\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Definitions and Examples} {\bf Assumption.} All the spaces in this chapter are path connected and locally path connected. \begin{defn}\textit{ Let p : $\widetilde{X} \rightarrow X$. $\widetilde{X}$ is a covering space of X with a covering map p if \\(1) p is onto and \\(2) each x $\in$X has a neighborhood U which is evenly covered, i.e., \\$p^{-1}(U)=\displaystyle {\coprod_{a \in A} V_{a}}$ is a disjoint union of open sets $V_{a}$ of $\widetilde{X}\,\,\,\,$such that \\$ \,\,p|_{V_a} : V_a \rightarrow U$ is a homeomorphism , $\forall \,\, a \in A$.}\\ \end{defn} 따라서 임의의 $x\in X$에 대해 $p^{-1}(x)$ 는 discrete하다.\\ {\bf Examples.} 1 . $ id : X \hspace{1em} \rightarrow \hspace{1em}X$. 2 . $ p : \,\,\textbf{R} \hspace{1em}\rightarrow \hspace{1em}S^1 (\subset \textbf{C})\,\,\,\,\,\,$ given by $\,\,\,\,\,\,p(x) = e^{2 \pi ix}$. 3 . $ p : S^1 \hspace{1em}\rightarrow \hspace{1em}S^1\,\,\,\,\,\,$ given by $\,\,\,\,\,\,p(z) = z^n$. 위와 같이 $p^{-1}$의 image가 n 개인 경우를 n-sheeted covering 혹은 n-fold covering 이라고 부른다. 4 . $p : S^n\hspace{1em}\rightarrow \hspace{1em} P^n = S^n/ \sim$. 이 경우 quotient map $p$는 covering map이 되고 특히 two fold covering(double covering) 이 된다. 5 . $ p : \textbf{R}^2\hspace{1em} \rightarrow \hspace{1em}T^2=S^1 \times S^1\,\,\,\,\,\,$ given by $\,\,\,\,\,\,(x,y) \mapsto (e^{2 \pi ix},e^{2 \pi iy})$.\\ {\bf Excercise.} If $p:\widetilde{X}\rightarrow X$ , $q : \widetilde{Y} \rightarrow Y$ are covering maps, then \\$p \times q : \widetilde{X}\times \widetilde{Y} \rightarrow X \times Y$ is also a covering map. (예 2번과 5번에서 볼 수 있다)\\ 6 . non-covering \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=0.3,clip=true]{graph1.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 1\\ $p$는 local homeomorphism 은 되지만 covering map은 될 수 없다.(왜 그런가?)\\ 7 . (figure eight, torus 등의 n-fold covering.)\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=0.6,clip=true]{graph2.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 2\\ 8 . M\"{o}bius band 의 double covering 은 annulus 가 되고 3-fold covering은 다시 M\"{o}bius band 가 된다. 같은 방법으로 Klien bottle의 double covering은 torus가 된다. 일반적으로 다음을 증명하라.\\ {\bf Note.} \textit{1 . M is a manifold $\Rightarrow$ $\widetilde{M}$ is also a manifold.} (증명) 각 $x\in \widetilde{M}$에 대해 $p(x)\in M$ 가 coordinate chart (U,$\varphi$) 를 가지고, 또한 $p(x)$ 는 evenly cover 되는 neighborhood V 를 가진다. 이 때 U$\cap$V 에 대해 $p^{-1}(U \cap V)$를 생각해 보면, 이 중 $x$를 포함하는 $U\cap V$의 copy가 있고 이 copy와 $\varphi\circ p$가 $x$의 coordinate chart 를 준다.\\ {\bf Excercise.} If M is a $C^\infty$-manifold $\Rightarrow$ $\widetilde{M}$ is also a $C^\infty$-manifold .\\ \textit{2 . M is orientable $\Rightarrow$ $\widetilde{M}$ is also orientable.} (증명) 먼저 $\widetilde{M}$의 각 점 $x$에 orientation을 주자. $\widetilde{M}$의 orientation 은 local homeomorphism $p$ 를 이용하여 $p(x)$의 orientaion을 그대로 가져다 쓴다. 그러면 각 $x\in \widetilde{M}$에 대해 orientation이 locally constant가 되는 $p(x)$의 근방 U를 잡을 수 있고, 또한 $p(x)$에서 evenly cover 되는 V를 잡을 수 있다. 이 때 $p^{-1}(U\cap V)=\displaystyle{\coprod_{a \in A}} W_{a}$ 중 $x$를 포함하는 $W_{a}$에서 orientation은 $p$에 의해 $U\cap V$의 orientation과 같으므로 locally constant이다.\\ {\bf 숙제 7.}\\ \textit{Every non-orientable manifold has an orientable double covering manifold.}\\ \textit{3 . M is a compact manifold, p is a finite covering $\Rightarrow$ $\widetilde{M}$ is compact.}\\ \textit{4} . M이 orientable이고 genus 를 g개 가진 경우, 이에 따른 $\widetilde{M}$를 살펴보자. 위의 내용에 따라 $\widetilde{M}$는 역시 orientable이므로 $\chi$만 알면 $\widetilde{M}$를 결정할 수 있다. 그런데 $\widetilde{M}$가 n-fold 라면 M의 triangulation을 $\widetilde{M}$ 위로 올리면 V,E,F 모두 n배가 되므로 $\chi$ 역시 n배가 된다. 비슷한 방법으로 $M$이 non-orientable 일 때는 $\widetilde{M}$의 orientability에 의해 $\widetilde{M}$을 결정할 수 있다.\\ \end{document}