\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\paxi}{\frac{\partial}{\partial x_i}} \newcommand{\payj}{\frac{\partial}{\partial y_j}} \newcommand{\paxj}{\frac{\partial}{\partial x_j}} \newcommand{\payi}{\frac{\partial}{\partial y_i}} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^m}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\rc}{\mathcal{R}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newcommand{\ssv}{\sin v_{p}\, \sin v_{q}\,} \newcommand{\ccv}{\cos v_{p}\, \cos v_{q}\,} \newcommand{\dlp}{\Delta_{p}} \newcommand{\dlq}{\Delta_{q}} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Differential.} \begin{defn} {\it $ \varphi : M^m \longrightarrow N^n$ is $\ccn$. Then the {\bf differential} of $\varphi$ ,\\ $\varphi_* = d \varphi : TM \longrightarrow TN$ \; is defined by \; $(d\varphi (X_p) \in T_{\varphi(p)}N$ and )\\ \; $d\varphi(X_p)g = X_p (g \circ \varphi)$\; ,$\forall g \in \ccn(\varphi(p))$ } \end{defn} \vspace{1em} {\bf check} {\bf 1. $d\varphi(X_p)$ 는 $\ccn(\varphi(p))$ 위에서의 linear derivation이 된다.} \\ i.e., \; $d \varphi(X_p) \in T_{\varphi(p)}N $\\ \begin{proof} \begin{eqnarray*} d \varphi (X_p )(f + cg ) &=& X_p ( f + cg ) \circ \varphi \\ &=& X_p( f \circ \varphi + c g \circ \varphi )\\ &=& X_p(f \circ \varphi) + c X_p ( g \circ \varphi) \hspace{5em} (\because X_p : \mbox{linear derivation})\\ &=&d\varphi(X_p)f + c d\varphi(X_p)g \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} d \varphi (X_p ) (f g ) &=& X_p (( fg) \circ \varphi )\\ &=& X_p ( (f \circ \varphi)(g \circ \varphi ))\\ &=& (g \circ \varphi)(p)X_p(f \circ \varphi) + (f \circ \varphi)(p)X_p ( g \circ \varphi) \hspace{1em} (\because X_p : \mbox{linear derivation})\\ &=&g(\varphi(p))d\varphi(X_p)f + f(\varphi(p))d\varphi(X_p)g \end{eqnarray*} \end{proof} {\bf 2. $d\varphi_p := d\varphi\mid_{T_p M}:T_p M \longrightarrow T_{\varphi(p)}N$ 은 선형이다.}\\ \begin{proof} \begin{eqnarray*} d \varphi (X_p + cY_p )g &=& (X_p + c Y_p )(g \circ \varphi) \\ &=& X_p( g \circ \varphi) + c Y_p(g \circ \varphi )\\ &=& d \varphi(X_p)g + c d \varphi (Y_p) g\\ &=&(d\varphi(X_p) + c d\varphi(Y_p))g \end{eqnarray*} \end{proof} {\bf 3. $d\varphi$ 는 $\ccn$ 이다.}\\ \begin{proof} 먼저 국소적으로 성립하는 것을 보이겠다. 다시말하면 $p$와 $\varphi(p)$근방의 적당한 chart들, $(U, x)$와 $(V, y)$에 대하여 성립하는 것을 보인다는 뜻이다.\\ $\widehat{y}\circ d\varphi\circ\widehat{x}^{-1}:(x(p),a_1,\cdot\cdot\cdot,a_m)\mapsto (y(\varphi(p)),b_1,\cdot\cdot\cdot,b_n)$이라 두자. 잠정적으로 $d\varphi(\frac{\pa}{\pa x_i}) = \disj c_j \frac{\pa}{\pa y_j}$로 두면 $\frac{\pa}{\pa x_i}(y_k \circ \varphi) = d\varphi(\frac{\pa}{\pa x_i})y_k = \disj c_j \frac{\pa y_k}{\pa y_j} = \disj c_j \del_{jk}= c_k$가 되어 $d\varphi(\frac{\pa}{\pa x_i}) = \disj \frac{\pa}{\pa x_i}(y_j \circ \varphi) \frac{\pa}{\pa y_j}$ 이다.\\ $\therefore d\varphi(\underbrace{X_p}) \; = \; d\varphi(\disi a_i \frac{\pa}{\pa x_i})\; =\; \disj (\underbrace{\disi a_i \frac{\pa(y_j \circ \varphi)}{\pa x_i} }) \frac{\pa}{\pa y_j}\; =\; \disj b_j \frac{\pa}{\pa y_j} $ $\hspace{2em} \sum a_i \frac{\pa}{\pa x_i} \hspace{14em}b_j$\\ 여기에서 $b_j = \disi a_i \frac{\pa(y_j \circ \varphi)}{\pa x_i} $를 살펴보면 $\frac{\pa(y_j \circ \varphi)}{\pa x_i}\;=\; \frac{\pa}{\pa u_i}(u_j \circ y \circ \varphi \circ x^{-1})$ 이므로 $\varphi$의 local chart에서의 Jacobian이 되어 $x$의 $\ccn$ function이 되는 것을 알 수 있다.\\ 따라서 $\widehat{y}\circ d\varphi \circ \widehat{x}^{-1} : (x(p), a_1, \cdots , a_m ) \mapsto (y(\varphi(p)), b_1, \cdots, b_n )$은 $\ccn$이다.\\ 다시 처음으로 돌아가면 $\ccn$이라는 것은 국소적인 성질인데 임의의 $p \in M$ 에 대해서 위와 같이 성립하므로 사실상 $d\varphi$가 대역적으로 $\ccn$이라는 것을 뜻한다. 그러므로 증명이 끝난다. \end{proof}\\ {\bf 4. Chain rule : $d(\psi\circ\varphi)=d\psi\circ d\varphi$}.\\ \begin{proof} 임의의 $X_p$에 대해 $d(\psi\circ\varphi)(X_p)=d\psi\circ d\varphi(X_p)$임을 보이자. $d(\psi\circ\varphi)(X_p)(f)=X_p(f\circ\psi\circ\varphi)$ $\hspace{7.5em}=d\varphi(X_p)(f\circ\psi)$ $\hspace{7.5em}=d\psi(d\varphi(X_p) )(f)$ $\hspace{7.5em}=(d\psi\circ d\varphi)(X_p)(f)$ \end{proof}\\ {\bf 5. $M$위의 곡선 $\sigma$의 tangent vector}.\\ tangent vector of $\sigma$ at t = $\frac{d\sigma}{dt}:=d\sigma(\frac{d}{dt})=\sigma_*(\frac{d}{dt})\in T_{\sigma(t)}M $ $\frac{d\sigma}{dt}\cdot g=d\sigma(\frac{d}{dt})g=\frac{d}{dt}(g\circ\sigma)$=directional derivatives of $g$ in the derivation of $\frac{d\sigma}{dt}$. 특히 $g=x_i$인 경우에는 $X=\disi(Xx_i)\frac{\pa}{\pa x_i}$ 이므로 $\dis{\frac{d\sigma}{dt}}=\disi(\frac{d\sigma}{dt}\cdot x_i)\frac{\pa}{\pa x_i}=\disi \frac{d}{dt}(x_i\circ\sigma)\frac{\pa}{\pa x_i}=\disi\frac{d\sigma_i}{dt}\frac{\pa}{\pa x_i}$.\\\\ {\bf Geometric interpretation of $d\varphi : d\varphi(X_p)= ?$} chain rule을 쓰면 $d\varphi(\frac{d\sigma}{dt})=\frac{d}{dt}(\varphi\circ\sigma)$ 가 된다. 다음 식에서 이를 알 수 있다. $d\varphi(\frac{d\sigma}{dt})=d\varphi(d\sigma(\frac{d}{dt}))=d(\varphi\circ\sigma)(\frac{d}{dt}) =\frac{d}{dt}(\varphi\circ\sigma)$ .\\ 따라서 $\varphi$가 구체적으로 주어진 경우에 $d\varphi(X_p)$를 계산하는 한가지 방법은 먼저 $X_p$를 "fit"하는 (i.e.,$\sigma(0)=p \,\,\, and \,\,\,\frac{d\sigma}{dt}|_0=X_p$) 계산 편리한 아무런 곡선 $\sigma$를 잡는다. 그리고 $\varphi\circ\sigma$를 계산한 후 그것의 tangent vector $\frac{d}{dt}(\varphi\circ\sigma)$를 계산하면 된다. 많은 경우에 이러한 방식으로 $d\varphi$를 구체적으로 계산할 수 있다.\\ {\bf Remark.} 앞에서 coordinate function $x_i:U\subset M\rightarrow \rb$에 대해 쓴 differential로써의 $dx_i$ 와 $\{\frac{\pa}{\pa x_i}\}$의 dual basis로써의 $\{dx_i\}$ 는 사실 일치한다. 이를 보이기 전에 먼저 real valued function f에 대하여 $df$와 $f_*$를 구분해서 정의하자.\\ $<$Definition of $df>$\\ $f:M\rightarrow\rb,\ccn$에 대해 $f_*(X_p)=(f_*(X_p)\cdot t)\frac{d}{dt}=X_p(t\circ f)\frac{d}{dt}=X_p(f)\frac{d}{dt}$.\\ Define $df:TM\overset{f_*}{\rightarrow} T\rb\rightarrow \rb$ $\,\,\,\,i.e.,\,\,\,\,\,df_p:T_pM\overset{f_*}{\rightarrow}T_{f(p)}\rb\cong\rb:linear $ $\hspace{8.4em}a\frac{d}{dt}\mapsto a\hspace{6.5em}X_p\mapsto(X_pf)\frac{d}{dt}\mapsto X_pf$\\ $df_p\in (T_pM)^*$이므로 $df_p=\sum a_idx_i$로 표시되고 이 때 정의에 의해 $df_p(\frac{\pa}{\pa x_i})=\paxi f(p)=\frac{\pa}{\pa x_i}|_pf=\frac{\pa f}{\pa x_i}(p)$이다. $df_p(\paxj)=\sum a_idx_i(\paxj)=a_j\hspace{2em}$ $\therefore df_p=\sum(df_p(\paxi))dx_i=\sum(\frac{\pa f}{\pa x_i}(p))dx_i$ $\therefore df=\sum\frac{\pa f}{\pa x_i} dx_i$.\\ 이제 coordinate function $x_i$에 대해 $x_i$ 역시 $U$상의 real valued function이므로 이것의 differential $"dx_i"$를 생각할 수 있고, 이를 위 내용에 적용시키면\\ $\hspace{5em}"dx_i"=\sum\frac{\pa x_i}{\pa x_j} dx_j=dx_i$. 즉 위 식의 좌변은 coordinate function $x_i$의 differential로서의 $dx_i$이고 우변은 $\paxi$의 dual basis로 본 것인데 이 둘이 일치함을 알 수 있다. \end{document}