\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Homotopy invariance(general version)} \begin{thm} If $f \simeq g : X\rightarrow Y$, then the following diagram $\hspace{11em}\,\,\,f_{\sharp}$ $ \hspace{7em}\pi_1(X,x_0)\rightarrow \pi_1(Y,f(x_0))$ $\hspace{9em}g_{\sharp}\searrow \hspace{3em}\downarrow \phi_{\rho} \hspace{4em}commutes$, $\hspace{13em}\pi_1(Y,g(x_0))$ where $\rho(t):=F(x_0,t)$ and F is a homotopy between f and g. \end{thm} \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=0.4,clip=true]{homo4.eps}} \end{figure} \begin{proof} $\phi_{\rho}\circ f_{\sharp} = g_{\sharp}$ 임을 보이자.\\ 즉, $\rho^{-1}*(f \circ \alpha)*\rho\,\, \sim\,\, g \circ \alpha $ 를 주는 homotopy 를 찾으면 된다.\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=0.4,clip=true]{homo5.eps}} \end{figure} 왼쪽 그림에서 원하는 boundary condition 을 만족하는 homotopy G 만 찾으면 되므로 먼저 그림 1의 boundary를 그림 2의 boundary에 맞게 shrink시키는 boundary사이의 map을 $I \times I$로 extend시키면 된다. 즉 원하는 homotopy 의 존재성은 일반적으로 map $\phi:\partial D^2 \rightarrow \partial D^2$ 를 $\overline{\phi}: D^2\rightarrow D^2$로 extend시킬 수 있다는 사실로부터 증명된다. (예를 들어 radial extension이 있다.) 따라서 \newpage $\hspace{3em}\alpha \times id\hspace{5em}F$ $I \times I\,\,\,\,\,\,\,\, \rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\, X \times I \,\,\,\,\,\,\,\,\rightarrow Y$ 에 대해 $F\circ(\alpha \times id)\circ \overline{\phi}$ 가 원하는 homotopy를 준다. \end{proof} \begin{thm}\textit{ X,Y are path connected. X$\simeq$Y $\Rightarrow \pi_1(X) \cong \pi_1(Y)$.\\ More precisely, $\,\,$ if $\,\,$ f : $X\rightarrow Y $ is a homotopy equivalence, then \\ $f_{\sharp}:\pi_1(X,x_0)\rightarrow \pi_1(Y,f(x_0))$ is an isomorphism.}\\ \end{thm} \begin{proof} Let $g$ be a homotopy inverse of $f$ : X $\rightarrow $ Y $,\,$ i.e., $g \circ f \simeq id_{X} $\,\,$ and $\,\,$ f \circ g \simeq id_{Y}$.\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=0.4,clip=true]{homo6.eps}} \end{figure} $id_X \simeq g \circ f$ 사이의 homotopy 동안의 $x_0$의 path를 $\rho$ 라 두자. 그러면 앞의 정리에 의해 다음 diagram, $\hspace{11em}\,\,\,(g \circ f)_{\sharp}$ $ \hspace{7em}\pi_1(X,x_0)\hspace{1em}\rightarrow \hspace{1em}\pi_1(X,(g \circ f)(x_0))$ $\hspace{9em}id_{\sharp}\searrow \hspace{4em}\uparrow \phi_{\rho} $\\ $\hspace{14em}\pi_1(X,x_0)$\\ 이 commute하므로 $\phi_{\rho} \circ id_{\sharp}=(g\circ f)_{\sharp} : \pi_1(X,x_0)\rightarrow \pi_1(X,(g \circ f)(x_0))$. 따라서 $\phi_{\rho}=g_{\sharp}\circ f_{\sharp}$ 이고 $\phi_{\rho}$는 isomorphism 즉 onto 이므로 $g_{\sharp}:\pi_1(Y,f(x_0)) \rightarrow \pi_1(X, (g \circ f)(x_0))$ 역시 onto 이다. (여기서 $f_{\sharp}:\pi_1(X, x_0) \rightarrow \pi_1(Y, f(x_0)).$) 이번에는 $g \circ f$ 대신에 $f \circ g$ 에 대하여 마찬가지로 하면 $\phi_{\sigma} = f_{\sharp}\circ g_{\sharp}$ 역시 isomorphism 즉 1-1 이므로 $g_{\sharp}:\pi_1(Y,f(x_0) \rightarrow \pi_1(X, (g \circ f)(x_0))$은 1-1이 된다. (여기서의 $f_{\sharp}$은 $f_{\sharp}:\pi_1(X, g \circ f(x_0)) \rightarrow \pi_1(Y, f(g \circ f(x_0)))$이 되어 위 문단의 $f_{\sharp}$과는 다르다.) 따라서 $g_{\sharp}$ 은 isomorphism이 된다. 따라서 위 문단에서의 $f_{\sharp}:\pi_1(X, x_0) \rightarrow \pi_1(Y, f(x_0))$ 은 isomorphism 이 된다. \end{proof} \end{document}