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\begin{document}
\parindent=0cm
\section*{Quotient smooth manifold.}


앞 섹션에서 $M$이 smooth manifold이면 $M$의 smooth structure를
covering $\widetilde{M}$로 pull back시킬 수 있다는 사실을 보았다.
이번에는 반대로 $\widetilde{M}$이 smooth structure를 가지고 있을
때, 언제 $M$으로 smooth structure를 내릴 수 있는지를 살펴보자.\\

covering $p:\widetilde{M}\rightarrow M$ 에 대해 deck
transformation group $G$의 action을 생각해보자. (위상수학2의
Covering space-Deck transformation 부분을 참조.) $p^{-1}(x)$에
대한 G의 action이 transitive 할 때 regular covering이라고 한다. 이
경우 $M$은 $\widetilde{M}/G$로 볼 수 있고 다음 내용이
성립한다.\\

{\it Let $p:\widetilde{M}\rightarrow M$ be a regular covering.
Suppose $\widetilde{M}$ has a smooth structure such that the deck
transformation group acts on $\widetilde{M}$ as diffeomorphisms.
Then $M$ inherits the smooth structure of $\widetilde{M}$ such
that $p$ becomes $\ccn$.}

(증명) Exercise.\\

{\bf 예.} covering $p:\rb\rightarrow \sbb^1$, $p(x)=e^{2\pi ix}$.


$\rb$상에서 $\tau (x)=x+1$로 두고 $G=<\tau>\cong \mathbb{Z}$로
두면 이는 deck transformation group이 된다. 이 경우 $p$는 당연히
regular covering이 된다. $\tau$는 $\ccn$이므로
$\sbb^1=\rb/G=\rb/\mathbb{Z}$ 에 smooth structure를 줄 수 있다.
보다 일반적으로 universal covering
$p:\rb^n\rightarrow\mathbb{T}^n=\sbb^1\times\cdot\cdot\cdot\times\sbb^1$
과 deck transformation group
$G=<\tau_1,\cdot\cdot\cdot,\tau_n>\cong\mathbb{Z}^n(\tau_i(x)=x+e_i)$을
이용하면 $\mathbb{T}^n$상에 standard 한 smooth structure를 유도할
수 있다. 또 다른 예로는 covering $p:\sbb^n\rightarrow \rb P^n$ 이
있다. 이 경우 antipodal map $\alp(x)=-x$가 deck transformation
group을 generate하고 $\alp^2=id$이므로
$G=<\alp>\cong\mathbb{Z}/2$이 된다. 따라서 $\sbb^n/G=\rb P^n$ 이
된다.(Exercise) 참고로 이 때 얻은 $\rb P^n$의 structure는 이전에
얻었던 structure와 같다.


\end{document}