\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\rc}{\mathcal{R}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Examples and review of implicit function theorem.} {\bf 1. $\rb^n$.} $\{(\rb^n,id)\}$를 생각하면, 이는 atlas가 되고 이 때 이것을 standard structure라고 한다. 참고로, n=4이외의 모든 $\rb^n$에 대해서는 standard structure 이외의 structure(exotic structure)가 존재하지 않음이 알려져 있다. n=4의 경우 무수히 많은 exotic structure를 가지고 있다.\\ {\bf 2. $\mathbb{S}^n$} : 세 가지 방법으로 살펴보자.\\ (1) \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=0.6,clip=true]{grp6.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 6\\ $\sbb^n$에서 북극 $p_{+}$를 제외한 나머지 $U_+$와 $p_{-}$를 제외한 나머지 $U_-$ 두개의 open set을 생각해보자. 그리고 각각의 open set에서 stereographic projection을 구해보자. 먼저 $\mathbb{S}^n \backslash \{p_{+}\}$ 위에서 stereographic projection $\phi_{+}$ 를 구해보면 $\phi_+ : \sbb^n \backslash \{p_+\} \rightarrow \rb^n\hspace{0.5em},\hspace{0.5em}$ $(x_1,\cdot\cdot\cdot ,x_{n+1})\mapsto y=\frac{1}{1-x_{n+1}}(x_1,\cdot\cdot\cdot ,x_n)$이고 또한 $\phi_- : \sbb^n \backslash \{p_-\} \rightarrow \rb^n\hspace{0.5em},\hspace{0.5em}$ $(x_1,\cdot\cdot\cdot ,x_{n+1})\mapsto y=\frac{1}{1+x_{n+1}}(x_1,\cdot\cdot\cdot ,x_n)$ 이다. 이 때, 두 개의 chart가 $\cc^k$-related 임을 보이기위해 $\phi_{+}^{-1}$을 구해보면 $\phi_+^{-1} : \rb^n \backslash \{0\} \rightarrow \sbb^n\backslash \{p_+\}\hspace{0.5em},\hspace{0.5em}$ $(y_1,\cdot\cdot\cdot ,y_{n})\mapsto y=\frac{2}{1+|y|^2}(y_1,\cdot\cdot\cdot ,y_n,\frac{|y|^2-1}{2})$ 이므로 따라서 $(\phi_- \circ \phi_+^{-1}) (y)=\frac{y}{|y|^2}$ 이다. $\phi_- \circ \phi_+^{-1} $이 정의역에서 0는 빠지므로 이는 smooth map이고 따라서 $\cc^k$-related 임을 보였다.(사실은 conformal, real analytic 까지도 만족한다)\\ $\vspace{2em}$ (2) \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=0.4,clip=true]{grp7.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 7\\ $U_1,U_2$를 $\sbb^1$의 윗부분과 아랫부분으로 두고 $U_3,U_4$를 왼쪽, 오른쪽 부분으로 둔 다음 각각 projection map을 생각해서 이를 $\phi_i,i=1,2,3,4$로 두자. 그러면 이 때 $\{(U_i,\phi_i)\,|\,i=1,2,3,4\}$는 atlas가 됨을 보일 수 있다.\\ {\bf 숙제1.} (1)에 의해 generated된 maximal atlas $\mathcal{F}$와 (2)에 의해 generated된 maximal atlas $\mathcal{F}$가 같음을 보여라. (다시 말해 (1)과 (2)는 $\sbb^n$상에 같은 smooth structure를 준다.)\\ (3) $\sbb^n=\{x\in \rb^{n+1}\,|\,f(x)=|x|^2-1=0\}$ 으로 표현할 수 있고 이는 smooth structure를 가짐을 다음 정리에 의해 보일 수 있다.\\ \begin{prop} Let $f:\rb^n\rightarrow \rb$ be a $\cc^\infty$-map, $M=f^{-1}(0)=\{p\in \rb^n\,|\,f(p)=0\}$(이런 것을 hypersurface라 부른다.) Assume $M\neq\emptyset,\nabla f=grad\,\,f$ is nonsingular on $M$. Then M is a $\cc^\infty$-manifold. \end{prop} 즉 위 명제에 따른다면 $f(x)=|x|^2-1=x_1^2+x_2^2+\cdot\cdot +x_{n+1}^2-1$, $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)=2x_i$ 이므로 $\nabla f=2(x_1,\cdot\cdot\cdot,x_{n+1})\neq 0$ 이 되어 M은 smooth structure를 가진다는 것을 알 수 있다. 위 명제의 증명을 위해서 Inverse function theorem, Implicit function theorem을 다시 한 번 살펴보자.\\ \begin{thm} (Inverse function theorem) Let $U\subset\rb^n$ be an open subset, $f:U\rightarrow \rb^n$ be a $\cc^k$-map, $1\leq k \leq \omega$. If the Jacobian matrix $\frac{\partial f}{\partial x}=(\frac{\partial f_i}{\partial x_j})$ is nonsingular at $p\in U$, then $f$ is a local diffeomorphism at $p$, i.e., $\exists\,V$ , a neighborhood of $p$ such that $f|_V:V\rightarrow f(V) $ is a $\cc^k$-homeomorphism and $f|_V^{-1}$ is also $\cc^k$. \end{thm} (증명) Munkres : Analysis on Manifold 참조.\\ 위 정리로부터 Implicit function theorem을 이끌어 낼 수 있다.\\ \begin{thm} (Implicit function theorem) Let $U\subset\rb^n \times \rb^m$ be open, $f:U\rightarrow \rb^m$ be a $\cc^k$-map ($1\leq k \leq \omega$), $p=(a,b)\in U$. If $f(p)=0$ and the $m\times m$ matrix $\frac{\partial f}{\partial y}(p)$ is nonsingular, then $f(x,y)=0$ can be solved locally for $y=g(x)$, i.e., $\exists V\subset\rb^n$,a neighborhood of $a$ and $W\subset\rb^m$ of b with $V\times W\subset U$ and $\exists \cc^k$-map $g:V\rightarrow W$, such that $f(x,y)=0\Leftrightarrow y=g(x),\forall (x,y)\in V\times W.$ \end{thm} (sketch of proof) \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=0.5,clip=true]{grp8.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 8\\ $(x,y)\in\rb^{n+m}$ 에 대해 $F:U\subset\rb^{n+m}\rightarrow\rb^{n+m}$, $(x,y)\mapsto(x,f(x,y)) $를 생각하자. 이 때 F의 Jacobian matrix를 살펴보면 \[ DF= \left[ \begin{array}{rr} I & 0 \\ \frac{\partial f}{\partial x} &\frac{\partial f}{\partial y} \end{array} \right], \] 이고 따라서 det DF$=det\frac{\partial f}{\partial y}\neq 0$ 이므로 Inverse function theorem의 조건을 만족한다. 즉 $ G=F^{-1}$ 가 존재해서 $G(x,z)=(x,h(x,z))$ 로 표현할 수 있고 이 때 $g(x):=h(x,0)$ 가 바로 원하는 explicit function이 된다. $\hspace{7em}\Box$\\ 이제 이로부터 명제1을 증명해보자. (명제 1의 증명) $\forall\,p\in M, \nabla f(p)\neq 0$ 이므로 $\frac{\partial f}{\partial x_n}(p)\neq 0$ 이라고 가정해도 일반성을 잃지 않는다. Implicit function theorem에 의해 $f(x_1,\cdot\cdot\cdot ,x_n)=0$은 적당한 $p$의 근방에서 $x_n=g(x_1,\cdot\cdot\cdot,x_{n-1})$, $g\in \cc^{\infty}$ 으로 풀 수 있다. 이 때 다음과 같이 함수 $G$를 정의하자. $\hspace{2em}G:V\rightarrow\rb^n$ , $G(q)=(q,g(q))\in M$. 그러면 이는 당연히 $\cc^{\infty}$-map이 되고 이것은 바로 graph map이 된다. 이제 $M$에 coordinate chart를 주기 위해 다음 함수를 생각하자. $\hspace{2em}\phi:=G^{-1}:U=G(V)\rightarrow V(\subset \rb^{n-1})$. 그러면 이 $(U,\phi)$는 $p$근방에서의 $M$의 coordinate chart 가 된다. $\phi$는 graph map(은 embedding이다) $G$의 역함수이므로 homeomorphism이 되고 이제 이런 식으로 정의된 $(U,\phi)$들간의 $\cc^k$-related 여부만 확인하면 된다. 만일 $(\widetilde{U},\widetilde{\phi})$가 위의 방식으로 만들어진 또 다른 chart라고 하면 $g\in\cc^{\infty}$이고 $\widetilde{\phi}$는 projection이므로 $\widetilde{\phi}\circ\phi^{-1}=\widetilde{\phi}\circ G$는 $\cc^{\infty}$ 이다. $\phi\circ\widetilde{\phi}^{-1}$에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 $\{(U_p,\phi_p)\,|\,p\in M\}$ 은 $M$의 chart 가 된다. $\hspace{1em}\Box$\\ 앞 section에서 $\sbb^n$의 chart중 (2) 에 의해 만들어지는 atlas와 (3)의 atlas는 서로 같다. 왜냐하면 사실 (2)의 $\phi$ map 자체가 projection map이므로 이것이 바로 (3)에서 쓰는 explicit map이기 때문이다.\\ {\bf 예.} $f(x,y,z)=(r-2)^2+z^2-1$ where $r=\sqrt{x^2+y^2}$. 위 함수는 $\nabla f\neq 0$를 만족한다. 따라서 명제 1에 의해 이 함수의 0-locus $M$은 $\cc^{\infty}$ structure를 가짐을 알 수 있다. 사실 $M$은 torus가 된다.\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=0.6,clip=true]{grp9.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 9\\ {\bf Exercise.} Generalize the above proposition to $f:\rb^n\rightarrow\rb^k$. \end{document}