\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\paxi}{\frac{\partial}{\partial x_i}} \newcommand{\payj}{\frac{\partial}{\partial y_j}} \newcommand{\paxj}{\frac{\partial}{\partial x_j}} \newcommand{\payi}{\frac{\partial}{\partial y_i}} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^n}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\rc}{\mathcal{R}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Tangent bundle.} $M$이 n차원 $\ccn$-manifold 일 때 다음과 같이 $TM$을 정의한다. $TM=\dis{\bigcup_{p\in M}}T_p M=\{X_p=(p,X)\,|\,X_p\in T_pM\,,\,p\in M\}$ $\pi:TM\rightarrow M$, $\pi(X_p)=p$. {\it Then $TM$ is a $\ccn$-manifold of dimension 2n, called {\bf tangent bundle} of $M$, such that $p$ is $\ccn$. }\\ 실제로 $TM$이 manifold가 됨을 보이자.\\ (1) Coordinate chart for $TM$ : $(U,\phi)$를 $M$상의 coordinate chart라 두고 $x_i=u_i\circ\phi$를 coordinate function 으로 두면 $(\frac{\pa }{\pa x_1},\cdot\cdot\cdot,\frac{\pa }{\pa x_n})$은 $T_pM$ 의 basis를 이룬다. 이것의 dual basis를 $(dx_1\cdot\cdot\cdot,dx_n)$이라 두자. 즉 $dx_i:T_pM\rightarrow \rb$, linear functional such that $dx_i(\frac{\pa }{\pa x_j})=\del_{ij}$. 그러면 $p$에서의 tangent vector $X_p$는 $X_p=\disj(Xx_j)\frac{\pa}{\pa x_j}$를 만족하므로 $dx_i(X_p)=\disj(Xx_j)dx_i(\frac{\pa}{\pa x_j})=Xx_i$ 가 된다. 위에서 볼 수 있듯이 $dx_i$로부터 $X_p$의 각 계수들을 알아낼 수 있으므로 이를 이용해서 다음과 같이 $TM$에 chart $(\widehat{U},\widehat{\phi})$를 준다. $\widehat{U}=\pi^{-1}(U)$로 주고, $\widehat{\phi}:\widehat{U}\rightarrow\phi(U)\times\rb^n\subset\rb^{2n}$ 를 $\hspace{5em}\widehat{\phi}(X_p)=(\underbrace{x_1(p),\cdot\cdot\cdot,x_n(p}),\underbrace{ dx_1(X_p),\cdot\cdot\cdot,dx_n(X_p}))$ $\hspace{12em}\phi(p)\hspace{2em}$coefficients of $X_p \,\,w.r.t (\frac{\pa}{\pa x_1},\cdot\cdot,\frac{\pa}{\pa x_n})$ 그러면 $\widehat{\phi}$는 bijection을 주고(set으로서) 이제 $TM$에 topology를 주자.\\ (2) Topology of $TM$ : weak topology. 즉 $\{\widehat{U}\,|\,(U,\phi):coordinate\,\,chart \,\,for\,\,M\}$ 이 결정하는 coherent topology를 준다. (앞에서 이미 했던 coherent topology를 가지기 위한 두 가지 조건을 만족하므로 topolgy를 줄 수 있다.)\\ (3) 마지막으로 chart간에 $\ccn$-related 됨을 보이자 : 두 chart $(\widehat{U},\widehat{\phi}),(\widehat{V},\widehat{\psi})$ 에 대해 $U\cap V=W$라 두자.\\ \vspace{2em} \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=0.5,clip=true]{grp14.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 14\\ $W$의 $\widehat{\phi}$에 대한 image는 $\phi(W)\times \rb^n$이 되고 $\widehat{\psi}$에 대한 image는 $\psi(W)\times \rb^n$이 된다. 이 사이에 transition map $\,\widehat{\psi}\circ\widehat{\phi}^{-1}$를 계산하기 위하여 $\phi,\psi$사이의 transition map $f=\psi\circ\phi^{-1}$를 이용하자. $X=\disi a_i\paxi=\disj b_j\payj\,\,$이라 두면 $(p,X)\in \pi^{-1}(W)$에 대해 \\ $\hspace{7em}\pi^{-1}(W)$ $\hspace{5em}\widehat{\phi}\swarrow\hspace{2em}\searrow\widehat{\psi}$ $\hspace{2.5em}\phi(W)\times\rb^n\rightarrow\psi(W)\times\rb^n\,\,\,\,\,$, $\,\,\,\,\,\phi(p)=x,\psi(p)=y$ $\hspace{4em}(x,a)\hspace{1em}\mapsto\hspace{1.5em}(y,b)$\\ 으로 쓸 수 있고 $y=f(x)$ , $b=df_x(a)$ where $df_x=\frac{\pa y}{\pa x}(x)$ 로 주어진다는 것을 보일 수 있다. 사실상 $x$에서 $y$로 가는 map은 $f$에 의해 잘 정의되고 앞절에서 얻었던 관계식 $\dis{\frac{\pa}{\pa x_i}=\disj\frac{\pa y_j}{\pa x_i}\frac{\pa}{\pa y_j }}$을 $X=\disi a_i\frac{\pa}{\pa x_i}$에 대입하자. 그러면 $X_p=\disi a_i\disj \frac{\pa y_j}{\pa x_i}\frac{\pa}{\pa y_j}= \disj (\disi a_i \frac{\pa y_j}{\pa x_i})\frac{\pa}{\pa y_j}$ 이 되어 $b_i=\disj \frac{\pa y_i}{\pa x_j}a_j$ 를 얻을 수 있다. 따라서 $b=df_x(a)$가 되고 각 $\frac{\pa y_i}{\pa x_j}$는 $x$에 관해 smooth function이므로 $\widehat{\psi}\circ\widehat{\phi}^{-1}$는 smooth function 이 된다.\\ {\bf Remark.} $X\in T_pM$를 $x,y$ coordinate 로 각각 나타내면 $X=\disi a_i\paxi=\disi b_i\payi$라 쓸 수 있는데 위에서 $dy_i(X)=b_i=\disj\frac{\pa y_i}{\pa x_j}a_j=\disj\frac{\pa y_i}{\pa x_j}dx_j(X)$ 이므로 $dy_i=\disj\frac{\pa y_i}{\pa x_j}dx_j$ 가 성립함을 알 수 있다. 이것을 행렬로 표시하면 $dy=\frac{\pa y}{\pa x}dx$이고 여기서 $dx,dy$는 열벡터로 본다. 이 관계는 앞에서 tangent vector의 $x,y$ coordinate chart에서 본 관계식 $\frac{dy}{dt}=\frac{\pa y}{\pa x}\frac{dx}{dt}$와 formally 일치함을 볼 수 있다. 따라서 우리가 통상 쓰는 미분 $dx$와 $dy$등은 coordinate change에서 tangent vector의 dual vector와 같이 변화함을 알 수 있다. 이런 의미에서 우리가 직관적으로 무한소의 변화로 이해하고 있는 미분을 수학논리적으로는 tangent vector의 dual(cotangent vector)로 정의할 수 있다.\\ 위의 $dx_i$는 $\paxi$의 dual이 되고 이 $dx_i$들이 형성하는 vector space들을 생각할 수 있다. 이는 각 점 $p$마다 $T_pM$의 dual vector space $(T_pM)^*$로 생각할 수 있고, 이들의 총체를 cotangent bundle $T^*M$이라고 한다.\\ {\bf 숙제 4.} $T^*M=\dis{\bigcup_{p\in M}}(T_pM)^*$ : cotangent bundle. Do the same for $T^*M$ as we did for $TM$. \end{document}