lam}{\Lambda}
\newcommand{\rb}{\mathbb{R}}
\newcommand{\zb}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\bd}{\partial}
\newcommand{\key}[1]{\emph{\textbf{#1}}}
\newcommand{\rh}[1]{\widetilde{H}(#1)}
\newcommand{\hh}{\widetilde{H}}
\newcommand{\hhp}{\widetilde{H}_p}
\newcommand{\sn}{S^n}
\newcommand{\snn}{S^{n+1}}
\newcommand{\enp}{\overset{\circ}{E^n_+}}

\newtheorem{thm}{정리}
\newtheorem{cor}[thm]{따름정리}
\newtheorem{lem}[thm]{보조정리}
\newtheorem{prop}[thm]{명제}
\newtheorem{cl}{Claim}


{\theorembodyfont{\rm}
\newtheorem{ex}{예}
\newtheorem{que}{질문}
\newtheorem{notation}{Notation}[section]
\newtheorem{defn}{정의}
\newtheorem{rem}{주}
\newtheorem{note}{Note}
}
\renewcommand{\thenote}{}
\renewcommand{\therem}{}

\newenvironment{pf}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}\\}

\begin{document}
\parindent=0cm
\section*{VIII. 3 Hopf theorem and $\pi_n(S^n)$}
%1. Suspension
\begin{defn}
(1) Let $X$ be a space. The \key{suspension} of $X$, $\Sigma X$ is
the quotient space of $X\times[-1,1]$ obtained by identifying
$X\times
\{1\}$ to a point and $X\times \{-1\}$ to another point.\\
(2) Given a map $f : X\to Y$, the \key{suspension} of $f$, $\Sigma
f : \Sigma X \to \Sigma Y $ is defined by $\Sigma
f(x,t)=(f(x),t)$.
\end{defn}

\textbf{예.} $\Sigma \sn=\snn$.\\
\textbf{Note.} $f\simeq g : X\to Y \Rightarrow \Sigma f\simeq
\Sigma g :  \Sigma X\to \Sigma Y $.
\begin{thm}
$f: \sn \to \sn \Rightarrow deg f = deg(\Sigma f)$
\end{thm}
\begin{pf}
In general, let $f: X\to Y $ so that $\Sigma f : (\Sigma X, X_+,
X_-)\to (\Sigma Y, Y_+, Y_-)$.\\
From MV-sequence, we have a commutative diagram,
\[
\xymatrix @=2em @*[c] { %
\hh_{p+1}(\Sigma X) \ar[r]^{\bd_*} \ar[d]_{(\Sigma f)_*} & \hhp(X)\ar[d]_{f_*}\\
\hh_{p+1}(\Sigma Y) \ar[r]^{\bd_*} & \hhp(Y)}
\]\\[1mm]
이때, ${\bd_*}$가 isomorphism이므로 $deg f = deg(\Sigma f)$임을 알
수 있다.
\end{pf}
\begin{thm} $f: \sn \to \sn(=\Sigma S^{n-1}))$, $n\geq 2$ $ \Rightarrow
\exists g : S^{n-1} \to S^{n-1}$ such that $f\simeq \Sigma g$.
\end{thm}
\begin{lem}
Let $f: \sn \to \sn$, $n\geq 2$. Then there exist $g: \sn\to \sn $
and $q\in \sn $ such that $f\simeq g $ and $g^{-1}(q)=\emptyset$
or one point.
\end{lem}
\begin{pf}
(1) may assume $\exists q$ such that $f^{-1}(q) $ is $\emptyset$
or finite set $\{p_0, \cdots ,p_k\}$ by simplicial approximation
theorem.\\
$f$는 simplicial approximation을 가지므로, $f$를 simplicial
map으로 생각해도 된다. 따라서 $f$는 simplex를 simplex로
보내주므로, $\sn$에 적당한 triangulation을 주고 한
triangle(simplex) 내부의 점을 생각하면 그 inverse image는 isolated
set이다. 따라서
유한집합임을 알 수 있다. \\

(2) may assume$\{p_0, \cdots ,p_k\}\subset \overset{\circ}{E^n_+}$
by an isotopy of $\sn$ by "pulling pants".\\
여기서 isotopy는 homotopy $F:X\times I \to X$이면서 각 $t\in I$에
대하여 $F_{t} : X\to X$, $F_t(x)=F(x,t)$가 homeomorphism인 map을
뜻한다.\\

(3) Let $L$ be the union of line segments from $p_0$ to $p_i$.
Then may assume $f(L)\neq \sn$. ($\because$ $f$는 simplicial
map으로 가정했으므로, image가 $\sn$ 전체가 되지는 않는다.)\\
Since $f(L)$ is compact, there exists $ U $, an
$\eps$-neighborhood of $L$ contained in $\enp$ such that
$f(\overline{U})\neq \sn$. So, may assume $f:(\sn,
\overline{U})\to (\sn,\enp) $ and $q$ is the north pole
by rotation and pulling pants.\\

(4) There exists $f_1\simeq f$ such that $f_1^{-1}(q)=L$. \\
Let $\mu: \sn \to [0,1]$ be defined by $\mu(x)=\frac{1}{\eps} min
\{ d(x,L),\eps\}$ and $$f_1(x):=
\frac{\mu(x)f(x)+(1-\mu(x))q}{|\mu(x)f(x)+(1-\mu(x))q|}$$

즉, $f_1$은 $U$ 바깥에서는 $f_1=f$, $L$상에서는 $f_1=q$인 map이다.
따라서
$f$와 $f_1$은 모든 점에서 antipodal이 되지 않고 앞절의 정리에 따라 $f\simeq f_1$이다. \\

(5) There exists $h: (\sn,L)\to (\sn, p)$ such that $h: \sn
\setminus L \to \sn\setminus p$ is a homeomorphism.\\
Let $$h(x) = \frac{\mu(x)x+(1-\mu(x))p}{|\mu(x)x+(1-\mu(x))p|}.$$
Futhermore $h$ and identity are never antipodal, so $h\simeq
id$.\\

(6)\hspace{9em}
\xymatrix @=2em @R=.5em @*[c] { %
& (\sn, L ) \ar[r]^{f_1} \ar[dd]^h \ar[dl]_q & (\sn, q)\\
\sn /L \ar[dr]_{\overline{h}} & & \\
&(\sn,p) \ar@{.>}[uur]_{\exists g}&&} \\[1mm]
(5)에 의하여 $\overline{h}$는 homeomorphism이다. 따라서 $h$를
quotient map으로 이해할 수 있고 $g^{-1}(q)=p$가 되는 $g$가
존재한다. 또한 $$f\simeq f_1=g\circ h \simeq g$$가 성립하므로
증명이 끝났다.
\end{pf}

{\bf 정리 2의 증명} $n$을 north pole, $s$를 south pole이라고 하자.
위의 보조정리에 의하여 $f^{-1}(n)=\emptyset$ or $\{n\}$이라고
가정해도 된다.\\
만약 $f^{-1}(n)=\emptyset$이면 $f\simeq c\simeq \Sigma c$ ($c$:
constant map)이므로, $f^{-1}(n)=\{n\}$인 경우만 증명하면 된다. \\
$s$의 ball neighborhood $B_s$를 생각하면, $f(D)\subset B_s^c$인
$n$의 neighborhood $D$가 존재한다. 이때, $f(D^c)$는 compact
set이고 $n$을 포함하지 않으므로, $f(D^c)\subset B_n^c$인 $n$의
neighborhood $B_n$이 존재한다.\\
$\sn$의 isotopy를 이용하여 $D=\enp$로 가정해도 무방하다. 따라서,
$\bd D=S^{n-1}$이고, $f(S^{n-1})\subset (B_n\cup B_s)^c$가
성립한다.\\
$\tau$를 "squeezing deformation" $\tau : (\sn,\bd B_n,\bd
B_s)\to(\sn,S^{n-1},S^{n-1})$라 두자. $\tau((B_n\cup
B_s)^c)\subset S^{n-1}$이므로,
$$ g:= \tau\circ f|_{S^{n-1}} :S^{n-1}\to S^{n-1}$$
이 잘 정의된다. 또한
$$\tau\circ f(E^n_+)\subset E^n_+, \ \ \tau\circ f(E^n_-)\subset
E^n_-$$ 가 성립하므로, $\Sigma g$와 $\tau\circ f$는 모든 점에서
antipodal이 되지 않고 따라서 $\Sigma g\simeq \tau\circ f \simeq f$
임을 알 수 있다.\hfill\framebox[2mm]{}

\begin{thm} $deg : \pi_1(S^1)\to \zb$ is an isomorphism.\end{thm}
\begin{pf}
$\alp_n: S^1 \to S^1$을 $\alp_n(z)=z^n$으로 정의하면
$deg(\alp_n)=n$이고, $\pi_1(S^1)=\{[\alp_n]\}$임을 알 수 있다.
$\pi_1(S^1)$에서 $[\alp_n] +[\alp_m]=[\alp_{n+m}]$이 성립하므로
$deg$는 isomorphism임을 확인할 수 있다.
\end{pf}
\begin{thm}[Hopf]\hfill\\
$n\geq 1, f\simeq g : \sn \to \sn \Leftrightarrow deg f =deg g$
\end{thm}
\begin{pf}
Induction on $n$.\\
$n=1$: may assume $f,g : (S^1,1)\to (S^1,1)$ by rotations so that
$[f],[g]\in \pi_1(S^1)$. Then $deg f=deg g\Rightarrow [f]=[g]
\Rightarrow f\simeq g$.\\
$n>1$: $f,g : \sn\to\sn$$\Rightarrow \exists f_1,g_1: S^{n-1}\to
S^{n-1}$ such that $f\simeq \Sigma f_1$ and $g\simeq \Sigma g_1$.\\
Then $ deg f_1 =deg(\Sigma f_1)=deg f = deg g =deg(\Sigma g_1)=deg
g_1$. By induction, $f_1\simeq g_1$. So, $f\simeq g$. \end{pf}

\begin{thm} $deg : \pi_n(S^n)\to \zb$ is an isomorphism.\end{thm}
\begin{pf} Induction on $n$.
\[
\xymatrix @=1.5em @R=2em @*[c] { %
\pi_{n-1}(S^{n-1}) \ar[rr]^{\Sigma_*} \ar[dr]_{deg_{n-1}} & & \pi_n(\sn) \ar[dl]^{deg_n}\\
& \zb&}
\]
정리 1에 의하여 위 diagram이 commute하고, 정리 2에 의하여
$\Sigma_*$는 onto이다. Induction에 의하여 $deg_{n-1}$이
isomorphism이므로 $\Sigma_*$가 injection이고 따라서 $\Sigma_*$,
$deg_n$는 isomorphism이 된다.
\end{pf}

{\bf Remark.} (Freudental suspension theorem)\\
$\Sigma_*: \pi_k(\sn) \to \pi_{k+1}(\snn)$ is an isomorphism for
$k<2n-1$ and onto for $k=2n-1$.\\

\underline{General version of Hopf's theorem} \\
Let $M^n$ be a closed orientable $n$-manifold. Then $H_n(M^n)\cong
\zb$. So for a map $f: M^n\to \sn$, $deg f$ is well-defined.

\begin{thm}
Let $f: M^n \to \sn$. Then there exist $g: M^n \to \sn $ and $q\in
\sn $ such that $f\simeq g $ and $g^{-1}(q)=\emptyset$ or one
point.
\end{thm}
\begin{pf} Same as 보조정리 3. \end{pf}
\begin{thm}[Hopf]\hfill\\
$f\simeq g : M^n \to \sn \Leftrightarrow deg f =deg g$
\end{thm}
\begin{pf}
{\bf 숙제 3} \end{pf}
\begin{cor}
$[M^n,S^n]\cong \zb$ \end{cor}

\end{document}