\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^m}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\cb}{\mathbb{C}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\rc}{\mathcal{R}} \newcommand{\hhhh}{\hspace{4em}} \newcommand{\hhh}{\hspace{3em}} \newcommand{\hh}{\hspace{2em}} \newcommand{\h}{\hspace{1em}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Construction of new vector bundles from given ones} {\bf General rule}: A functorial construction of a vector space from given ones gives rise to the corresponding vector bundle construction.\\ 예: 벡터 공간에서 정의된 $*, \oplus , \otimes , \wedge , S , \cdots $들은 functorial construction이고 따라서 이것들은 vector bundle의 경우로도 그대로 확장할 수 있다.\\ 이제 각각의 construction을 살펴보겠다.\\ 먼저 vector bundle\\ \hhhh \hhhh \hhhh$E = \dis{\bigcup_{p \in M} E_p}$ with $\{ \varphi_{U} \}$ and $\{ g_{UV}\} $\\ \hhhh \hhhh \hhhh\h$\downarrow \pi$\\ \hhhh \hhhh \hhhh\h$M$\\ 가 주어져 있다고 하자.\\ 1. Dual bundle\\ a. total space: \\ 우선 각각의 $E_p$는 벡터공간이므로 쌍대공간(dual) $E_p^*$가 존재하는것은 자명하고 대응되는 $\pi^*$도 마찬가지로 정의가 된다. 따라서 우선 set으로서의 $E^*$를 정의할 수 있다. \\ \hhhh \hhhh \hhhh$E^* = \dis{\bigcup_{p \in M} E_p^*}$ \\ \hhhh \hhhh \hhhh \h$\downarrow \pi^*$\\ \hhhh \hhhh \hhhh \h$M$\\ \newpage b. local chart(local trivialization): \\ 다음으로 $E^*$의 local trivialization $\varphi_U^*$는 $E$의 local trivialization $\varphi_U : \pi^{-1} U \rightarrow U \times \rb^n$으로부터 각 point $p \in M$에 대해 ${\varphi_U}|_p : E_p \rightarrow {p} \times \rb^n$을 얻는다. 이로부터 dual map $({\varphi_U}|_p)^* : {p} \times {\rb^n}^* \rightarrow {E_p}^*$이 induce되고 이로부터 $E^*$의 local trivialization\\ ${\varphi_U^*}^{-1} : {\pi^*}^{-1} U \rightarrow U \times {\rb^n}^*$\\ 가 정의된다.\\ c. transition:\\ 마지막으로 이렇게 얻어진 local trivialization들 사이의 transition을 살펴보자.\\ ${\varphi_U^*}^{-1} \cdot \varphi_V^* = (\varphi_V \cdot \varphi_U^{-1})^* = ({(\varphi_U \cdot \varphi_V^{-1})^{-1}})^* $\\ $g_{UV}^* (p) = {\varphi_U^*}^{-1} \cdot \varphi_V^* |_{p \times {\rb^n}^*}$ and $g_{UV} (p) = \varphi_U \cdot \varphi_V^{-1} |_{p \times \rb^n}$\\ $\therefore g_{UV}^* = ^t(g_{UV}^{-1})$ as matrices\\ 지난시간의 연습문제로부터 $g_{UV}$가 $\ccn$임을 알 수 있고 이과정(inverse를 취하고 transpose를 시키는 과정)은 algebraic process이므로 $\ccn$이 보존되므로 $g_{UV}^*$도 $\ccn$이다. 따라서 같은 연습문제로 부터 ${\varphi_U^*}^{-1} \cdot \varphi_V^*$가 $\ccn$이고 $\{{\varphi_U^*}^{-1}\}$ 가 $E^*$에 $\ccn$ 구조를 준다는 것을 알 수 있다.(이경우 topology는 ${\varphi_U^*}^{-1}$로 부터의 coherent topology) 즉 이렇게 정의한 dual bundle이 실제로 $\ccn$ vector bundle이 된다는 뜻이다.\\ \newpage 2. Direct sum\\ 같은 base를 가지는 두 bundle $E \rightarrow M$(with $\{\varphi_U\}, \{g_{UV}\} $), $F \rightarrow M$(with $\{\psi_U\}, \{h_{UV}\} $ 이 주어져 있다고 하자.\\ a. total space:\\ 각각의 fibre $E_p$, $F_p$는 벡터 공간이므로 direct sum $E_p \oplus F_p $을 생각할 수 있다. 따라서 \\ \hhhh \hhhh \hhhh$E \oplus F := \dis{\bigcup_p (E_p \oplus F_p)}$\\ \hhhh \hhhh \hhhh \h $\downarrow \pi $\\ \hhhh \hhhh \hhhh \h$M$\\ 이 잘 정의된다.\\ b. local trivialization:\\ $E$의 local trivialization $\varphi_U : \pi^{-1} U \rightarrow U \times \rb^n$, $F$의 local trivialization $\psi_U : \pi^{-1} U\rightarrow U\times \rb^m$ 으로부터 앞에서처럼 먼저 fiberwise 정의된 map \\ $\varphi_U |_p \oplus \psi_U |_p : E_p \oplus F_p \rightarrow p \times ( \rb^n \oplus \rb^m)$을 $\varphi_U |_p$와 $\psi_U |_p$로부터 얻고, 이로부터 \\ $\varphi_U \oplus \psi_U : \pi^{-1} U\rightarrow U\times(\rb^n \oplus \rb^m )$ 를 얻을 수 있다. \\ c. transition:\\ \hhhh\hhhh\hhhh\hhh$E_p \oplus F_p $\\ \hhhh\hhhh\hhhh$\overset{\varphi_U \oplus \psi_U} {\swarrow} \hhhh \overset{\varphi_V \oplus \psi_V} {\searrow} $ \\ \hhhh\hhhh$p\times (\rb^n\oplus\rb^m)\ \overset{^{g_{UV}(p) \oplus h_{UV}(p)}}{\longleftarrow} p\times (\rb^n\oplus\rb^m)$\\ 여기서 $g_{UV} \oplus h_{UV}$는 다음과 같은 행렬로 주어지므로 $g_{UV}$와 $h_{UV}$가 $\ccn$이면 $g_{UV} \oplus h_{UV}$가 $\ccn$이다.\\ \begin{displaymath} \left(\begin{array}{c|c} g_{UV}(p) & 0\\ \hline 0 & h_{UV}(p) \end{array}\right) \end{displaymath} 따라서 앞에서 처럼 $\{\varphi_U \oplus \psi_U \}$이 $\ccn$ vector bundle structure를 잘 정의한다.\\ 3. Tensor product\\ a. total space:\\ 같은 base를 가지는 두 bundle $E \rightarrow M$(with $\{\varphi_U\}, \{g_{UV}\} $), $F \rightarrow M$(with $\{\psi_U\}, \{h_{UV}\} $)에 대해 direct sum과 마찬가지로 각각의 fibre $E_p$, $F_p$는 벡터 공간이므로 tensor product $E_p \otimes F_p $을 생각할 수 있다. 따라서\\ \hhhh\hhhh\hhhh$E \otimes F := \dis{\bigcup_{p \in M} E_p \otimes F_p}$\\ \hhhh\hhhh\hhhh\h$\downarrow \pi$\\ \hhhh\hhhh\hhhh\h$M$ \\ 가 잘 정의된다.\\ b. local chart:\\ \hhhh\hhhh $\varphi_U \otimes \psi_U : \pi^{-1}(U) \longrightarrow U \times (\rb^n \otimes \rb^m)$\\ 이것 역시 앞에서 처럼 각각의 점 p에서 pointwise하게 정의된 $\varphi_U|_p \otimes \psi_U|_p : E_p \otimes F_p \longrightarrow {p}\times (\rb^n \otimes \rb^m )$으로부터 얻어지는 map이다.\\ c. transition:\\ \hhhh\hhhh\hhhh\hhh$E_p \otimes F_p $\\ \hhhh\hhhh\hhhh$\overset{\varphi_U \otimes \psi_U} {\swarrow} \hhhh \overset{\varphi_V \otimes \psi_V} {\searrow} $ \\ \hhhh\hhhh$p\times (\rb^n\otimes\rb^m)\ \overset{^{g_{UV}(p) \otimes h_{UV}(p)}}{\longleftarrow} p\times (\rb^n\otimes\rb^m)$\\ $g_{UV}$를 $(g_{ij})$로, $h_{UV}$는 H로 나타내자. 그러면 $g_{UV} \otimes h_{UV}$는 다음과 같은 $nm \times nm$행렬로 주어지므로\\ \begin{displaymath} \left(\begin{array}{ccc} g_{11}H & g_{12}H & \ldots\\ g_{21}H & g_{22}H & \ldots\\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right) \end{displaymath} $g_{UV}$와 $h_{UV}$가 $\ccn$이면 $g_{UV} \otimes h_{UV}$가 $\ccn$이다.\\ \\ \\ 4. Exterior product\\ a. total space:\\ 주어진 bundle $E \rightarrow M$(with $\{\varphi_U\}, \{g_{UV}\} $)에 대해 $E_p$는 vector space이므로 $\bigwedge^r (E_p)$을 생각할 수 있다. 따라서 \\ \hhhh\hhhh\hhhh\ $\bigwedge^r (E) := \dis{\bigcup_{p \in M}} {\bigwedge}^r (E_p)$\\ \hhhh\hhhh\hhhh\h $\downarrow \pi$ \\ \hhhh\hhhh\hhhh\h $M$\\ 가 잘 정의된다.\\ 더 일반적으로 $\bigwedge(E) = \oplus \bigwedge^r (E)$은 $\bigwedge^r (E)$만 알면 direct sum을 통해 알 수 있다.\\ \hhhh\hhhh\hhhh\ $\bigwedge(E) = \oplus \bigwedge^r (E)$\\ \hhhh\hhhh\hhhh\h $\downarrow \pi$\\ \hhhh\hhhh\hhhh\h $M$ \\ b. local chart:\\ 각각의 점 p에서 pointwise하게 $\bigwedge^r ( \varphi_U|_p ) : \bigwedge^r ( E_p ) \longrightarrow {p}\times \bigwedge^r ( \rb^n )$이 얻어지고, 이로부터 local trivialization\\ \hhhh\hhhh$\bigwedge^r ( \varphi_U ) : \pi^{-1}(U) \longrightarrow U \times \bigwedge^r (\rb^n )$ \\ 이 잘 정의된다.\\ c. transition:\\ \hhhh\hhhh\hhhh\hhh$\bigwedge^r (E_p)$\\ \hhhh\hhhh\hhh$\overset{\bigwedge^r (\varphi_U |_p)} {\swarrow} \hhhh \overset{\bigwedge^r (\varphi_V |_p)} {\searrow} $ \\ \hhhh\hhhh$p\times (\bigwedge^r (\rb^n)) \overset{^{\bigwedge^r (g_{UV} (p))}}{\longleftarrow} p\times (\bigwedge^r (\rb^n))$\\ 그리고 $\bigwedge^r (g_{UV})$은 $g_{UV}$가 p에 대한 $\ccn$map이므로 $\ccn$이다.\\ \\ \\ 5. Pullback bundle \\ a. total space:\\ 주어진 vector bundle $E \rightarrow M$(with $\{\varphi_U\}$)와 $\ccn$ map $f:N \rightarrow M $에 대해 pullback bundle은 각각의 $p \in N$에 대해 $f(p)\in M$에서의 vector space $E_{f(p)}$를 대응시킨다. 즉 pullback bundle은 다음과 같이 정의된다. \\ \hhhh\hhhh\hhhh $f^* E := \dis{\bigcup_{p \in N} E_{f(p)}}$\\ \hhhh\hhhh\hhhh\h $\downarrow \pi$\\ \hhhh\hhhh\hhhh\h $N$\\ b. local chart:\\ $f(p)$의 근방 U에 대해 \\ \hhhh\hhhh $f^*\varphi_U : f^*E|_{f^{-1} (U)} \longrightarrow f^{-1}(U) \times \rb^n$ \\ 은 각각의 점 $p \in N$에서 pointwise하게 정의된 map\\ \hhhh\hhhh $f^* E|_p = E_{f(p)} \overset{\varphi_U|_{f(p)}} {\longrightarrow} f(p) \times \rb^n = p \times \rb^n$\\ 으로부터 정의된다.\\ c. transition:\\ \hhhh\hhhh\hhhh\h$f^* E|_p := E_{f(p)}$\\ \hhhh\hhhh\hhhh$\overset{\varphi_U|_{f(p)}} {\swarrow} \hhhh \overset{\varphi_V|_{f(p)}} {\searrow} $ \\ \hhhh\hh$p\times \rb^n = f(p)\times \rb^n \overset{^{g_{UV}(f(p))}} {\longleftarrow} f(p)\times \rb^n = p\times \rb^n$\\ 여기서 $g_{UV}$와 $f$가 각각 $\ccn$이므로 $f^* g_{UV} := g_{UV} \circ f$는 $\ccn$이다.\\ \end{document}