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\newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}

\begin{document}
 \parindent=0cm
  \section*{Further Examples.}

  {\bf 3. $\rb P^n$=Real Projective space.}

$\rb P^n$=$\rb^{n+1}-\{0\}/\sim$  , where $x\sim \lam x$, $\lam\in
\rb\backslash\{0\}$.

$[x]=$equivalence class of $x=(x_1,\cdot\cdot\cdot ,x_{n+1})$,
denoted by $[x_1:\cdot\cdot\cdot:x_{n+1}]$.

위와 같이 정의된 $\rb P^n$에 대해 coordinate chart를 다음과 같이
준다.

$U_i=\{[x_1:\cdot\cdot\cdot:x_{n+1}]\in\rb P^n\,|\,x_i\neq 0\}$
and $\phi_i:U_i\rightarrow\rb^n$ by


$\phi([x_1:\cdot\cdot\cdot:x_{n+1}])=(\frac{x_1}{x_i},\frac{x_2}{x_i},\cdot\cdot,\hat{\frac{x_i}{x_i}}
,\cdot\cdot,\frac{x_{n+1}}{x_i})$ (여기서 $\wedge$는 뺀다는
뜻이다.)


이 때 $U_i$들은 $\rb P^n$을 cover하고 이제 각 $\phi_i$가 $\cc^k$-
related되어 있음을 보이자.

$i<j$라고 가정하면,$\phi_i(U_i\cap U_j)$ 를 취했을 때는 i번째
성분이 없어지고

$\phi_j(U_i\cap U_j)$에서는 없어지지 않으므로 다음을 알 수 있다.


$\phi_i(U_i\cap
U_j)=\{(a_1,\cdot\cdot\cdot,a_n)\in\rb^n\,|\,a_{j-1}\neq 0\}:=V,$

$\phi_j(U_i\cap
U_j)=\{(a_1,\cdot\cdot\cdot,a_n)\in\rb^n\,|\,\,\,a_{i}\neq 0\}:=W
$ and


$(\phi_i\circ\phi_j^{-1})(a_1,\cdot\cdot,a_n)=\phi_i([a_1:\cdot\cdot1:\cdot\cdot:a_n])$
$=(\frac{a_1}{a_i},\cdot\cdot,\hat{\frac{a_i}{a_i}},\cdot\cdot,\frac{1}{a_i},
\cdot\cdot,\frac{a_{n}}{a_i})$ : $W\rightarrow V$.

위의$(\phi_i\circ\phi_j^{-1})$는 rational map이므로 $\cc^{\infty}$
뿐 아니라 $\cc^{\omega}$ 까지도 된다. $\phi_j\circ\phi_i^{-1}$에
대해서도 마찬가지이고 따라서 $\cc^{\infty}$-related 되어 있다.\\

\begin{figure}[htb]
    \centerline{\includegraphics*[scale=0.6,clip=true]{grp10.eps}}

    \end{figure}

$\hspace{15em}$ 그림 10\\

사실 $U_i$가 $\rb P^n$에서 open이고, $\phi_i$가 homeomorphism임도
보여야 한다. $U_i$가 $\rb P^n$에서 open이라는 사실은 quotient
topology 를 이용해서 open임을 알 수 있고 $\phi_i$가
homeomorphism이라는 것도 쉽게 보일 수 있다. $\rb P^n$의 topology를
quotient topology를 쓰지 않고 다음과 같이 weak topology를 사용하여
정의하여도 같은 결과를 얻는다.\\

{\bf Note.} In this example, the topology of $\rb P^n$ is given by
the quotient topology and also can be viewed as a weak(or
coherent) topology as follows :\\

$\hspace{3em}$Let    $X=\displaystyle{\bigcup_{\alp}X_{\alp}}$,
and $X_{\alp}$
be a topological space, $\forall \alp$.\\

Assume

(1) 모든 $\alp,\beta$에 대해  $X_{\alp}\cap X_{\beta}$의
topology는 $X_{\alp}$의 subspace로 보나 $X_{\beta}$의 subspace로
보나 topology 가 같다.

(2)$X_{\alp}\cap X_{\beta}$ is open in $X_{\alp}$ and in
$X_{\beta}$, $\forall \alp,\beta$.\\

Let $\mathcal{T}=\{A\subset X\,\,|\,\,A\cap X_{\alp}\,\,is
\,\,open\,\,in\,\,X_{\alp}\,,\,\forall\,\alp\}$, then
$\mathcal{T}$ is a unique topology of $X$, called weak(or
coherent) topology, such that

(a) original topology of $X_{\alp}$=subspace topology of
$X_{\alp}$ in $X$ with respect to $\mathcal{T}$.

(b) $X_{\alp}$ is open in $X$.\\

{\bf 숙제2}(optional) 위 note의 내용을 증명하라.\\

이제 다시 $\rb P^n$으로 돌아가서 set으로서의 $\rb
P^n=\displaystyle{\bigcup_i}U_i$ 에다가 topology 를 준다.
$\phi_i$가 homeomorphism이 되도록 각 $U_i$에다가  $\rb^n$과 같은
topology를 주자. 그러면 이 때 가정 (1),(2)를 만족함을 알 수 있고
따라서 $\rb P^n$에 각 $U_i$들의 topology를 coherent하게 연결하는
weak topology를 줄 수 있게 되어 각 $U_i$는 $\rb P^n$에서 open 임을 알 수 있다.\\

{\bf 4. $\mathbb{C}P^n$=Complex projective space.}

예3 에서 $\rb$ 대신 $\mathbb{C}$를 쓰면 된다. 같은 논법으로
$\mathbb{C}P^n$ 역시 n차원 complex analytic manifold가 되고 따라서
이는 2n차원 real smooth manifold가 된다. quaternion $\mathbb{H}$에
대해서도 마찬가지이다.($\mathbb{H}P^n$는 4n 차원이 된다.)\\

{\bf 5. An open subset of a smooth manifold is a smooth manifold.}

manifold $M$과 atlas $\mathcal{F}=\{(U_{\alp},\phi_{\alp})\}$에
대해 $M$에서  open인 $N$이 있다고 하자. 이 때
$\displaystyle{\mathcal{F}_N:=\{(U_{\alp}\cap
N,\phi_{\alp}|_{U_{\alp}\cap N})\}}$ 은 N에 smooth structure를
준다. 예를 들어 $Gl(n,\rb)=\{A\in M(n,\rb)\,|\,detA\neq 0\}$ 을
smooth structure를 가진 manifold로 보는데 이 때 $Gl(n,\rb)$을
$\rb^{n^2}=M(n,\rb)$의 open subset으로서 보는 것이다.\\

{\bf 6. A covering of a manifold is a manifold.}

$M$을 manifold라고 하고 $\tilde{M}$을 $M$의 covering이라고 두자.
그러면, 각 점 $x\in M$에 대해 evenly cover되는 coordinate chart
$U$가 존재한다. 이 때 각 $\widetilde{x}\in p^{-1}(x)$에 대해 $U$와
$p$에 의해 homeomorphic 한 근방 $\widetilde{U}\subset p^{-1}(U)$를
잡고 $\phi\circ p|_{\widetilde{U}}$로 smooth chart를 주면 된다.
예를 들어 covering $p:\mathbb{S}^n\rightarrow\rb P^n$ 을 생각할 수
있다. 이 때 얻어지는 $\sbb^n$상의 smooth structure와 앞
section에서
얻었던 smooth structure를 비교해 보라.(사실 이 둘은 같다.)\\

{\bf 7. $M,N$ are smooth manifolds$\Rightarrow$ $M\times N$ is a
smooth structure.}

$M$의 atlas $\{(U_{\alp},\phi_{\alp})\}$와 $N$의 atlas
$\{(V_{\beta},\psi_{\beta})\}$에 대해 $\{(U_{\alp}\times V_{\beta}
,\phi_{\alp}\times \psi_{\beta})\}$는 $M\times N$의 atlas가 된다.
(일반적으로 $f:X\rightarrow Y$, $g:X'\rightarrow Y'$ 에 대해
$f\times g:X\times Y\rightarrow X'\times Y'$ 을 $(f\times
g)(x,y)=(f(x),g(y))$로 정의한다.) 이를 보이기 위해 먼저 $
(U_{\alp}\times V_{\beta} ,\phi_{\alp}\times \psi_{\beta})$를
아래그림처럼 잡자.
\\

\begin{figure}[htb]
    \centerline{\includegraphics*[scale=0.6,clip=true]{grp11.eps}}

    \end{figure}

$\hspace{15em}$ 그림 11\\


위와 마찬가지의 방법으로 얻어진 또다른 chart
$(U_{\alp'},\phi_{\alp'}),(V_{\beta'},\psi_{\beta'})$가 있다고
가정하면,
$(\phi_{\alp}\times\psi_{\beta})\circ(\phi_{\alp'}\times\psi_{\beta'})^{-1}$
은
$\phi_{\alp}\circ\phi_{\alp'}^{-1}\times\psi_{\beta}\circ\psi_{\beta'}^{-1}$
과 같고 각각이 $\cc^{\infty}$ 이므로 이것 역시 $\cc^{\infty}$
이다. product manifold $\sbb^n\times\sbb^m$,
$\sbb^1\times\cdot\cdot\cdot\times\sbb^1=\mathbb{T}^n$(torus) 등은
모두 smooth manifold가 된다.


  \end{document}