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\newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}

\begin{document}
 \parindent=0cm
  \section*{Nowhere Differential function}

    이번장에서는 $[0, 1]$에서 $\mathbb{R}$로 가는 nowhere
    differentiable continuous function이 존재함을 알아보자.

    (실제로 이러한 함수들은 dense하게 존재한다. 즉, 이러한 함수들의
    집합은 함수공간의 dense subset이 되며 따라서 임의의 함수를 이러한
    함수들로 근사시킬수 있다.)

    $\mathcal{C}:=\mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$ with sup metric
    $d(f, g) = \displaystyle{\max_{x\in I} |f(x)-g(x)|}$

    $\Rightarrow$ $\mathcal{C}$는 complete metric space.

    $\Rightarrow$ $\mathcal{C}$는 Baire space.\\

    주어진 $\alp \gg 0$, $0 < h \ll 1$에 대하여 다음을 정의한다.

    $\displaystyle{\Del f(x, h)= \max(\left| \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right|, \left| \frac{f(x-h)-f(x)}{-h} \right|)}$

    and $$U(\alp, h)=\{f \in \mathcal{C} \mid \Del f(x, h) \geq \alp, \forall x\}$$

    *톱날 함수 $f$의 typical한 모습\\

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    %
    %
    %  그림
    %
    %
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

    $U_n = \bigcup\{U(\alp, h)\mid \alp >n , h < \frac 1 n \}$라고
    하자.\\
    
    그런데 $\displaystyle{f \in \bigcap_{n=1}^{\infty} U_n}$ 이면
    $f$는 nowhere differentiable function이 된다:\\

    $\because$ $\forall n$, $f \in U_n$

    $\Rightarrow$ $\forall n$, $\exists \alp_n > n$, $h_n < \frac 1
    n$ such that $f \in U(\alp_n, h_n)$

    $\Rightarrow$ $\forall n$, $\Del f(x, h_n) \geq \alp_n > n$, $\forall x \in I$

    $\Rightarrow$ $\forall x \in I$, $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0} \Del f(x, h)}$가 존재하지
    않는다.\\


    만일 $f$가 미분가능하다면  $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0} \Del f(x, h)}=|f^{\prime}(x)|$ 가 되어야 한다. 따라서 $f$가 어느점에서도 미분가능하지 않음을 알 수 있다.\\\\

    이제 $\displaystyle{\bigcap_{n=1}^{\infty} U_n}$가 dense함을 보이자.
    
    $\mathcal{C}$가 Baire라는 성질로부터 $U_n$이 open dense라는 것을 보이면 앞장의
    정리에의해 $\displaystyle{\bigcap_{n=1}^{\infty} U_n}$가 dense임을 알 수
    있다.
    
    {\bf Claim 1}. $U_n$ is open:\\

    \textbf{(증명)} $f \in U_n \Rightarrow f \in U(\alp, h)$ for some $\alp >
    n$, $h < \frac 1 n$.
    이제 적당한 $\epsilon$에 대해 $d(f, g)<\epsilon \Rightarrow g \in U_n$임을 보이자.

    $\mid \Del f(x,h) - \Del g(x,h)\mid \leq \left| \frac{f(x+h)-g(x+h)-(f(x)-g(x))}{h} \right|
    \leq \frac{2 \epsilon}{h}.$

    만일 $\epsilon = \frac{h(\alp - n)}{4}$으로 선택하면
    $\mid \Del f - \Del g \mid \leq \frac{\alp - n }{2}$되고

    $n < \alp - \frac{\alp - n}2 \leq \Del f - \frac{\alp - n}2
    \leq \Del g \leq \Del f + \frac{\alp -n}2$이 된다.\\

    {\bf Claim 2}. $U_n$ is dense:\\

    \textbf{(증명)} 주어진 $g \in \mathcal{C}$, $\epsilon > 0$에 대하여
    $d(f, g)<\epsilon$ 인 $f \in U_n$가 존재함을 보이자.     
    $diam (g([x_i, x_{i+1}])) < \frac \epsilon 2$을 만족하는
    $[0, 1]$의 partition이 존재한다.

    그러면 각 $[x_i, x_{i+1}] \times g[x_i, x_{i+1}]$
    부분을 $U_n$에 들어가는 적당한 톱날 함수들로 대체해서 연결해도 $U_n$에 들어간다. 이때 관찰 포인트는 톱날함수 $f$에서 한 작은 톱날의 경사선분의 기울기들 중 가장 작은 값을 $\alp$로, 또 이 선분을 빗변으로 가지는 직각삼각형의 밑변을 $1/2$ 보다 작은 $h$를 선택하면 $f \in U(\alp, h)$이 된다.    
\end{document}