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\newtheorem{thm}{정리}
\newtheorem{cor}[thm]{따름정리}
\newtheorem{lem}[thm]{보조정리}
\newtheorem{prop}[thm]{명제}
\newtheorem{cl}{Claim}

{\theorembodyfont{\rm}
\newtheorem{ex}{예}
\newtheorem{que}{질문}
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\newtheorem{defn}{정의}
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\newtheorem{note}{Note}
}
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\renewcommand{\therem}{}

\newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}
\newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}

\begin{document}
\section*{Orientation}
\begin{defn}
For each point p in a plane, there are two different choices of
rotations, namely clockwise and counter-clockwise. The choice of
one rotation is called an \textit{orientation at p}.

 (Or equivalently, choice of ordered basis $(e_1,e_2)$ at p, such
 that the rotation from $e_1$ to $e_2$ matches up the given
 orientation. In this case $(e_1,e_2)$ and $(b_1,b_2)$ give the
 same orientation iff det A $>$ 0 where $(e_1,e_2)A=(b_1,b_2)$.)
\end{defn}

이 basis를 이용한 방법은 보다 일반적인 차원에서 orientation을
정의할 수 있는 방법을 준다.

\begin{defn}
Let M be a surface (with or without boundary). Since M is locally
Euclidean(i.e., plane), each point of M has a two choices of
orientation. M is called \textit{orientable} if we can select a
"continuous"(i.e locally constant) choice of orientation at each
point.
\end{defn}
{\bf 예.} $\textbf{R}^2$ (or any open subset of $\textbf{R}^2$)
is orientable.\\\\
{\bf Surface의 $\,\,\,$orientation.}\\
1. $S^2$ : $\textbf{R}^3$ 자체는  orientable이므로 한
orientation(예컨데 우수계)를 고정시켜 놓자. 그러면 normal vector
N과 $S^2$의 orientation이 합하여 $\textbf{R}^3$의 orientation을
유일하게 결정할 수 있으므로 normal vector를 연속적으로 잡을 수
있으면 $S^2$의 orientation을 연속적으로 선택할 수 있다. 따라서
$\textbf{R}^3$에 embedded된 surface에 대해서는 orientable이냐
아니냐 하는 것은  normal vector를 연속적으로 선택할 수 있느냐
아니냐와 같다. $S^2$의 경우 normal vector를 일제히 바깥 방향으로
잡으면 연속이므로 orientble이다.\\
2. $T^2$ : 위와 마찬가지이므로 역시 orientable이다.\\
3. M\"{o}bius band : normal vector의 연속적인 선택이 불가능하므로
non-orientable. \\\
{\bf Exercise.} Continuous choice of orientation 은 각 coordinate
chart의 선택에 무관하다. (이 문제는 Annulus Thm 을 사용하면 본질적으로 다음을 증명하는 문제로 귀착한다. Let
$$
A = \{x /in \mathbb{R}^2 \,|\,1\leq||x||\leq2\}\textrm{ and } S_r=\{x\in\mathbb{R}^2\,|\,||x||=r\}.
$$
Suppose an orientation on each of $S_r$, $r=1,2$ is given. Then a homeomorphism of $A$ preserves or changes the orientations of both of $S_r$ simultaneously.)
 \\
{\bf Note.} \textit{Orientability is a topological invariant.}\\\\
{\bf Orientation through triangulation.}\\
{\bf 1.} Suppose M has a triangulation. Then M is orientable if
and only if the two "induced orientation" on each edge from two
neighboring triangles are opposite.

즉, 두 인접한 삼각형에서의 orientation이 공통 edge에서 상쇄되게
주어졌다면 이 두 삼각형에서의 orientation은 서로 같다. 다시말해
연속적으로 두 orientation이 연결된다는 것을 뜻한다. 따라서 모든
삼각형에 대하여 orientation을 주되 공통 edge에서 서로 상쇄될 수
있게 할 수 있다면 M은 orientatable하게 된다.\\

%
%    그림 들어갈 자리~
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$\hspace{-2em}\,\,\,\,$ {\bf 2}. Suppose M is obtained from
polygon identifying each pair of edges. The same idea applies.

즉 서로 identify되는 바깥 edge들에 대해서만 induced orientation이 cancel 되는지를 살펴보면 된다.\\
(그림참조)
\begin{prop} M is non orientable if and only if M contains a
M\"{o}bius band.
\end{prop}
\begin{proof} $\Leftarrow$) Clear. M의 triangulation과 각 삼각형에 orientation을 어떻게 주던지
M\"{o}bius band의 중심선을 따른 triangulation에서는 각 삼각형의
orientation이 공통 edge에서 서로 cancel되게 할 수
없다.\\$\Rightarrow$) Let $M = D / \sim$. ( D is a polygon.) We
extend an orientation at a point in D toward the boundary in a
unique way. 앞에서 한 것처럼 D의 boundary를 identify하는 정보에
따라 시계방향으로 예컨데 $\cdot\cdot\cdot a \cdot\cdot\cdot a'
\cdot\cdot\cdot$ 처럼 나열할 수 있다. 여기서 어떻게
identify하느냐에 따라 $a'=a^{\pm1}$이 된다. 만일 M이
non-orientable 하면 이들 나열에서 induced orientation이 서로
상쇄되지 않는 edge가 있어야 하므로 어떤 edge $a$ 에 대해
$\cdot\cdot\cdot a \cdot\cdot\cdot a \cdot\cdot\cdot$ 와 같이
되어야 하고 이 $a$를 두 변으로 하는 사각형을 도려내어 $a$를
identify 해 보면 M\"{o}bius band가 된다.
\end{proof}

\begin{cor} M is a closed(i.e.,compact without boundary)
surface.
\\$\Rightarrow$ M = $ T^2 \sharp T^2 \cdot\cdot\cdot \sharp T^2 $ if M is orientable, and

$\hspace{1em} = P^2 \sharp P^2 \cdot\cdot\cdot \sharp P^2 $ if M is non-orientable.
\end{cor}

\end{document}