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\newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}
\newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}

\begin{document}
 \parindent=0cm
  \section*{Product and topological group }

\begin{thm}
If X and Y are path connected, then $\pi_1(X \times Y,(x_0,y_0))
\cong \pi_1(X,x_0) \times \pi_1(Y,y_0)$.
\end{thm}
\begin{proof}
Define $\phi : \pi_1(X \times Y, (x_0,y_0))\rightarrow
\pi_1(X,x_0)\times \pi_1(Y,y_0)$ ,

$\hspace{10em}\{\alpha\}\hspace{3em}\mapsto \,\,\,\,(\{p_1 \circ
\alpha\},\{p_2 \circ \alpha\})$

where $p_1,p_2$ are projections to X and Y respectively.

일반적으로 두 homomorphism $\phi_1 : G\rightarrow H_1 ,\,\, \phi_2
: G \rightarrow H_2$ 에 대해 $\phi(g) = (\phi_1(g),\phi_2(g)) : G
\rightarrow H_1 \times H_2 $ 역시 homomorphism이 되므로 위에서의
$\phi$ 는 homomorphism이 된다. 이제 $\phi$의 역함수를 찾기 위해
아래와 같이 $\psi$를 정의하자.

 $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\psi : \pi_1(X,x_0)\times\pi_1(Y,y_0) \rightarrow \pi_1(X \times Y,(x_0,y_0))$

 $\hspace{5em}(\{\beta\},\{\gamma\})\,\,\hspace{2em}\mapsto \hspace{2em}\{\delta\}$

 $\hspace{2em}$,where $\delta(t)=(\beta(t),\gamma(t))$

 이 $\psi$는 $\phi$ 의 역함수가 되고 이제 $\psi$ 가 잘
 정의되었는지만 살펴보면 된다.

  F : $\beta \sim \beta'$ , G : $\gamma \sim \gamma'$ 일 때
 $H(t,s)=( F(t,s) , G(t,s))$ 로 주면 이는 $\delta$ 와 $\delta'$
 사이의 homotopy를 주므로 $\psi$ 가 잘 정의되었음을 알 수 있다.

\end{proof}

{\bf 예 3. Topological group}

\begin{thm}\textit{
 G : a path connected topological group with identity
 e\\$ \hspace{3em}\Rightarrow \pi_1(G,e)$ is abelian.}
\end{thm}

\begin{proof}
$\{\alpha\} , \{\beta\} \in \pi_1(G , e)$ 에 대해
$\{\alpha\}\{\beta\} = \{\beta\}\{\alpha\}$ 임을 보이기 위해

$\{\alpha\}\{\beta\}\{\alpha\}^{-1}\{\beta\}^{-1} = 1$ 임을
보이자.

$\{\alpha\}\{\beta\}\{\alpha\}^{-1}\{\beta\}^{-1}=\{\alpha*
\beta* \overline{\alpha}*\overline{\beta}\} \simeq 1$ 을 보이기
위해 $\alpha* \beta* \overline{\alpha}*\overline{\beta}$ 를
다음과 같이 보자.

**그림 1,2**


 그림 2에서 먼저 보면,

F : $I^2 \rightarrow G$ given by F(t,s)=$\alpha(t)\beta(s)$ 는
group G 안에 곱이 정의되므로 $I^2$상에서 연속함수로 잘 정의되고
$I^2$의 boundary는 사실상 $\alpha* \beta*
\overline{\alpha}*\overline{\beta}$를 준다.

즉 그림 1의 boundary에서 그림 2의 boundary로 e들을 한 점으로
보내는 연속함수가 있고, 이것은 앞 여러 곳에서 본 것같이 $I^2$의
내부로도 extend된다(예컨데 radial extension).

또 다르게 보는 방법은

$\{\alpha\}\{\beta\}\{\alpha\}^{-1}\{\beta\}^{-1} =
F_{\sharp}(\{\partial I^2\}) = F_{\sharp}(1) = 1.$

\end{proof}

{\bf Ecercise.} 위 증명의 마지막 과정에서 보다 일반적으로 다음을
이용해서 증명해도 된다.

 $\{\alpha\}\in \pi_1(X,x_0)$, $\alpha : S^1 = \partial D^2
\rightarrow X$  에 대해\\\textit{$\{\alpha\}=1$ if and only if
$\alpha$ can be extended to $D^2$}
\end{document}