\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\pauo}{\frac{\partial}{\partial u_1}} \newcommand{\paui}{\frac{\partial}{\partial u_i}} \newcommand{\pauj}{\frac{\partial}{\partial u_j}} \newcommand{\wid}{\widetilde} \newcommand{\ml}{\mathcal{L}} \newcommand{\hs}{\hspace} \newcommand{\inv}{^{-1}} \newcommand{\vphi}{\varphi} \newcommand{\pax}{\frac{\partial}{\partial x}} \newcommand{\pay}{\frac{\partial}{\partial y}} \newcommand{\paz}{\frac{\partial}{\partial z}} \newcommand{\paxi}{\frac{\partial}{\partial x_i}} \newcommand{\payj}{\frac{\partial}{\partial y_j}} \newcommand{\paxj}{\frac{\partial}{\partial x_j}} \newcommand{\payi}{\frac{\partial}{\partial y_i}} \newcommand{\li}{[X,Y]} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^n}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\dc}{\mathcal{D}} \newcommand{\fc}{\mathcal{F}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\rc}{\mathcal{R}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Frobenius theorem(Global part)} \begin{thm} Let $\dc$ be a $k$-dimensional $\ccn$-involutive distribution on $M$. For $\forall p\in M,\exists! $ maximal connected integral manifold $C$ of $\dc$ through $p$. Furthermore, if $M$ is 2nd countable, so is $C$. \end{thm} \begin{proof} Local part로부터 각 $p\in M$에 대해 $\exists (U,x) $ coordinate chart such that $x(U)=(-\eps,\eps)^n$ and each slice $S_a^U=\{q\in U\,\,|\,\,(x_{k+1}(q),\cdot\cdot\cdot,x_n(q))=a=(a_{k+1},\cdot\cdot\cdot,a_n)\},|a_{k+j}|<\eps$ is a integral manifold.\\ (1) $\{S_{\alp}^U\}$ defines a coherent topology(or foliation topology) $\mathcal{F}$ on $M$. $\hs{2em}$(Each $S_{\alp}^U$ has a topology of $x(S_{\alp}^U)$):\\ Check : Topology of $S_{a}^U\cap S_{b}^V$ induced from $S_{a}^U$ is the same as that from $S_{b}^V$ and open in $S_{a}^U$(and in $S_{b}^V$).\\ **그림24**\\ 먼저 $S_{a}^U\cap S_{b}^V$의 topology는 $x(S_{a}^U)$의 topology를 가져온 것이고 $y(S_{b}^V)$쪽도 마찬가지이다. 그런데 $M$위의 chart $x,y$로서 transition map $h=y\circ x\inv$은 정의역과 치역사이의 diffeomorphism이므로 homeomorphism이다. 따라서 이를 $x(S_{a}^U\cap S_{b}^V)$에 restrict시킨 것 역시 homeomorphism이므로 이들간의 topology는 일치한다. $S_{a}^U\cap S_{b}^V$가 $S_{a}^U$ ,$S_{b}^V$ 에서 open이라는 사실은?(Exercise)\\ (2) 위에서 얻은 $(M,\fc)$는 $M$의 k-dimensional submanifold가 되고 $\dc$의 integral manifold가 된다 : (1)에서와 마찬가지로 $h|_{S_{a}^U\cap S_{b}^V}$는 $\ccn$이므로 $(S_a^U,x|_{S_a^U})$는 submanifold가 되게 하는 chart가 되고, $(M,\fc)$는 당연히 $\dc$의 integral manifold가 된다.\\ (3) $C:=$a connected component of $(M,\fc)$ containing $p$. $\fc$는 locally connected 이므로 component $C$는 open(in $\fc)$이고, (또한 component의 정의에 의해 closed이다.) 따라서 $C$는 $\dc$의 integral manifold가 된다.\\ (4) Show $C$ is maximal and unique : $(N,\vphi)$를 $p$를 지나는 또다른 $\dc$의 connected integral manifold라고 하자. 이 때 $\vphi:N\rightarrow(M,\fc)$가 연속임을 보이자.(주의! $(M,\fc)\neq M$) submanifold 조건에서 $\vphi:N\rightarrow M $는 $\ccn$이므로 continuous이다. 또한 모든 cubic neighborhood $U_{\vphi(a)},a\in N$ 에 대해 $\exists W$,a connected neighborhood of $a$ such that $\vphi(W)\subset U:=U_{\vphi(a)}$. 그런데 $W$가 connected integral manifold이므로 $\vphi(W)$은 single slice에 포함된다. 즉 $\vphi:W\rightarrow U$가 연속이고 slice가 $U$의 subspace이므로 $\vphi:W\rightarrow slice$ 는 연속이다. 따라서 $\vphi:N\rightarrow(M,\fc)$가 continuous임을 보였다. (slice의 topology 는 ($M,\fc$)의 subspace topology와 같으므로.) 또한 $N$이 connected이므로 $\vphi(N)$은 maximal connected $C$ in $(M,\fc)$ 에 포함된다. 따라서 $\vphi:N\rightarrow C$ 은 연속이고 submanifold 절에서 증명한 다음 명제에 의해 $\ccn$까지 된다.\\ $(C,i)$ is a submanifold of M, $\psi=i\circ\vphi:\ccn\,\,\,\,and\,\,\vphi(N)\subset C\,\,.$ Then $\hs{1em}N\overset{\psi}{\rightarrow} M$ $\hs{1em}\vphi\searrow\hs{1em}\uparrow i\hs{4em}\,\,\vphi$ is continuous$\Rightarrow\vphi$ is $\ccn.$ $\hs{3em}C$\\ 그리고 $(N,\vphi)$는 integral manifold 즉 $M$의 submanifold가 되므로 1-1이 되고 nonsingular(즉 $\vphi_*:1-1$)하다. 따라서 $ \vphi$는 local diffeomorphism이 되고 $\vphi(N)\subset C$이므로 $(N,\vphi)$는 $C$의 open embedded submanifold가 된다. 따라서 $C$는 maximal, unique 하다. (만일 $N$이 maximal하다면 $\vphi$는 global diffeomorphism이 된다.)\\ (5) $M$ is 2nd countable$\Rightarrow C$ is also 2nd countable: 먼저 $M$이 2nd countable이므로 $\exists$ countable cubic chart which give slice solutions of $\dc$이다. 이들을 $\{U_0,U_1\cdot\cdot\cdot\}$ 이라 두자. $C$가 path connected이므로 고정된 $p\in U_0\cap C$와 임의의 한 점 $q\in C$에 대해 $p$와 $q$를 잇는 path가 존재한다. 이 때 path 위의 각점들에 대한 cubic들이 만드는 covering에 대해 finite subcover가 존재하므로 $\exists$ a sequence $U_0=U_{i_1},\cdot\cdot\cdot,U_{i_p}=U_i$, $q\in U_i$ for some $U_i$ such that $(C\cap U_{i_r})\cap(C\cap U_{i_{r+1}})\neq \emptyset$ and $p\in U_o\cap C$ and $q\in U_i\cap C$. 따라서 다음만 보이면 충분하다.\\ 1. $\exists$ only countably many possible choices of each sequence, $U_0=U_{i_1},\cdot\cdot\cdot,U_{i_p}=U_i$ : 원래 $U_j$가 countable개이고 이중에서 finite개를 뽑는 것이므로 당연하다.\\ 2. A single slice $S$ of $U_j$ can intersect only countable many slices of $U_k$ : $S\cap U_k$는 $S$에서 open이고 $S$는 2nd countable이므로 $S\cap U_k$ 역시 2nd countable이다. 이 때 $S\cap U_k$의 component를 생각하면 이는 locally connected인 $S$의 open set이므로 open이 되고 따라서 $S\cap U_k$는 많아야 countable 개의 component를 가진다. 이들 countable개의 component들은 $S$에서 open이므로 connected integral manifold이다. 따라서 $U_k$의 single slice안에 포함되어야 한다. 즉 $U_j$의 single slice $S$가 만날 수 있는 $U_k$의 slice는 많아야 countable개이다. \end{proof} \end{document}