\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\inv}{^{-1}} \newcommand{\vphi}{\varphi} \newcommand{\paxi}{\frac{\partial}{\partial x_i}} \newcommand{\payj}{\frac{\partial}{\partial y_j}} \newcommand{\paxj}{\frac{\partial}{\partial x_j}} \newcommand{\payi}{\frac{\partial}{\partial y_i}} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^n}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\rc}{\mathcal{R}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Regular value and transversality.} \begin{defn}{\it $\vphi:M^m\rightarrow N^n$, $\ccn$, $q\in N$ is called a} {\bf regular value} {\it of $\vphi$ if\\ $d\vphi_p$ is surjective for $\forall p\in\vphi^{-1}(q)$}.\\ \end{defn} {\bf Note.} $q\in N\backslash im\vphi$ is also a regular value. $\hspace{3em}q\in N$ is a {\it critical value} if it is not regular.\\ \begin{thm} $\vphi:M^m\rightarrow N^n,\ccn$. If $q\in N$ is a regular value of $\vphi$, then $P=\vphi^{-1}(q)$ is $\emptyset$ or an embedded submanifold of M of dimension $m-n$. And $T_pP=ker \,\,d\vphi_p$. \end{thm} \begin{proof} $p\in P=\vphi^{-1}(q)$ 라고 두자. $ d\vphi_p$는 $p$의 근방에서 onto이므로 앞절의 따름정리 4에 따라 $p,q$에서의 chart $(U,x)$와 $(V,y)$가 존재해서 $y\circ\vphi\circ x^{-1}(a_1,\cdot\cdot\cdot,a_m)=(a_1\cdot\cdot,a_n)$을 만족한다.\\ **그림 19**\\ 따라서 $P$에 $x_2|_{W}=(x_{n+1}|_{W},\cdot\cdot\cdot,x_m|_W)$와 $W=U\cap P$를 coordinate chart로 주자. 그러면 이 때 $P$의 subspace topology에 대해 $W$는 open set 이므로 이런 chart들에 의해 topological manifold가 된다. 이렇게 정의된 chart들이 $P$에 smooth structure를 주는 것을 보이기 위해 두 chart $x_2|_W,x_2'|_W$가 서로 $\ccn$-related임 을 보이자. 실제로 $x_2|_W\circ x_2'|_W^{-1}=\pi\circ x\circ x'^{-1}\circ i$이고 이는 $\ccn$이므로 $\ccn$-related임을 알 수 있다. 또한 앞절의 따름정리 5에 따라 $P$는 submanifold가 된다. $M$에 embedded된다는 것은 따름정리 5에 따라 $U\cap P=W$를 만족하는 global chart $U$가 존재한다는 사실로부터 알 수 있다. \end{proof}\\ {\bf Remark.} 위 정리에서 $M$이 second countable하다고 가정하면 $P$도 second countable하다.\\ {\bf Examples.} $\vphi:\rb^m\rightarrow \rb^n=(\vphi_1,\cdot\cdot\cdot,\vphi_n)$. $d\vphi_p$ has rank $n$ $\Leftrightarrow$ $d\vphi_p:T_p\rb^m\rightarrow T_{\vphi(p)}\rb^n:\rb^m \rightarrow\rb^n$ is onto. \[ (\,\,\,\,recall\,\,\,\,\,\,\,\,d\vphi_p= \left( \begin{array}{cc} \nabla\vphi_1 \\ \cdot\\ \cdot\\ \cdot\\ \nabla\vphi_n \end{array} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, ) \] $\Leftrightarrow\nabla\vphi_1(p),\cdot\cdot\cdot,\nabla\vphi_n(p)$ are linearly independent.\\ 특히 $n=1$ 일 때의 조건은 $\nabla\vphi(p)\neq 0$ 이다. 예전에 이미 $f(x)=|x|^2-1$에 대해($\nabla f\neq 0$) $M=f^{-1}(0)$이 smooth manifold가 됨을 보인 적이 있다. 이는 위의 특별한 경우에 속한다. 이것이 일반화될 때의 조건이 바로 $\nabla\vphi_1(p),\cdot\cdot\cdot,\nabla\vphi_n(p)$ 가 linearly independent인 조건이다. \\ \begin{defn}{\it $\vphi:M^m\rightarrow N^n$, $\ccn$ and $i:Q\hookrightarrow N$ is a sbmanifold. $\vphi$ is said to be {\bf transversal} to $Q$ ($\vphi\pitchfork Q$) if $\,\,im(d\vphi_p)+T_{\vphi(p)}Q=T_{\vphi(p)}N$, $\forall p\in \vphi^{-1}(Q)$.}\\ \end{defn} 위의 정의로 정리 1을 더 일반화하여 $\vphi^{-1}(Q)$가 submanifold가 됨을 보이자.\\ \begin{thm} $\vphi:M^m\rightarrow N^n$, $\ccn$ and $i:Q\hookrightarrow N$, a (embedded, respectively) submanifold, and let $\vphi\pitchfork Q$. Then $P=\vphi^{-1}(Q)$ is a (embedded, respectively) submanifold of $M$ with $codim \,\,P=codim\,\,Q$ and $T_pP=d\vphi_p\inv(T_{\vphi(p)}Q)$.($P$ is second countable if $Q$ is second countable.) \end{thm} \begin{proof} \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=0.75,clip=true]{grp20.eps}} \end{figure} 그림 20\\ $Q$가 submanifold 이므로 $\forall q\in Q$에 대해 위 그림과 같이 chart $(V,y)$ 가 존재해서 local chart $W$를 준다. $W$를 slice neighborhood라고 부르자. 이 때 대응되는 $\rb^n,\rb^q$의 open set을 각각 $"V","W"$ 라고 두자. 또 projection map $p_2:\rb^n\rightarrow \rb^{n-q}$ 를 생각해서 $p_2\circ y=\pi_2$ 라고 놓자. 이제 $\vphi\inv(V)=U$ 라고 놓고 $\vphi$를 $U$에 restriction시킨 $\vphi_U$에 대해 $\pi_2\circ\vphi_U$를 생각해보자. $\pi_2\circ\vphi_U$는 $U\rightarrow\rb^{n-q}$ 로 가는 함수이고 $\forall p\in P\cap U$를 0으로 보낸다. 이 때 0은 $\pi_2\circ\vphi_U$의 regular value가 되므로(transversality $\vphi\pitchfork Q$로부터 $d(\pi_2\circ\vphi_U)$는 onto이기 때문이다.) 정리 1을 쓸 수 있다. 따라서 $(\pi_2\circ\vphi_U)^{-1}(0)$은 $U$의 submanifold가 된다. $(\pi_2\circ\vphi_U)^{-1}(0)=(\vphi_U^{-1}\circ\pi_2^{-1})(0)=\vphi_U^{-1}(W)=\vphi^{-1}(W)$ 는 $U$의 embedded submanifold가 된다.\\ 위와 같이 locally는 잘 정의되었고 이제 각 $\forall q\in Q$에 대해 위와 같이 얻어진 submanifold $\vphi^{-1}(W)$들을 잘 붙여서 $P$를 얻어낼 수 있다. $P$가 submanifold가 됨을 보이자.\\ {\bf 1. Topology of $P$.} $\forall q\in Q$에 대해 존재하는 slice neighborhood $W$를 위와 같이 생각하고 $Q=\cup W_i$인 $W_i$들을 모아 $\{W_i\},\{V_i\}$들을 생각하자. (만일 $Q$가 second countable인 경우에는 $\{W_i\}$ 를 conuntable이라고 볼 수 있다.) 그러면 각 $\vphi\inv(W_i)$들은 $U_i=\vphi\inv(V_i)$의, 따라서 $M$의 embedded submanifold가 된다. 즉 각 $\vphi\inv(W_i)$ 에는 $M$의 subspace topology가 있으므로 $P=\dis{\cup\vphi\inv(W_i)}$에 coherent topology를 주자. 이를 위해 다음 두 가지를 보이면 충분하다. (check 1) $\vphi\inv(W_i)\cap\vphi\inv(W_j)$의 $\vphi\inv(W_i)$, $\vphi\inv(W_j)$ 에서의 subspace topology는 각각 모두 $M$에서의 subspace topology와 같다. 따라서 그 둘은 topology가 같다. (check 2) $\vphi\inv(W_i)\cap \vphi\inv(W_j)$ 는 $\vphi\inv(W_i)$에서 open임을 보이자. 먼저 $\vphi|:\vphi\inv(W_i)\rightarrow W_i$는 연속함수이다. $W_i$의 topology는 $N$의 subspace topology이고, $\vphi\inv(W_i)$의 topology는 $M$의 subspace topology 이므로 $\vphi|$는 연속이다. $\vphi\inv(W_i)\cap\vphi\inv(W_j)=\vphi\inv(W_i\cap W_j)$ 이고 $W_i\cap W_j $는 open in $W_i$ 이므로 결국 $\vphi\inv(W_i)\cap \vphi\inv(W_j)$ 는 $\vphi\inv(W_i)$에서 open이다.\\ 따라서 $P$에 coherent topology를 줄 수 있다. 한 가지 주의할 것은 위와 같이 준 coherent topology는 subspace topology보다도 finer 하다는 점이다.\\ {\bf 숙제 6.} Note that coherent topology of $P\supset$ subspace topology of $P$. i.e., $i:P\hookrightarrow M$ is continuous.\\ {\bf 2. Smooth structure of $P$.} 이는 submanifold 의 smooth structure에 대한 {\it uniqueness} 로 보일 수 있다. 즉 $\vphi\inv(W_i)\cap\vphi\inv(W_j)$의 smooth structure는 $\vphi\inv(W_i)$로부터 얻을 수도 있고, $\vphi\inv(W_j)$로부터도 얻을 수 있다. 그러나 {\it uniqueness of smooth structures of submanifold}에 의해 이 두 structure는 같아야 한다. 따라서 $P=\dis{\cup \vphi\inv(W_i)}$를 덮는 각 $\vphi\inv(W_i)$들에 대해 smooth structure를 주되 겹치는 부분에서는 structure가 서로 같으므로 전체적으로 $P$에 smooth structure를 주게 되고 $M$의 submanifold가 된다.\\ {\bf 3. $Q$ is embedded$\Rightarrow$ $P$ is embedded.} $Q$가 embedded submanifold 라면 각 $q\in Q$에 대해 $V\cap Q=W(slice \,\,neighborhood)$ 가 되는 근방 $V$를 잡을 수 있다. $P$가 embedding됨을 보이려면 $P$의 coherent topology가 subspace topology에 포함됨을 보이면 충분하다. 왜냐하면 $i:P\,\,with\,\, subspace\,\,topology\hookrightarrow M$은 당연히 embedding 이므로 만일 $coherent\,\,topology=subspace\,\,topology$만 보이면 $P$는 (coherent topology로써) embedded submanifold가 된다. $coherent\,\,topology\subset subspace\,\,topology$를 보이자. coherent topology에서의 open set은 $\vphi\inv(W)$들의 open subset들에 의해 generate되고 $\vphi\inv(W)=\vphi\inv(V\cap Q)=\vphi\inv(V)\cap\vphi\inv(Q)$이다. $\vphi\inv(V)\cap\vphi\inv(Q)=U\cap P$이고 이를 $M$에서의 subspace topology로 보자면 $U$는 $M$에서 open이므로 위는 $P\,\,with\,\,subspace\,\,topology$에서 open이다. 즉 $coherent\,\,topology\subset subspace\,\,topology$ 이고 따라서 위 숙제 6에 의해 두 topology는 같다. 그러므로 $P$ 역시 embedded submanifold가 된다.\\ 마지막으로 $codim\,P=codim\,\vphi\inv(W)=n-q=codim\,Q$ 이고, \begin{eqnarray*} T_pP&=&ker\,d(\pi_2\circ\vphi_U)_p\,\,\,\,\,\, (by \,\,thm\,1.)\\ &=&ker\,(d\pi_2\circ d\vphi_U)_p\\ &=&(d\pi_2\circ d \vphi_U)\inv(0)\\ &=&d\vphi_p\inv(T_{\vphi(p)}Q)\,\,\,\,\,\,\,(d\pi_2\inv(0)=T_{\vphi(p)}W=T_{\vphi(p)}Q) \end{eqnarray*} \end{proof} \begin{defn}{\it Let $P$ and $Q$ be submanifolds of $M$. $P$ and $Q$ are transversal, $P\pitchfork Q$, if $\,\,\,i:P\hookrightarrow M$ is transversal to $Q$. i.e., if $\forall p\in P\cap Q$, $T_pP+ T_pQ=T_pM$ holds.} \end{defn} \begin{cor} If two(embedded respectively) submanifold $P$ and $Q$ of $M$ are transversal, then their intersection $P\cap Q$ is a (embedded respectively) submanifold of $P$,$Q$ and hence of $M$. \end{cor} \begin{proof} $P\cap Q=i_p\inv(Q)$($i_p:P\hookrightarrow M$ = inclusion map)이고 $Q$는 $M$의 submanifold 이므로 정리 2를 쓰면 $i_p\inv(Q)$ 역시 submanifold가 된다. $P$에 대해서도 마찬가지이고 embedded submanifold의 경우 역시 마찬가지이다. \end{proof} \end{document}