\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \usepackage{mathrsfs} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^m}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\cb}{\mathbb{C}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\rc}{\mathcal{R}} \newcommand{\hhhh}{\hspace{4em}} \newcommand{\hhh}{\hspace{3em}} \newcommand{\hh}{\hspace{2em}} \newcommand{\h}{\hspace{1em}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Tensor fields and Forms} 지금부터 $T^r(TM)$을 $T^r(M)$으로 $T^s(T^*M)$은 $T_s(M)$으로 쓰기로하자. 또한 이것들을 이용해서 다음을 정의한다. $T_s^r(M):=T^r(M) \otimes T_s(M)$ ; tensor bundle of type (r,s)\\ \begin{defn} A {\bf $\ccn$-section} $\sig$ of a vector bundle $E \overset{\pi}{\longrightarrow} M$ over $U^{open} \subset M $ is a $\ccn$-map $\sig : U \rightarrow E$ s.t. $\sig(p) \in E_p, \; \forall p \in U $, i.e. $\pi \circ \sig = id$\\ $\ccn(M,E) := $ space of $\ccn$-sections.\\ A {\bf $\ccn$-frame} for $E$ over $U \subset M$ is a collection $\{ \sig_1, \cdots , \sig_n \}$ of $\ccn$ sections over $U$ s.t. $\{ \sig_1(p), \cdots , \sig_n(p) \}$ is a basis for $E_p$, $\forall p \in U $. \end{defn} {\bf Note}: $U$위에서의 frame을 가지고 있다는 것은 $U$에서 trivialization을가지고 있다는 것과 동치이다.\\ \begin{proof} $\Leftarrow$) local chart 가 존재한다는 것은 isomorphism $\pi^{-1}U \overset{\varphi_U}{\longrightarrow}$ $U \times \rb^n$이 존재한다는 것이다. 이제 $\rb^n$의 정규기저 $e_1, \cdots, e_n$들을 $\varphi^{-1}$로 보내면 frame이 얻어진다.\\ $\Rightarrow$) frame이 존재하므로 $\pi^{-1}U$의 점들은 $\sum v^i \sig_i (x)$로 표현할 수 있다. 이제 이 점을 $U \times \rb^n$위의 점 $(x, v^1, \cdots, v^n)$으로 보내는 map을 생각하면 이 map은 local chart가 된다. \end{proof}\\ 다음의 개념들도 정의 할 수 있다.\\ 1. $TM$의 section을 vector field라 한다. \h $T^*M$의 section을 1-form이라 한다. \h $\bigwedge^p(T^*M)$의 section을 p-form이라 한다. \h $T_s^r(M)$의 section을 tensor field of type (r, s)이라 한다.\\ 2. coordinate chart $(U, x)$에 대하여 bundle의 smooth structure 정의로 부터 \h $\{\frac{\pa}{\pa x^1}, \cdots ,\frac{\pa}{\pa x^n} \}$ 은 $TM$의 $U$위에서의 $\ccn$-frame 이 된다. \h $\{dx^1, \cdots ,dx^n \}$ 은 $T^*M$의 $U$위에서의 $\ccn$-frame 이 된다.\\ {\bf Remark}: 통상적으로 tensor notation을 쓸 때에 covariant한 index를 아래첨자로, contravariant한 index는 위첨자로 표기하면 편리하기 때문에(예를 들어 summation에서 dummy index에 대해 $\sum$을 빼고 쓰는 Einstein notation 등을 이용하기에 편리) $\frac{\pa}{\pa x_i}$, $dx_i$대신에 $\frac{\pa}{\pa x^i}$, $dx^i$로 쓰기도 한다.\\ \h Exterior bundle, tensor bundle의 construction과 smooth structure의 정의로 부터 $\{dx^I \}$ 은 $\bigwedge^p(T^*M)$의 local chart $U$위에서의 $\ccn$-frame 이 되고, (여기에서 $I$는 multi-index로서 즉 $I = (i_1, i_2, \cdots, i_p)$ , $i_1 < i_2 < \cdots < i_p$이고 $dx^I = dx^{i_1}\wedge dx^{i_2} \wedge \cdots \wedge dx^{i_p}$이다.)\\ \h $\{ \frac{\pa}{\pa x^{i_1}} \otimes \cdots \otimes \frac{\pa}{\pa x^{i_r}} \otimes dx^{j_1} \otimes \cdots \otimes dx^{j_s} \}$ 은 $T_s^r(M)$의 $U$위에서의 $\ccn$-frame 이 된다.\\ {\bf Note}: $U$위의 $\ccn$-frame $\{\sig_1, \cdots, \sig_n\}$이 주어져 있을 때, 임의의 section $\sig$은 $\dis{\sum_i f^i \sig_i}$으로 나타낼 수 있다. 그러면 $\sig$가 $\ccn$이라는 것과 각각의 $i$에 대하여 $f^i$가 $\ccn$($p$에 관한 함수로서)이라는 것은 동치이다.\\ \begin{proof} ) 앞 Note로 부터 자명하다. \end{proof}\\ 예) $\alp$: p-form,\\ $\alp$ is $\ccn$ $\Leftrightarrow$ for some $(U,x)$, $\alp |_U = \sum \alp_I dx^I $ where $\alp_I$ is $\ccn$.\\ \\ {\bf Notation}: For a smooth vector bundle $E \rightarrow M$,\\ \h$\Gamma(E) = \ccn(M,E)$ = the space of smooth global sections of E\\ \h$\ccn(M,TM)$ = $\mathcal{X}(M)$ = the space of $\ccn$ vector fields \\ \h$\ccn(M,\rb)$ = $\mathcal{F}(M)$ = the space of $\ccn$ functions on M\\ \h$\ccn(M,\bigwedge^r(T^*M))$ = $\mathcal{E}^r(M)$ = the space of r-forms \\ \h$\ccn(M,T_s^r(M)) = \mathcal{T}_s^r(M)$ = the space of tensor fields of type (r,s)\\ \newpage 3. View an r-form $\alpha \in \mathcal{E}^r(M)$ as an alternating $\mathcal{F}$-linear map:\\ \h$\alpha \in \mathcal{E}^r(M)$일 때 $\alpha$를 alternating $\mathcal{F}$-linear map $\alpha : \underbrace{ \mathcal{X}\times\cdots \times\mathcal{X}}_{r}\longrightarrow\mathcal{F}$으로 \h 볼 수 있다. 여기서\\ \h$\alpha(X_1,\cdots,X_r)(p) := \alpha_p(X_1(p),\cdots,X_r(p))$ \h for $\alpha_p \in \bigwedge^r(T_p^*M)=(\bigwedge^r(T_pM))^*=A_r(T_pM)$ \footnote[1]{recall $\bigwedge^r(V^*)=(\bigwedge^rV)^*=A_r(V)$}(아래각주1)\\ \h locally $\alpha = \Sigma\alpha_I dx^I \Longrightarrow \alpha(X_1,\cdots,X_r$) is clearly $\ccn$ .\\ \h 더욱이 정의로 부터 $\alpha$가 $\mathcal{F}$ -linear, i.e. $\alpha(X_1,\cdots,fX_i,\cdots,X_r) = f\alpha(X_1,\cdots,X_i,\cdots,X_r)$ \h 임을 곧 알 수 있다.\\ \\ Conversely $\forall \mathcal{F}$-linear alternating map is an r-form:\\ \h Given $\alpha : \mathcal{F}$-linear, alternating and $ X_1, \cdots ,X_r \in T_pM$에 대해 \h $\alpha_p(X_1,\cdots,X_r) := \alpha(\widetilde{X_1},\cdots,\widetilde{X_r})(p)$ for $\widetilde{X_i}:\ccn$-extension of $X_i$라 정의하 \h 자. 그러면 $\alpha_p \in \bigwedge^r(T^*_pM)=A_r(T_pM)$이다. \\ \h 이제 $\alpha(\widetilde{X_1},\cdots,\widetilde{X_r})(p)$가 extension의 선택에 상관없이 잘 정의되는 것을 \h 보이자.\\ \h $(*)$ $X_1, \cdots,X_r \in \mathcal{X}, X_1(p)=0$일 때 $\alpha(X_1,\cdots,X_r)(p)=0$이 되는 것을 보 \hh 이면 충분하다. 왜냐하면 $\widetilde{X}'$이 또다른 extension이라 할 때\\ \hh $ X_1(p)=\widetilde{X_1}(p)=\widetilde{X_1}'(p) \Longrightarrow(\widetilde{X_1}-\widetilde{X_1}')(p)=0$\\ \hh 그러면 $(*)$에 의해\\ \hh $\alpha(\widetilde{X_1},\widetilde{X_2},\cdots,\widetilde{X_r})(p) = \alpha(\widetilde{X_1}',\widetilde{X_2},\cdots,\widetilde{X_r})(p) = \alpha(\widetilde{X_1}',\widetilde{X_2}',\cdots,\widetilde{X_r})(p)$ \hh = $\cdots = \alpha(\widetilde{X_1}',\widetilde{X_2}',\cdots,\widetilde{X_r}')(p)$가 성립한다.\\ \\ \newpage \h 그러면 $(*)$를 보이자.\\ \h $X_1 = \Sigma a_i\frac{\pa}{\pa x^i}$ on U$\Longrightarrow X_1(p) = \Sigma a_i(p)\frac{\pa}{\pa x^i}|_p = 0 \Longrightarrow a_i(p) = 0 \h \forall i$\\ \h Let $\varphi$ be a bump function s.t. $\varphi(x) = 1 ~for~x \in $K (K compact neighborhood \h $ \subset U$) and $\varphi(x) = 0 ~for~x \in U^c$\\ \h$X_1 = {\varphi}^2 X_1 + (1 - {\varphi}^2)X_1=\Sigma(\varphi a_i)(\varphi \frac{\pa}{\pa x^i}) + (1 - {\varphi}^2)X_1$\\ \h$\alpha(X_1,\cdots,X_r)(p) = \Sigma (\varphi a_i)(p)\cdot\alpha(\varphi \frac{\pa}{\pa x^i},X_2,\cdots,X_r)(p) + (1-{\varphi}^2)(p)\cdot\alpha(X_1,\cdots,X_r)(p)$\\ \hhhh\hhhh\h =0 \h ($\because a_i(p)=0$ and $(1-{\varphi}^2)(p) =0$) \\ \end{document}