\documentclass[11pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\we}{\wedge} \newcommand{\vts}{v_1\otimes\cdot\cdot\cdot\ot v_k} \newcommand{\vs}{V_{1}\times\cdot\cdot\cdot\times V_k} \newcommand{\ot}{\otimes} \newcommand{\pauo}{\frac{\partial}{\partial u_1}} \newcommand{\paui}{\frac{\partial}{\partial u_i}} \newcommand{\pauj}{\frac{\partial}{\partial u_j}} \newcommand{\wid}{\widetilde} \newcommand{\ml}{\mathcal{L}} \newcommand{\hs}{\hspace} \newcommand{\inv}{^{-1}} \newcommand{\vphi}{\varphi} \newcommand{\pax}{\frac{\partial}{\partial x}} \newcommand{\pay}{\frac{\partial}{\partial y}} \newcommand{\paz}{\frac{\partial}{\partial z}} \newcommand{\paxi}{\frac{\partial}{\partial x_i}} \newcommand{\payj}{\frac{\partial}{\partial y_j}} \newcommand{\paxj}{\frac{\partial}{\partial x_j}} \newcommand{\payi}{\frac{\partial}{\partial y_i}} \newcommand{\li}{[X,Y]} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\disi}{\displaystyle{\sum_{i=1}^n}} \newcommand{\disj}{\displaystyle{\sum_{j=1}^n}} \newcommand{\pa}{\partial} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\dc}{\mathcal{D}} \newcommand{\fc}{\mathcal{F}} \newcommand{\h}{\hspace{1em}} \newcommand{\hh}{\hspace{2em}} \newcommand{\hhh}{\hspace{3em}} \newcommand{\hhhh}{\hspace{4em}} \newcommand{\ccn}{\mathcal{C}^{\infty}} \newcommand{\sbb}{\mathbb{S}} \newcommand{\rb}{\mathbb{R}} \newcommand{\cb}{\mathbb{C}} \newcommand{\hb}{\mathbb{H}} \newcommand{\rc}{\mathcal{R}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newcommand{\pr}{(\,\,,\,\,)} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{ 3. Classical versions in $\rb^n$.} {\bf 1. dim $M$=1 and orientable.}\\ **그림 9-1**\\ Stokes 정리 $\int_Md\ome=\int_{\pa M}\ome$ 에서 $\ome$는 0-form 이므로 함수이다. 즉 $f:M\rightarrow\rb$ 로 표현하면 $\dis{\int_Mdf=\int_{\pa M}f}$ 가 된다. $\pa M$ 은 위 그림에서 두 점 $P,Q$가 되고 여기에 orientation을 생각해서 $\int_{\pa M}f=f(Q)-f(P)$로 정의한다. 실제로 $M$이 $\sigma:\rb\rightarrow\rb^3$으로 주어지는 경우 이를 확인할 수 있다. $\dis{\int_Mdf=\int_{[a,b]}\sigma^*(df)=\int_a^b\sigma^*(df)}$ $\dis{\hs{2.7em}=\int_a^bd(f\circ\sigma)=\int_a^b\frac{d}{dt} (f\circ\sigma)dt=(f\circ\sigma)(b)-(f\circ\sigma)(a)}$ $\hs{2.7em}=f(Q)-f(P)$\\ 이는 미적분학의 기본정리와도 같다.\\ {\bf 2. dim $M=2,M\subset\rb^2$ with standard orientation.}\\ **그림 9-2**\\ 여기서의 $\ome$는 $\rb^2$에서의 1-form이고 이를 $\ome:=Pdx+Qdy$로 쓸 수 있다. 직접 계산에 의해 $\dis{d\ome=(\frac{\pa Q}{\pa x}-\frac{\pa P}{\pa y})dx\we dy}$ 임을 알 수 있고 그러면 $\rb^2$에서의 Stokes 정리는 다음과 같이 표현되는데 이는 Green 정리와 같음을 알수 있다.\\ $\hs{8em}\dis{\int_M(Q_x-P_y)dxdy=\int_{\pa M}Pdx+Qdy}$\\ {\bf 3. dim $M=2,M\subset\rb^3$}.\\ **그림 9-3**\\ 먼저 $\rb^3$에 standard orientation으로 주고 $ M$의 orientation을 normal vector의 선택으로 주자.\\ $\ome$가 1-form일 경우 $\ome=Pdx+Qdy+Rdz$ 라 두면 직접 계산에 의해 $d\ome=(R_y-Q_z)dy\we dz-(P_z-R_x)dx\we dz+(Q_x-P_y)dx\we dy$ 이고 따라서 $\rb^3$에서는 다음과 같이 표현된다. $\dis{\int_M (R_y-Q_z)dy\we dz-(P_z-R_x)dx\we dz+(Q_x-P_y)dx\we dy=\int_{\pa M} Pdx+Qdy+Rdz}$.\\ 이것을 미적분학 책에서 보는 모양으로 더 바꾸려면 다음과 같이 하면 된다. $"d\sigma"$를 $M$상의 Riemannian volume form이라 두자. 다시 말해 한 점 $p\in M$에서 $(v_1,v_2)$를 $T_p M$의 positive orthonormal basis라 두고 $(\eps_1,\eps_2)$를 이것의 dual basis라 두었을 때 $"d\sigma":=\eps_1\we\eps_2$로 정의한다. 이 때 $\nu$의 정의는 positive orthonormal basis의 선택에 무관하다.({\bf Exercise}) 일반적으로 어떤 2-form $\eta=ady\we dz-bdx\we dz+cdx\we dy$가 주어지면 적당한 $f$에 대해 $\eta=f"d\sigma"$로 쓸 수 있고 vector field $G=(a,b,c)$라 두면 $$ f=\eta(v_1,v_2)=\left|\begin{array}{1} a\hs{1em}b\hs{1em}c \\ v_1\\v_2 \end{array} \right|=G\cdot(v_1\times v_2)=G\cdot N $$ 으로 표시할 수 있다. 여기서 $N=v_1\times v_2$은 $M$상의 orientation에 의해 결정된 unit normal vector field가 된다. 특히 이 식에서 $N=(a_1,a_2,a_3)$라 두면 $G$ 대신 $N$을 사용하여 $"d\sigma"=(N\cdot N)"d\sigma"=a_1dy\we dz-a_2dx\we dz+a_3dx\we dy$가 된다.\\ 이제 $\ome=Pdx+Qdy+Rdz$, vector field $F=(P,Q,R)$라 두면 $d\ome=(Q_x-P_y)dx\we dy-(P_z-R_x)dx\we dz+(R_y-Q_z)dy\we dz$ $\hs{1.2em}:=adx\we dy-bdx\we dz+cdy\we dz$ 라 두면 $\nabla\times F=(a,b,c)$가 되므로 위에서 $d\ome=(\nabla\times F)\cdot N"d\sigma"$ 가 되고 $\dis{\int_Md\ome=\int_M(\nabla\times F)\cdot N"d\sigma"}$ 가 된다.\\ 한편 $\pa M$상에서 induced orientation 방향으로 unit tangent vector를 $T$라 두면 이것의 dual $"ds"$가 Riemannian orientation volume form이 되고 $\ome=g"ds"$라 두면 $g=\ome(T)=F\cdot T$가 되어 $\dis{\int_{\pa M}\ome=\int_{\pa M}(F\cdot T)"ds"}$ 가 된다. 따라서 Stokes 정리는 다음과 같이 표시할 수도 있다.\\ $\dis{\int_M\nabla\times F\cdot Nd\sigma=\int_{\pa M}F\cdot Tds}$.\\\\ {\bf 4. dim $M=3, M\subset\rb^3$}.\\ **그림 9-4**\\ $\ome$가 2-form일 경우 $\ome=ady\we dz-bdx\we dz+cdx\we dy$라 두면 $d\ome=(a_x+b_y+c_z)dx\we dy\we dz$ 가 된다. 이를 Stokes 정리에 대입하면 $\dis{\int_M(a_x+b_y+c_z)dx\we dy\we dz=\int_{\pa M}ady\we dz-bdx\we dz+cdx\we dy}$.\\ 위의 식을 vector notation으로 표시하자. 즉 $F=(a,b,c)$라 두면 앞에서 $\ome=F\cdot N"d\sigma"$가 되고 $d\ome= (div F)dx\we dy\we dz$가 되어 Stokes 정리는 다음과 같이 표현된다. $\dis{\int_M (div F)dx dy dz=\int_{\pa M}F\cdot N"d\sigma"}$\\ 이는 발산정리(Gauss 정리)임을 알 수 있다. \end{document}