\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^m}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\cb}{\mathbb{C}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\rc}{\mathcal{R}} \newcommand{\hhhh}{\hspace{4em}} \newcommand{\hhh}{\hspace{3em}} \newcommand{\hh}{\hspace{2em}} \newcommand{\h}{\hspace{1em}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{deRham cohomology} 이번에는 우리가 배운 exterior differential operator $d$를 가지고 cohomology를 구성해 보겠다.\\ 먼저 $M^n$에 대하여 다음의 chain complex를 얻을 수 있다.\\ $0 \; \rightarrow \; \mathcal{E}^0 (M) \; \overset{d}{\rightarrow} \; \mathcal{E}^1 (M) \; \overset{d}{\rightarrow} \; \mathcal{E}^2 (M) \; \overset{d}{\rightarrow} \; \cdots \; \overset{d}{\rightarrow} \; \mathcal{E}^n (M) \; \rightarrow \; 0$\\ ( vector space들 $V_i$(더 일반적으로 module)의 sequence에서 $d^2 = 0$를 만족하는 vector space homomorphism $d: V_i \rightarrow V_{i+1}$이 존재하는 경우 chain complex라고 한다.)\\ 이경우 각각의 stage $\mathcal{E}^p$에서 $\mbox{im}\; d $와 $\mbox{ker} \;d$를 살펴보면 $d^2=0$의 조건 때문에 $\mbox{im}\; d \subset \mbox{ker}\; d$가 만족됨을 알 수 있다. $B_p := \mbox{im}\; d = \{\mbox{exact p - forms}\}$ 와 $Z_p := \mbox{ker}\; d =\{\mbox{closed p - forms}\}$로 표현하자. 이제 p-th deRham cohomology $H^p (M)$을 정의 할 수 있다.\\ $H^p (M) = Z_p / B_p$\\ 즉 deRham cohomology란 exact가 아닌 closed form들이 얼마나 많이 존재하는지를 측정(measure)하는 척도가 된다.\\ ex) closed form 이면서 exact form이 아닌 예\\ 먼저 $M = \rb^2 \setminus O$ 에서 각도 함수 $\theta$는 global하게 정의되지 못한다. (branch cut을 생각) 그러나 local하게는 항상 $\theta$가 잘 정의 되므로 이것을 이용해 $\alp = d \theta$ 를 생각하면 $d$ 가 local한 개념이므로 $\alp$는 잘(global하게)정의된다. 그런데 $\alp$는 마치 exact처럼 보이지만 $\theta$가 global하게 정의 되지 않기 때문에 $\alp$는 exact가 아니다. 반면에 $d \alp$를 생각하면 local하게 $d^2 \theta$가 되므로 $0$이 되고 따라서 $\alp$는 closed이다. $H^1(\rb^2 \setminus O) = <\alp>$\\ 이제 0번째 cohomology에 관해 생각해보면 ker 이 trivial이므로 $H^0 (M) = Z_0 (M)$ 이 되는데 $Z_0$의 원소란 다름아닌 locally constant function들이다. 그러므로 특별히 $M$이 connected인 경우라면 locally constant $\Rightarrow$ constant 이므로 $H^0(M) = \{ \mbox{constant functions on M} \}$이고 한편$\{ \mbox{constant functions on M} \} \cong \rb $이므로\\ $H^0(M) = \rb$를 얻는다.\\ 다음 정리는 매우 중요한데 우리의 수업에서는 일단 Fact로 받아들이고 증명은 생략한다.\\ \begin{thm} (de Rham Theorem) $H_{deRham}^p (M) \cong H_{sing}^p (M, \rb) $ (where $H_{sing}^p$ is the singular cohomology). \end{thm} 마지막으로 이렇게 정의한 $H^p$들은 manifold들의 category에서 group category로 가는 functor(정확하게는 contravariant functor)가 됨을 살펴보겠다.\\ 먼저 manifold사이의 map $\varphi : M \rightarrow N ; \ccn$에 대하여 $\varphi^* : \mathcal{E}(N) \rightarrow \mathcal{E}(M)$가 algebra homorphism이 되고 $\varphi^* \circ d = d \circ \varphi^*$이 성립하는 것은 이미 살펴보았다. 이것을 그대로 $H^p(N)$, $H^p(M)$사이의 map으로 확장할 수 있는데 그것은 다음의 사실 때문이다.\\ $\varphi^* Z_p (N) \subset Z_p (M)$ $\varphi^* B_p (N) \subset B_p (M)$\\ 즉 $\varphi^*$는 closedness와 exactness를 보존한다는 뜻이다. (이 사실에 대한 증명은 diagram chasing으로 바로 알 수 있다.)\\ $0 \; \rightarrow \; \mathcal{E}^0(M) \; \rightarrow \; \cdots \; \rightarrow \; \mathcal{E}^{i-1}(M) \; \rightarrow \; \mathcal{E}^i(M)\; \rightarrow \;\mathcal{E}^{i+1}(M)\; \rightarrow \; \cdots$\\ $\hhhh \uparrow^{\varphi^*}\hhhh \hhh \uparrow^{\varphi^*} \hhhh \uparrow^{\varphi^*} \hhhh \uparrow^{\varphi^*}$\\ $0 \; \rightarrow \; \mathcal{E}^0(N) \; \rightarrow \; \cdots \; \rightarrow \; \mathcal{E}^{i-1}(N) \; \rightarrow \; \mathcal{E}^i(N)\; \rightarrow \;\mathcal{E}^{i+1}(N)\; \rightarrow \; \cdots$\\ 그러므로 $\varphi^* : H^p (N) = Z_p (N) / B_p (N) \rightarrow Z_p(M) / B_p (M) = H^p (M)$을 정의 할 수 있다. (좀더 formal하게는 $\varphi$대신에 $H^p (\varphi)$ ) 그밖의 조건들(identity 를 identity로 보내는 것, composition을 보존하는 것 등)도 자명하게 성립하므로 $H^p$가 contravariant functor가 됨을 알 수 있다. \end{document}