\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^m}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\rc}{\mathcal{R}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Tangent vector.} {\bf 1.} In $\rb^n$, we have an obvious notion of tangent vectors as a {\bf velocity vector of a curve.} We want a notion of tangent vector on a manifold.\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=0.5,clip=true]{grp13.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 13\\ 먼저 manifold상에 curve $\sig : I \subset \rb \rightarrow M $를 생각하고 그것의 속도 vector를 생각하자 이 curve를 coordinate chart $\varphi(U)$에서 보았을때 $C: x= x(t)$로, 또다른 coordinate chart $\psi(U)$에서 보았을때 $y=y(t)$로 주어진다면 각각의 tangent vector $X=\frac{dx}{dt}$, $Y=\frac{dy}{dt}$가 주어지고 이 둘은 coordinate transition map $y=f(x):=\psi\varphi^{-1}(x)$에 의해 $Df(x)=Y$ 로 주어진다. 실제로 $Y=\frac{d}{dt}(f\circ x)=Df\cdot\frac{dx}{dt}=Df\cdot X$ 또는 이것을 기호 $f'=Df=\frac{\pa y}{\pa x}=\frac{\pa(y_1,\cdot\cdot,y_n)}{\pa(x_1,\cdot\cdot,x_m)}$ 을 이용하여 $\frac{dy}{dt}=\frac{\pa y}{\pa x}\cdot\frac{dx}{dt}$와 같이 쓸 수 있다. 따라서 manifold $M$상에 tangent vector를 정의하는 한 가지 방법은 coordinate transition의 differential에 의해 coordinate chart에서의 tangent vector들을 identify한 것으로 보는 것이다.\\ {\bf 2. Intrinsic way of defining tangent vector.}\\ $\rb$에서 tangent vector $X$를 characterize할 수 있는 한가지 방법은 방향미분(directional derivative)을 이용하여 $X$를 differential operator로 보는 방법이다. 다시말해 $f: \rb^n \rightarrow \rb$를 $p$점 근방에서 정의된 $\ccn$ 함수라 두었을 때 $Xf := D_X f = \nabla f \cdot X = \frac{d}{dt}\mid_0 (f \circ \sig(t))$(여기에서 $\sig(t)$는 $X$에 "fitting"하는 곡선이다. 다시말하면 $\sig(0)=p$, $\sig'(0)=X$를 만족하는 곡선이다.)라 정의하자. 그러면 $X$의 "directional derivative"는 다음 성질들을 만족한다.\\ $$ \[ (*) \left[ \begin{array}{ll} & X(f+g)=Xf+Xg$ , $X(af)=a(Xf)$, $\forall\,a\in \rb. (linearity) \\ & X(f\cdot g)(p)=(Xf)(p)g(p)+f(p)(X\cdot g)(p): (derivation \,\,property) \end{array} \right. \] $(*)$를 만족하는 differential operator를 linear derivation이라고 한다.\\ \begin{defn} {\it X is a {\bf tangent vector }at $p\in M$ if $X$ is a linear derivation defined on $\ccn(p)$ ($=$ the space of $\ccn$ functions defind on some neighborhood of $p$) , i.e., $X:\ccn(p)\rightarrow\rb $ with property $(*)$} \end{defn} 위의 정의가운데 $f, g \in \ccn(p)$에 대해 $f+g$, $fg$는 $domain(f) \cap domain(g)$상에서 정의된다( 따라서 $f+g$, $fg$ $\in \ccn(p)$를 만족하고 위의 정의가 well-defined된다.).\\ $T_pM :=$ the set of all tangent vector at $p$. $\forall X,Y\in T_pM\,,\,\,(X+Y)f:=Xf+Yf, \,\,(aX)f:=a(Xf)$로 정의하면 $T_pM$은 vector space가 된다.\\ 따라서 자연스럽게 $T_p M$의 basis가 무엇인가하는 질문이 따르게된다. 다음정리는 $\frac{\partial}{\partial x_i}$들이 바로 $T_p M$의 basis가 된다는 것을 말해준다. 즉 임의의 $X \in T_p M$ 가 $\frac{\partial}{\partial x_i}$들의 선형결합(linear combination)으로 표현되고 이때 각 계수들은 바로 $X x_i$가 된다.\\ \begin{thm} Let $(u, \phi)$ be a coordinate chart about $p \in M$, and let $x_i = u_i \circ \phi$ ($u_i = i$ th coordinate function on $\rb^n$). \\ Define "coordinate tangent vectors" at $p$, \,\,$\frac{\partial}{\partial x_i}\mid _p$ (or $\frac{\partial}{\partial x_i}(x)$) by $\frac{\partial}{\partial x_i}\mid_p f = \frac{\partial (f \circ \phi ^{-1} ) }{\partial u_i} \mid_{\phi(p)} $\\ Then $\{ \frac{\partial}{\partial x_1}(p), \cdots ,\frac{\partial}{\partial x_n}(p) \}$ forms a basis for the vector space $T_p M$ and each $X \in T_p M$ can be represented uniquely as $$ X = \sum_{i=1}^{n} (X x_i) \frac{\partial}{\partial x_i}(p)$$ \end{thm} \vspace{1em} 정리의 증명을 하기전에 몇가지 사실을 살펴보자. 이전에 살펴본 것처럼 벡터 $X$를 operator로 이해할 수 있는데 (i.e $X f = D_X f $) 이와 마찬가지로 $\frac{\partial}{\partial x_i}(p)$를 operator로 이해할 수 있다. 특히 이 경우 간단히 $\frac{\partial}{\partial x_i}\mid _p f$로 표기한다.\\ {\bf Note} {\bf 1.} 위와 같이 정의한 $\frac{\partial}{\partial x_i}$ 는 당연하게 tangent vector가 된다. $\forall f, g \in \ccn(p)$, (1). linearity \begin{eqnarray*} \frac{\pa}{\pa x_i}\mid_{p}(f + g) &=& \frac{\pa ((f + g) \circ \varphi^{-1})}{\pa u_i}\mid_{\varphi(p)} \\ &=& \frac{\pa ((f \circ \varphi^{-1} + g \circ \varphi^{-1})}{\pa u_i}\mid_{\varphi(p)} \\ &=& \frac{\pa (f \circ \varphi^{-1})}{\pa u_i}\mid_{\varphi(p)} + \frac{\pa (g \circ \varphi^{-1})}{\pa u_i}\mid_{\varphi(p)}(\because linearity )\\ &=& \frac{\pa}{\pa x_i}\mid_{p}f + \frac{\pa}{\pa x_i}\mid_{p}g \end{eqnarray*} (2). derivation property \begin{eqnarray*} \frac{\pa}{\pa x_i}\mid_{p}(f \cdot g) &=& \frac{\pa ((f \cdot g) \circ \varphi^{-1})}{\pa u_i}\mid_{\varphi(p)} \\ &=& \frac{\pa (f \circ \varphi^{-1})\cdot (g \circ \varphi^{-1}))}{\pa u_i}\mid_{\varphi(p)} \\ &=& \frac{\pa (f \circ \varphi^{-1})}{\pa u_i}\mid_{\varphi(p)}(g\circ\varphi^{-1})\mid_{\varphi(p)} + (f\circ\varphi^{-1})\mid_{\varphi(p)} \frac{\pa (g \circ \varphi^{-1})}{\pa u_i}\mid_{\varphi(p)}\\ &=& \frac{\pa (f \circ \varphi^{-1})}{\pa u_i}\mid_{\varphi(p)}g(p) + f(p) \frac{\pa (g \circ \varphi^{-1})}{\pa u_i}\mid_{\varphi(p)}\\ &=& (\frac{\pa}{\pa x_i}\mid_{p}f)g(p) + f(p) (\frac{\pa}{\pa x_i}\mid_{p}g) \end{eqnarray*} $\therefore \frac{\pa}{\pa x_i} \in T_p M$.\\ {\bf 2.} 특히 $M \subset \rb^n$인 경우, "기하학적인 $\frac{\pa f}{\pa x_i}$" 를 직접 구해보자.\\ $\frac{\partial}{\partial x_i}\mid _p f$ ; $f$의 $x_i$-좌표 방향으로의 방향미분(directional derivative)이 된다.\\ 즉 "$\frac{\partial}{\partial x_i}$" $= \phi^{-1}_*(\frac{\partial}{\partial u_i})$이라는 뜻이고 이것을 좀더 구체적으로 쓰면 다음과 같다.\\ $"\frac{\partial}{\partial x_i}" f = \phi^{-1}_*(\frac{\partial}{\partial u_i}) f$ $M$상에서 정의된 $f$의 미분은 $p \in M$을 지나는 곡선 $\sig$를 생각해서 각 $\sig_i(t)=\varphi^{-1}(a_1, \cdots, t, \cdots, a_n)$; $i$-th\\ $=\frac{d}{d t}\mid _{t=a_i}(f \circ \sig_i)$ $=\frac{d}{d t}\mid _{t=a_i}(f \circ \varphi^{-1})(a_1, \cdots, t, \cdots, a_n)$ $=\frac{\pa(f \circ \varphi^{-1})}{\pa u_i}\mid _{\varphi(p)}$ $=\frac{\pa}{\pa x_i}\mid _p f$ 즉, $\rb^n$내에서는 실제기하와 abstract한 정의가 실제로 일치한다. 이제 정리1 을 증명하기 위해 다음의 보조 정리를 먼저 보이자.\\ \begin{lem} $p\in M,\forall \,f\in \cc^{\infty}(p),$ $f$ can be represented as of the form $f=f(p)+\displaystyle{\sum^n_{i=1}}(x_i-x_i(p))g_i\,$ , where $g_i\in\cc^{\infty}(p)$ and $g_i(p)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$. \end{lem} \begin{proof} $(U,\phi)$를 $p$에서의 coordinate chart라고 두자. $\phi(U)$안의 $\phi(p) = a$의 근방 $V$에 대해 $F$를 $F=f\circ\phi^{-1}|_V:V(\subset\rb^n)\rightarrow\rb$ , $\phi(p)=a$ 로 정의하면\\ $\displaystyle{F(x)-F(a)=F(a+t(x-a))|_{t=0}^{t=1}\hspace{2em},\hspace{2em}let \,\,\,F(a+t(x-a))=G(t)}$ $\displaystyle{\hspace{5.8em}=\int_o^1\frac{d}{dt}G(t)dt=\int_0^1\frac{d}{dt}F(a+t(x-a))dt}$ $\hspace{5.8em} =\displaystyle{\int_0^1\sum_{i=1}^n\frac{\pa F }{\pa u_i}(a+t(x-a))(x_i-a_i)dt}$ $\displaystyle{\hspace{5.8em} =\sum_{i=1}^n(x_i-a_i)\int_o^1\frac{\pa F }{\pa u_i}(a+t(x-a))dt}$\\ $\displaystyle{h_i(x) = \int_o^1\frac{\pa F }{\pa u_i}(a+t(x-a))dt}$라 두면\\ $\therefore F(x)=F(a)+\displaystyle{\sum_{i=1}^n(u_i(x)-u_i(a))h_i(x)}$ , $h_i(a)=\frac{\pa F}{\pa u_i}(a)$. 이제 $x=\phi(q) \,,\,a=\phi(p)\,,\,u_i\circ\phi=x_i\,,\,F\circ\phi=f$ 로 두면 $f(q)=f(p)+\displaystyle{\sum^n_{i=1}}(x_i(q)-x_i(p))g_i(q)\,$(여기에서 $g_i = h_i \circ \phi$ ) 이고, $g_i(p)=(h_i\circ\phi)(p)=h_i(a)=\frac{\pa F }{\pa u_i }(a)=\frac{\pa (f \circ \phi^{-1})}{\pa u_i}(a)=\frac{\pa f}{\pa x_i}(a)$. \end{proof}\\ 이제 마지막으로 정리 1을 증명하자.\\ \begin{proof}(proof of the theorem1) 보조정리에 의하면 $f=f(p)+\displaystyle{\sum^n_{i=1}}(x_i-x_i(p))g_i$ 으로 표현되고 따라서 $Xf=Xf(p)+\displaystyle{\sum^n_{i=1}}\{X(x_i-x_i(p))g_i(p)+(x_i-x_i(p))(p)Xg_i\}$ $Xf(p)\,,\,X(x_i(p))\,,\,(x_i-x_i(p))(p)$는 모두 0이 되고, 따라서 $Xf=\displaystyle{\sum^n_{i=1}}(Xx_i)g_i(p)=\displaystyle{\sum^n_{i=1}}(Xx_i)\frac{\partial f }{\partial x_i}(p)$. 따라서 $\{\frac{\partial}{\partial x_i}(p)\}$가 $T_p M$을 span함은 보였고 linearly independent함을 보이면 된다. 만일 $\disj c_j\frac{\pa}{\pa x_j}=0$ 이라면 $\,\,\disj \dis{c_j\frac{\pa x_i}{\pa x_j}=0}$ 이다. 그런데\\ $\hspace{4em}\dis{\frac{\pa x_i}{\pa x_j}=\frac{\pa\{(u_i\circ\phi)\circ\phi^{-1}\}}{\pa u_j}=\frac{\pa u_i}{\pa u_j}=\del_{ij}}$ 이므로 $\forall c_i=0$ 을 얻을 수 있고 따라서 증명이 완성되었다. \end{proof} {\bf Note.} $p$근방에 두개의 chart $(U,x),(V,y)$가 있을 때 각 chart에 의해 결정되는 $T_p M$의 basis $\dis{\frac{\pa}{\pa x_i}}$와 $\dis{\frac{\pa}{\pa y_i}}$는 $\dis{\frac{\pa}{\pa x}=\frac{\pa}{\pa y}\frac{\pa y}{\pa x}}$ 의 관계가 있다. 이를 보이기 위해 임의의 한 tangent vector $X$를 $\dis{\frac{\pa}{\pa y_i}}$ 로 표현하면 $X=\displaystyle{\sum^n_{i=1}}(Xy_j)\frac{\partial }{\partial y_j}$ 인데 특히 $X=\dis{\frac{\pa}{\pa x_i}}$인 경우에는 $\dis{\frac{\pa}{\pa x_i}}=\disj\dis{(\frac{\pa y_j}{\pa x_i })\frac{\pa}{\pa y_j}}$ 가 된다. 주의할 것은 위의 식을 만족하려면 행렬곱이 열벡터가 아닌 행벡터로 곱해진다는 사실이다. 따라서 $\dis{\frac{\pa}{\pa x}=\frac{\pa y}{\pa x}\frac{\pa}{\pa y}}$ 가 아닌 $\dis{\frac{\pa}{\pa x}=\frac{\pa}{\pa y}\frac{\pa y}{\pa x}}$ 를 만족하게 된다. 여기에서 $\frac{\pa y}{\pa x}$는 coordinate transition map의 Jacobi 행렬이고 ($\because \frac{\pa y_i}{\pa x_j} = \frac{\pa (y_i \circ x^{-1}) }{\pa u_j} = \frac{\pa(u_i \circ y \circ x^{-1})}{\pa u_j}$) $\frac{\pa}{\pa x} = (\frac{\pa}{\pa x_1}, \cdots, \frac{\pa}{\pa x_n})$, $\frac{\pa}{\pa y} = (\frac{\pa}{\pa y_1}, \cdots, \frac{\pa}{\pa y_n})$으로 주어지는 행벡터이다. (이것과 $\frac{d y}{d t} = \frac{\pa y}{\pa x} \frac{d x}{d t}$를 비교해보라, 이 경우에 $\frac{d x}{d t}$, $\frac{d y}{d t}$는 행벡터가 아니라 열벡터이다.) \end{document}