\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\wid}{\widetilde} \newcommand{\ml}{\mathcal{L}} \newcommand{\hs}{\hspace} \newcommand{\inv}{^{-1}} \newcommand{\vphi}{\varphi} \newcommand{\paxi}{\frac{\partial}{\partial x_i}} \newcommand{\payj}{\frac{\partial}{\partial y_j}} \newcommand{\paxj}{\frac{\partial}{\partial x_j}} \newcommand{\payi}{\frac{\partial}{\partial y_i}} \newcommand{\li}{[X,Y]} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^n}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\dc}{\mathcal{D}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\rc}{\mathcal{R}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Lie derivative and $\vphi$- related vector fields.} $\ccn$ vector field $X$와 $X$의 flow $\alp$ 에 대해 다음을 정의하자. $\dis{(\mathcal{L}_Xf)(p):=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}(f(\alp_h(p))-f(p))}$ $\hs{4.5em}$= Lie derivative of $f$ with respect to $X$.\\ 그런데 $\,\,\frac{d}{dt}|_0f\circ\alp=Xf$ 이고 위의 정의가 정확히 $\frac{d}{dt}|_0f\circ\alp$이므로 $(\mathcal{L}_Xf)(p)=Xf(p)$ 이다. flow $\alp_h$(diffeomorphism) 에 대해 $\alp_h^*$를 다음과 같이 정의하자. $\hs{3em}M\hs{1em}\overset{\alp_h}{\rightarrow}\hs{1em}M\hs{1em}\overset{f}{\rightarrow}\rb$ $\hs{3em}p\hs{1.4em}\mapsto\hs{0.6em}\alp_h(p)\hs{0.5em}\mapsto f\circ\alp_h(p)=\alp_h^*f(p)$\\ 이를 $\alp_h$에 의한 $f$의 pull back이라고 하고 함수 f 외에 tensor field에도 적용가능하다. 이를 이용해 일반적으로 Lie derivative $\mathcal{L}_X\square=\dis{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}((\alp_h^*\square)_p-\square_p)}$를 $\square$의 flow of $X$를 따른 미분으로 정의한다. ( $\square=f,$forms,vector fields,tensor fields)\\ \begin{defn}$(\mathcal{L}_XY)(p):=\dis{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}(Y_p-(\alp_{h*}Y)_p)}=\dis{\lim_{k\rightarrow 0}\frac{1}{k}((\alp_k^*Y)_p-Y_p)}$. 여기서 $ \alp_h^*Y:=(\alp_h\inv)_*Y$ 이다.\\ \end{defn} {\bf 예.} In $\rb^2$, $X=\frac{\pa}{\pa x_1}$ , $Y=(b_1,b_2)=b_1\frac{\pa}{\pa x_1}+b_2\frac{\pa}{\pa x_2}$. 그러면 $X$의 flow는 $x_1$축 방향을 따른 평행이동이므로 $\mathcal{L}_XY$는 $Y$의 $x_1$축 방향의 보통 미분 $(\frac{\pa b_1 }{\pa x_1},\frac{\pa b_2}{\pa x_1})=\frac{\pa b_1}{\pa x_1 }\frac{\pa}{\pa x_1}+\frac{\pa b_2}{\pa x_1}\frac{\pa}{\pa x_2}$이 된다.\\ \begin{thm} $X,Y$ are $\ccn$ vector fields on $M\Rightarrow\mathcal{L}_XY=\li$ \end{thm} \begin{proof} local 성질이므로 $p\in M$ 근방에서만 보이면 충분하다. 따라서 $X$를 $\rb^n$상에 있다고 보고 앞절의 정리1에 의해 $X=\frac{\pa}{\pa x_1}$ 이라고 가정해도 무관하다. Let $Y=\sum b_i\frac{\pa}{\pa x_i}$. Then clearly $\mathcal{L}_XY=\sum\frac{\pa b_i}{\pa x_1}\frac{\pa}{\pa x_i}$ and $[X,Y]=[\frac{\pa}{\pa x_1},\sum b_i\paxi]$ $\hs{3em}=\sum[\frac{\pa}{\pa x_1},b_i\paxi]$ $\hs{3em}=\sum(\frac{\pa b_i}{\pa x_1 }\paxi+b_i\frac{\pa}{\pa x_1 }\paxi-b_i\paxi\frac{\pa}{\pa x_1})$ $\hs{3em}=\sum\frac{\pa b_i}{\pa x_1}\paxi$.\\ 따라서 $\mathcal{L}_XY=[X,Y]$ 이다. \end{proof} \begin{cor} (1) $\ml_XY=-\ml_YX.$ (2) $\mathcal{L}_XY$ is linear with respect to $X$ and $Y$. (3) $\ml_X(fY)=(\ml_Xf)Y-f(\ml_XY)$. (4) $\ml_X[Y,Z]=[\ml_XY,Z]+[Y,\ml_XZ]$. (5) $\ml_{\li}=[\ml_X,\ml_Y]:=\ml_X\ml_Y-\ml_Y\ml_X$. \end{cor} {\bf 증명.} Easy exercise.\\ {\bf 숙제 11.} $p\in M,$ $X,$ a vector field with flow $\alp$ 에 대해 다음을 보이라. (1) $F(t):=f(\alp_p(t))$ then $\frac{d^kF}{dt^k}(t)=(X^kf)(t)$ and show $\dis{f(\alp_p(t))=f(p)+\sum_{j=1}^{k}}\frac{1}{j!}(X^jf)(p)t^j+G(t)\,\,\,$ , where $\frac{G(t)}{t^k}\rightarrow 0$ as $t\rightarrow 0$.\\ (2) Let $Y$ be an another vector field with flow $\beta$ and let $\sigma(t)=\overline{\beta}(t,c(t))\,\,$ , $\,\,c(t)=\overline{\alp}(t,b(t))$ $b(t)=\beta(t,a(t))\,\,\,$ , $\,\,a(t)=\alp(t,p)$ . 여기서 $\overline{\alp}$는 $-X$의 flow이다.\\ Show $\frac{d^2}{dt^2}|_0f(\sigma(t))=2\li_pf\,\,$ or \,\,$\gamma(t):=\sigma(\sqrt{t})\Rightarrow\frac{d\gamma}{dt}(0)=\li_pf$ .\\ $(Hint)$ $f(\sigma(t))=f(c(t))-(Yf)(c(t))t+\frac{1}{2}(Y^2f)(c(t))t^2+G(t)$, $g(c(t))=g(b(t))-(Xg)(b(t))t+\frac{1}{2}(X^2g)(b(t))t^2+G_1(t)\cdot\cdot\cdot$ 등을 이용해 축차적으로 대입해보라.\\ \begin{defn} Let $\vphi:M\rightarrow N,\ccn$, X be a $\ccn$ vector field on $M$ and $Y$ be a $\ccn$ vector field on $N$. $X$ and $Y$ are {\bf $\vphi-$related }$(X\underset{\vphi}{\sim}Y)$ if $\vphi_*X_p=Y_{\vphi(p)}\,\,\forall p\in M.$\\ \end{defn} \begin{prop} Let $\vphi:M\rightarrow N,\ccn$ and $X$ be a $\ccn$ vector field on $M$. (1) $X$ and $\widetilde{X}$ are $\vphi$-related $\Rightarrow \vphi(\alp(t,p))=\widetilde{\alp}(t,\vphi(p))$ where $\alp(\wid{\alp}$,resp.) is the flow of $X(\wid{X}$,resp.). (2) $X\underset{\vphi}{\sim}\wid{X}$, $Y\underset{\vphi}{\sim}\wid{Y}\Rightarrow[X,Y]\underset{\vphi}{\sim}[\wid{X},\wid{Y}]$. \end{prop} \begin{proof} (1) $X\underset{\vphi}{\sim}\wid{X}\Rightarrow\vphi_*(X_p)=\wid{X}_{\vphi(p)}$ 이고 $p$를 지나는 integral curve $\alp_p(t)$ 에 대해 $\vphi(\alp_p(t))$는 $\vphi(p)$를 지나는 $\widetilde{X}$의 integral curve가 된다. 왜냐하면 $\frac{d}{dt}(\vphi\circ\alp_p(t))=\wid{X}(\vphi(\alp_p(t)))$임을 보이면 되는데\\ $\frac{d}{dt}(\vphi\circ\alp_p)=\vphi_*\frac{d\alp}{dt}\hs{3em}$ $\hs{4.5em}=\wid{X}_{\vphi(p)}\hs{3em}$ since $\frac{d\alp}{dt}=X_p$\\ 따라서 uniqueness에 의해 $\vphi(\alp_p(t))=\wid{\alp}(t,\vphi(p))$이다.\\ $\hs{0.5em}i.e.,\hs{4em}\rb\times M\supset\dc\,\,\,\,\,\,\overset{id\times\vphi} {\longrightarrow}\,\,\,\,\,\,\wid{\dc}\subset\rb\times\wid{M}$ $\hs{10em}\alp\downarrow\hs{5em}\downarrow\wid{\alp}$ $\hs{10.5em}M\,\,\,\,\,\,\underset{\vphi}{\longrightarrow}\,\,\,\,\,\,\wid{M}$\\ (2) $\vphi_*(\li_p)=[\wid{X},\wid{Y}]_{\vphi(p)}$ 를 보이자. 먼저 $\forall f\in\ccn$에 대해 \\ $\vphi_*(\li_p)(f)=\li_p(f\circ\vphi)$ $\hs{6.6em}=X_pY(f\circ\vphi)-Y_p(X(f\circ\vphi))$ $\hs{6.6em}=X_p(\vphi_*Y)(f)-Y_p(\vphi_*X)(f)$ $\hs{6.6em}=X_p((\wid{Y}f)\circ\vphi)-Y_p((\wid{X}f)\circ\vphi)$ $\hs{6.6em}=\vphi_*(X_p)(\wid{Y}f)-\vphi_*(Y_p)(\wid{X}f))$ $\hs{6.6em}=\wid{X}_{\vphi(p)}(\wid{Y}f)-\wid{Y}_{\vphi(p)}(\wid{X}f)$ $\hs{6.6em}=[\wid{X},\wid{Y}]_{\vphi(p)}f$ \end{proof} \begin{cor} $\hs{3em}$\\(1) Let $\vphi:M\rightarrow N$ be a diffeomorphism and $X$ be a vector field on $M$ with flow $\{\alp_t\}$. Then $\{\vphi\circ\alp_t\circ\vphi\inv\}$ is a flow of $\vphi_*X$. (2) Let $\vphi:M\rightarrow M$ be a diffeomorphism, then $\vphi_*X=X\Leftrightarrow\vphi\circ\alp_t=\alp_t\circ\vphi\,\,,\,\,\forall\,t.$ \end{cor} \begin{proof} (1) 앞 명제에서 $\vphi(p)$에서의 flow $\wid{\alp}$ 는 $\vphi(\alp(t,p))$ 와 같으므로 $\hs{1.5em}\wid{\alp}_t\circ\vphi=\vphi\circ\alp_t$ 이다.\\ (2) $(\Rightarrow)$ $X\underset{\vphi}{\sim}X$ 이고 flow가 둘 다 $\alp_t$로 같으므로 (1)에 의해 자명하다 $\hs{1.5em}(\Leftarrow)$ $\vphi\circ\alp_t\circ\vphi\inv$는 $\vphi_*X$의 flow이고 $\alp_t$ 는 $X$의 flow인데 두 vector field의 $\hs{1.5em}$flow가 서로 같으므로 $\vphi_*X=X$ 이다. \end{proof} \begin{lem} $X$ generates $\{\alp_t\}$ and $Y$ generates $\{\beta_t\}$. Then $\li=0\Leftrightarrow\alp_t\circ\beta_s=\beta_s\circ\alp_t\,\,\,\forall\,s,t.$ \end{lem} \begin{proof} $({\bf \Leftarrow})$ $\alp_t\circ\beta_s\circ\alp_t\inv=\beta_s$이고 앞의 따름정리 (2)에 의해 $(\alp_t)_*Y=Y$ 이다. ($\alp_t$를 diffeomorphism으로 $Y$를 vector field로 보면 된다.) 그러면 $\li=\ml_XY=\dis{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}(Y-(\alp_{t*}Y))}=0$.\\ $({\Rightarrow})$ For $\forall q\in M$, $\dis{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}(Y_q-(\alp_{h*}Y)_q)}=0$. Let $c(t)=(\alp_{t*}Y)_p\,\,\,,$ then $c'(t)=\dis{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}(c(t+h)-c(t))}=\dis{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}((\alp_{(t+h)*}Y)_p-(\alp_{t*}Y)_p)}$ $\hs{2em}=\dis{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}((\alp_{t}\circ\alp_h)_*Y)_p-(\alp_{t*}Y)_p)}=\dis{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}((\alp_{t_*}\circ\alp_{h_*})Y)_p-(\alp_{t*}Y)_p)}$ $\hs{2em}=\alp_{t*}\{\dis{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}((\alp_{h*}Y)_{\alp_{-t}(p)}-Y_{\alp_{-t}(p)})}\}=0$\\ $\therefore c(t)=c(0)\,\,and\,\alp_{t*}Y=Y$이므로 따름정리의 (2)번에 따라 $\alp_t\circ\beta_s=\beta_s\circ\alp_t$ 이다. \end{proof}\\ {\bf Recall.} $\rb^n$ 에서 $[\paxi,\paxj]=0$ 이다.\\ 다음 정리로부터 역에 대한 성질도 얻을 수 있다.\\ \begin{thm} Let $X_1,X_2,\cdot\cdot\cdot,X_k$ be linearly independent $\ccn$ vector fields in a neighborhood of $p\in M$. If $[X_i,X_j]=0\,\,,\,\,\forall i,j=1,2,\cdot\cdot, k$. Then $\exists$ a coordinate chart $(U,x)$ around $p$ such that $X_i=\paxi\,\,,\,\,i=1,2,\cdot\cdot\cdot,k.$ \end{thm} \begin{proof} local problem 이므로 $\rb^n$상에서 봐도 된다. $p=0$으로 두고 linear change of coordinate에 의해 $0$에서는 $X_i(0)=\frac{\pa}{\pa u_i}(0),i=1,\cdot\cdot,k$ 이 되게 할 수 있다. 각 $X_i$의 flow를 $\{\alp_t^i\}$ 라 두자. 그리고 함수 $\vphi:\rb^n\rightarrow\rb^n$를 다음과 같이 준다. $\vphi(x_1,x_2,\cdot\cdot\cdot,x_n)=\alp_{x_1}^1(\alp_{x_2}^2(\cdot\cdot(\alp_{x_k}^k(0,\cdot\cdot,0,x_{k+1},\cdot \cdot x_n))\cdot\cdot))=\alp_{x_1}^1(\overline{x})$, 여기서 $\overline{x}=\alp_{x_2}^2(\cdot\cdot(\alp_{x_k}^k(0,\cdot\cdot,0,x_{k+1},\cdot \cdot x_n))\cdot\cdot)$. 그러면 $\vphi_*\frac{\pa}{\pa u_1 }(x_1,\cdot\cdot\cdot,x_n)=\frac{d}{dt}|_{t=x_1}\alp_t^1(\overline{x})=X_1(\alp^1(x_1,\overline{x}))=X_1(\vphi(x))$. $[X_1,X_2]=0$ 이므로 위의 보조정리에 의해 $\vphi(x)=\alp_{x_1}^1(\alp_{x_2}^2\cdot\cdot)=\alp_{x_2}^2(\alp_{x_1}^1\cdot\cdot)$ 이다. 따라서 같은 방법으로 $\vphi_*\frac{\pa}{\pa u_2}(x)=X_2(\vphi(x))$ 이다. 더 일반적으로 $\vphi_*\frac{\pa}{\pa u_i}(x)=X_i(\vphi(x))\,\,,\,\,\forall i=1,2,\cdot\cdot, k$도 성립한다. 따라서 $\vphi_*\frac{\pa}{\pa u_i}(0)=X_i(0)=\frac{\pa}{\pa u_i}(0),i=1,\cdot\cdot,k $ . 그리고 $i=k+1,\cdot\cdot,n$에 대해서는 $\vphi|_{0\times\rb^{n-k}}=id$가 되므로 $\vphi_*\frac{\pa}{\pa u_j}(0)=\frac{\pa}{\pa u_j}(0)\,,\,j=k+1,\cdot\cdot,n$. 따라서 $ \vphi_*(0)=id$이 되어 $\vphi\inv$ 는 $p$근방에서의 coordinate chart를 주고 그 근방에서 $\paxi=X_i\,,\,i=1,2,\cdot\cdot,k$ 이다. \end{proof} \end{document}