\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\pauo}{\frac{\partial}{\partial u_1}} \newcommand{\paui}{\frac{\partial}{\partial u_i}} \newcommand{\pauj}{\frac{\partial}{\partial u_j}} \newcommand{\wid}{\widetilde} \newcommand{\ml}{\mathcal{L}} \newcommand{\hs}{\hspace} \newcommand{\inv}{^{-1}} \newcommand{\vphi}{\varphi} \newcommand{\pax}{\frac{\partial}{\partial x}} \newcommand{\pay}{\frac{\partial}{\partial y}} \newcommand{\paz}{\frac{\partial}{\partial z}} \newcommand{\paxi}{\frac{\partial}{\partial x_i}} \newcommand{\payj}{\frac{\partial}{\partial y_j}} \newcommand{\paxj}{\frac{\partial}{\partial x_j}} \newcommand{\payi}{\frac{\partial}{\partial y_i}} \newcommand{\li}{[X,Y]} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^n}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\dc}{\mathcal{D}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\rc}{\mathcal{R}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Distribution and Frobenius theorem(Local part)} \begin{defn} A $k-$dimensional {\bf distribution} $\dc$ on $M^n$ is a choice of a $k-$dimensional subspace $\dc(p)\subset T_pM$ for each $p\in M.$ $\dc$ is $\ccn$ if $\forall p\in M,\,\,\exists U$ a neighborhood of $p$ and $X_1,\cdot\cdot\cdot,X_k$, $\ccn$ vector fields on $U$ such that $\dc(p)=span\{X_1(p),\cdot\cdot\cdot,X_k(p)\}$. For a vector field $X$, $X\in\dc$ if $X(p)\in\dc(p)\,,\,\,\forall p\in M$. We consider only $\ccn$ distributions. $\dc$ is {\bf involutive}(or completely integrable) if $\li\in\dc$ for $\forall\ccn$ vector fields $ X,Y\in\dc.$ \end{defn} \begin{defn} A submanifold $(N,\vphi)$ of $M$ is an {\bf integral manifold} of $\dc$ on $M$ if $\vphi_*(T_pN)=\dc(\vphi(p))\,\,\,\,\forall p\in N.$\\ \end{defn} {\bf 숙제 12-1.} $X_1,\cdot\cdot\cdot,X_k:\ccn$ vector fields spanning $\dc$. Then $ \dc$ is involutive if and only if $[X_i,X_j]\in\dc\,\,,\,\,\forall i,j.$ \begin{prop} Let $\dc$ be a distribution on $M$. $\forall p\in M,\exists$ an integral manifold of $\dc$ through $p\Rightarrow\dc$ is involutive. \end{prop} \begin{proof} $X,Y\in\dc$ 에 대해 $\li\in\dc$를 보이기 위해 각 $p\in M$에 대해 $(N,\vphi)$를 $p$를 지나는 $\dc$의 integral manifold라 두자. integral manifold의 정의에 의해 $\vphi_*(\overline{X})=X,$$\vphi_*(\overline{Y})=Y$ 를 만족하는 vector fields $\overline{X},\overline{Y}$ 가 $N$상에 존재한다. 이 때 $\overline{X},\overline{Y}$는 $N$위의 $\ccn$ vector field가 된다.(왜 그런지 보여라.) $\li_{\vphi(p)}=[\vphi_*\overline{X},\vphi_*\overline{Y}]_{\vphi(p)}=\vphi_*[\overline{X},\overline{Y}]_p \in\vphi_*(T_pN)\in\dc $. 따라서 $X,Y\in\dc\Rightarrow\li\in\dc$임을 보였다. \end{proof} \begin{thm}(Frobenius theorem : Local part) Let $\dc$ be a $k-dimensional\,\,\,\ccn$ distribution on $M^n$. $\dc$ is involutive $\Rightarrow\forall\,p\,\in M,\,\exists\,$ an integral manifold of $\dc$ through $p$. In fact , $\exists$a coordinate chart $(U,x)$ with $x(p)=0$ and $x(U)=(-\eps,\eps)^n$ such that $\forall(a_{k+1},\cdot\cdot,a_n)\in\rb^{n-k}$ with $|a_i|<\eps,$ the slice $\{q\in U,\,|\,\,x_{k+1}(q)=a_{k+1},\cdot\cdot,x_n(q)=a_n\}$ is an integral manifold of $\dc$. And if $(N,\vphi)$ is a connected integral manifold of $\dc$ such that $\vphi(N)\subset U$, then $\vphi(N)$ lies in one of these slices. \end{thm} **그림 23**\\ \begin{proof} local problem이므로 $p=0\in\rb^n$으로 두고 $\dc(0)=span\{\pauo(0),\cdot\cdot,\frac{\pa}{\pa u_k}(0)\}$ 이라 두자. (linear coordinates change에 의해 이렇게 두어도 상관없다.) canonical projection $\pi:\rb^n\rightarrow\rb^k$를 생각하면 $\pi_*:\dc(0)\rightarrow T_0\rb^k$는 사실상 identity이므로 isomorphism이 된다. (0에서 $\dc(0)=span\{\pauo(0),\cdot\cdot,\frac{\pa}{\pa u_k}(0)\}$ 이고 이는 $T_0\rb^k$와 같다.) 그러면 continuity성질때문에 $0$근방의 $p$에 대해서도 $\pi_*:\dc(p)\rightarrow T_{\pi(0)}\rb^k$는 isomorphism이 된다. 따라서 $\exists! X_1(q),\cdot\cdot,X_k(q)\in\dc(q)$ such that $\pi_*X_i(q)=\paui(\pi(q))\,\,,\,\,i=1,\cdot\cdot,k$. Note that each $X_i $ is $\ccn$({\bf 숙제 12-2.}) and $\pi-$related to $\paui.$ $\therefore\pi_*[X_i,X_j]_q=[\pi_*X_i,\pi_*X_j]_{\pi(q)}=[\paui,\pauj]_{\pi(q)}=0$ $\rb^n$에서는 $\paui,\pauj$가 서로 commute하므로 위식은 0이 된다. 그런데 involutive하다는 조건에서 $[X_i,X_j]_q\in\dc(q)$이고, $\pi_*$는 $\dc(q)$에 isomorphism을 주므로 $[X_i,X_j]_q=0$ 이어야 한다. 따라서 앞절의 정리6에 따라 $\exists$ coordinate chart $(U,x)$ such that $X_i=\paxi$ on $U$ 이고 따라서 각 slice는 $\dc$의 integral manifold가 된다.\\ $(N,\vphi)$가 connected integral manifold with $\vphi(N)\subset U $ 인 경우\\ $\hs{2em}N\overset{\vphi}{\rightarrow}U\overset{x}{\rightarrow}x(U)\overset{p_2}{\rightarrow}\rb^{n-k}$\\ 에서 $N$이 integral manifold라는 사실 때문에 $(p_2\circ x\circ\vphi)_*=0$ 이 되고 따라서 $(p_2\circ x\circ\vphi)=locally\,\,\,constant$ 이다. 그런데 $N$이 connected 이므로 $(p_2\circ x\circ\vphi)=constant$ 이다. 따라서 $\vphi(N)$는 single slice에 포함되어야 한다. \end{proof}\\ $<${\bf Frobenius theorem as P.D.E. problem}$>$\\ {\bf 예.} $M=\rb^3$, $\dc(p)=span\{X=\pax+f(p)\frac{\pa}{\pa z},Y=\pay+g(p)\frac{\pa}{\pa z}\}$. $\dc$가 involutive한지를 보기 위해서는 $X,Y$에 대해서만 $\li\in\dc$ 인지를 체크하면 된다. 실제 계산을 해보면 $\li=(\frac{\pa g}{\pa x}-\frac{\pa f}{\pa y}+f\frac{\pa g }{\pa z }-g\frac{\pa f}{\pa z})\paz$ 이고 이 식이 $\dc$안에 있으려면 $\hs{3em}\frac{\pa g}{\pa x}-\frac{\pa f}{\pa y}+f\frac{\pa g }{\pa z }-g\frac{\pa f}{\pa z}=0\hs{2em}(*)$ 이 되어야 한다. 즉 $\dc$가 involutive임을 확인하는 것은 $(*)$를 보이는 것과 같다. 만일 $\dc$가 $(*)$를 만족한다면 Frobenius 정리에 의해, 혹은 직접적으로 다음과 같이 integral manifold가 존재함을 보일 수 있다.\\ Show integrability directly using $(*)$ : We want $\alp:\rb^2\rightarrow\rb$ such that \[ (*)'\left\{ \begin{array}{cc} \frac{\pa\alp}{\pa x}=&f(x,y,\alp(x,y)) \\ \frac{\pa\alp}{\pa y}=&g(x,y,\alp(x,y)) \end{array} \right. \]\\ 만일 $(*)'$를 만족하는 $\alp$가 존재한다면 $\frac{\pa^2\alp}{\pa x\pa y }=\frac{\pa^2\alp}{\pa y\pa x }$ 성질에서 $(*)$를 만족함을 알 수 있다. 역으로 $\alp$의 존재성은 $(*)$만 있으면 충분하다는 것을 보이자. (이는 Frobenius 정리를 증명하는 다른 방법이기도 하다. )\\ (1st step) $y=b$로 고정시키고 $\frac{\pa\alp}{\pa x}=f(x,b,\alp(x,b))$ 를 풀면 이는 O.D.E 이므로 해가 유일하게 존재한다.\\ (2nd step) 각 고정된 $x$에 대해 다음 식을 생각하자. $ \frac{\pa\alp}{\pa y}=g(x,y,\alp(x,y))$ with $\alp(x,b)=$given by 1st step. 이것 역시 O.D.E이므로 유일한 해를 찾을 수 있고, local flow theorem에 의해($\ccn$ dependence on initial data) $\alp(x,y)$는 $x,y$에 대해 모두 $\ccn$ 이다.\\ (3rd step) 위에서 찾은 $\alp$가 실제로 $(*)'$를 만족하는지를 확인하자. $(*)'$의 아랫식에서 $\alp$를 얻었으므로 이제 윗식을 만족하는지를 살펴보면 된다. Let $h(y)=\frac{\pa\alp}{\pa x}-f(x,y,\alp(x,y)) $. Then $h(b)=0$ and $h'(y)=\pay\frac{\pa\alp}{\pa x}-(\frac{\pa f}{\pa y}+\frac{\pa f }{\pa z}\frac{\pa \alp }{\pa y})\hs{3em} where\,\,\,z=\alp(x,y)$. $\hs{2.5em}=\frac{\pa g}{\pa x}+\frac{\pa g}{\pa z}\frac{\pa\alp}{\pa x}-(\frac{\pa f}{\pa y}+\frac{\pa f }{\pa z}g)$ $\hs{2.5em}=\frac{\pa g}{\pa x}+\frac{\pa g}{\pa z}(h+f)-(\frac{\pa f}{\pa y}+\frac{\pa f }{\pa z}g)$ $\hs{2.5em}=\frac{\pa g}{\pa z}h\hs{2em} by \,\,\,(*)$ $\therefore h'(y)=\frac{\pa g}{\pa z}h$ ; O.D.E 그런데 $h(y)\equiv 0$가 위 미분방정식의 해가 되므로, uniqueness에 의해 $h(y)\equiv 0$이다. 따라서 2nd step에서 찾은 $\alp$는 바로 우리가 찾던 해가 된다.\\ 더 일반적으로 다음과 같은 $\ccn$ distribution을 생각해보자. $\dc(p)=\dis{<\pauo+\sum_{i=1}^{l} f_1^i\frac{\pa}{\pa u_{k+i}},\cdot\cdot\cdot,\frac{\pa}{\pa u_k}+\sum_{i=1}^{l} f_k^i\frac{\pa}{\pa u_{k+i}}>}\equiv$ integrability condition : $[X_i,X_j]=[\paui+\sum_{p}^{l} f_i^p\frac{\pa}{\pa u_{k+p}}\,\,\,,\,\,\pauj+\sum_{q}^{l} f_j^q\frac{\pa}{\pa u_{k+q}}]\in \dc$\\ $\Rightarrow \sum_p(*)\frac{\pa}{\pa u_{k+p}}\in\dc$ $\therefore (*)=0\,\,,\,\forall i,j.$ $(*)$를 vector notation $f_j=(f_j^1,\cdot\cdot\cdot,f_j^l)$을 이용해 다시 쓰면 다음과 같이 표현할 수 있다. $\frac{\pa f_j}{\pa u_i}-\frac{\pa f_i}{\pa u_j}+\sum_q f_i^q\frac{\pa f_j}{\pa x_q}-\sum_qf_j^q\frac{\pa f_i}{\pa x_q}=0$, $x_q=u_{k+q}$ ($q=1,\cdot\cdot\cdot,l$).\\\\ \begin{thm} Let $U\times V\subset\rb^k\times\rb^l=\{(u,x)\}$, with open $U$ and $V$, $k+l=n$ and $f_i:U\times V\rightarrow\rb^l$, $\ccn$ functions, $i=1,\cdot\cdot,k$. Then for each $(a,b)\in U\times V$, $\exists W\subset U$, a neighborhood of $a$ and $\exists ! \alp:W\rightarrow V$ such that \[ \left\{ \begin{array}{ll} \alp(a)=&b \\ \frac{\pa\alp}{\pa u_i}(u)=&f_i(u,\alp(u))\,\,\,,\,\, u\in W. \end{array} \right. \]\\ if and only if $(*)$ holds on $U\times V$. \end{thm} {\bf(증명)} 앞에서 이미 보인 $(k,l)=(2,1)$의 경우와 같다. Reference : Spivak p.254 \end{document}