\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Fundamental group of $S^1$} \begin{thm} \textit{$\pi_1(S^1)\cong \textbf{Z}$.} \end{thm} \begin{proof} Let $p : \textbf{R}\rightarrow S^1$ be a covering map given by $p(x)=e^{2\pi ix}$. \\If $\alp\in \Omega(S^1,1)$, then $\alp$ can be lifted uniquely to $\widetilde{\alp}:I\rightarrow \textbf{R}$ with $\widetilde{\alp}(0)=0$.\\Define $\phi:\Omega(S^1,1)\rightarrow\textbf{Z}\,\,$ by $\,\,\alp \mapsto \widetilde{\alp}(1)$. Now note that $\,\,\phi\,\,$ induces\\ "$\phi$"\,\,:\,\,$\pi_1(S^1,1)\rightarrow\textbf{Z}$ by 따름정리 3. 이 $\phi$가 isomorphism임을 보이기 위해 먼저 homomorphism임을 보이자. $\phi(\{\alp\}\{\beta\})=\phi(\{\alp*\beta\})=\widetilde{\alp*\beta}(1)$이고 이것이 $\widetilde{\alp}(1)+\widetilde{\beta}(1)$임을 보이기 위해 $\tau$를 다음과 같이 정의하자. \\$\tau : \textbf{R}\rightarrow \textbf{R}$ be a translation given by $\tau(x)=x+\widetilde{\alp}(1).$ 이 때, $\widetilde{\alp*\beta}=\widetilde{\alp}*(\tau\circ \widetilde{\beta})$이 성립한다. 먼저 $\widetilde{\alp}*(\tau\circ \widetilde{\beta})$는 잘 정의되었는지 즉 $\widetilde{\alp}(1)=(\tau\circ \widetilde{\beta})(0)$ 인지 살펴보자. $\widetilde{\alp}$와 $\widetilde{\bet}$는 둘 다 0에서 출발하는 path이고 $\tau$는 $\widetilde{\alp(1)}$만큼 translation 시켜주는 map이므로, $\widetilde{\beta}(0)$는 $\tau$에 의해 $\widetilde{\alp}(1)$으로 옮겨지고 $\widetilde{\alp}*(\tau\circ \widetilde{\beta} )$는 잘 정의된다.\\다음으로 $\widetilde{\alp}*(\tau\circ \widetilde{\beta})$ 가 $\alp*\beta$의 lifting 임을 보이자. $p\circ (\widetilde{\alp}*(\tau \circ \widetilde{\beta}))=(p\circ \widetilde{\alp} )*(p\circ (\tau \circ \widetilde{\beta}))=(p\circ \widetilde{\alp} )*(p\circ \widetilde{\beta})=\alp*\beta$ 따라서 $\widetilde{\alp*\beta}=\widetilde{\alp}*(\tau\circ \widetilde{\beta})$가 만족하고 다음이 성립한다. $\widetilde{\alp*\beta}(1)=\widetilde{\alp}*(\tau\circ \widetilde{\beta})(1)=(\tau\circ \widetilde{\beta})(1)=\tau(\widetilde{\beta}(1))=\widetilde{\alp}(1)+\widetilde{\beta}(1)$.\\ 다음으로 $\phi$ 가 1-1 임을 보이자.\\ 만일 $\phi(\{\alp\})=0$ 이라면 $\widetilde{\alp}(1)=0$ 이 되어 $\widetilde{\alp}$ 는 0을 base point로 하는 loop가 된다. 즉 $\widetilde{\alp}\in \Omega(\textbf{R},0) \Rightarrow \{\widetilde{\alp}\}\in \pi_1(\textbf{R},0)=0$이므로\\$0=p_{\sharp}\{\widetilde{\alp}\}=\{p\circ \widetilde{\alp}\}=\{\alp\}\in \pi(S^1,1)$ . 즉 $\{\alp\}=0$이다. 마지막으로 $\phi$가 onto임을 보이기 위해 $\forall\,\,n \in \textbf{Z}$에 대해 $ \widetilde{\alp}(t)=nt\,\,$,$\,\,\alp=p\circ \widetilde{\alp}$ 로 잡으면, $\,\,\phi(\{\alp\})=\widetilde{\alp}(1)=n$ 이 된다. 따라서 $\phi$는 onto이다. \end{proof} \begin{prop} Let $f:S^1\rightarrow X$ . Then the followings are equivalent. 1 . f is homotopic to a constant map. 2 . $f_{\sharp}:\pi_1(S^1)\rightarrow\pi_1(X)$ is 0. 3 . f can be extended to a map $\,\,\overline{f} : D^2\rightarrow X$. (In this case f is said to be inessential.) \end{prop} \begin{proof} ($1\Rightarrow 3$) $F: S^1\times I\rightarrow X$ 가 $f$와 $c_{x_0}$사이의 homotopy라면 $F$는 $S^1\times I$를 $q : S^1 \times I \rightarrow D^2 / S^1 \times \{ 1 \}$로 quotient한 quotient space상에서의 map $\overline{F}$를 induce한다. $\hspace{8em}\hspace{9em}F$ $\hspace{6em}\hspace{3em} \hspace{3em}S^1\times I \hspace{2em}\rightarrow\hspace{2em} X$\\ $\hspace{12em}\,\,q\downarrow \hspace{4em}\nearrow \exists \overline{F}$\\ $\hspace{10em}S^1\times I/S^1 \times \{1\}$\\ 이 때 diagram의 아랫쪽에 있는 $S^1\times I/(S^1\times \{1\})$이 $D^2$ 와 homeomorphism 임을 보이기 위해 다음과 같이 $\pi$를 정의하자. $\,\,\,\,\,\,\,\pi : S^1\times I \rightarrow D^2 $ , $\pi(x,t)=(1-t)x$ 그러면 다음 diagram 을 그릴 수 있다. $\hspace{9em}\pi\hspace{8em}F$ $\hspace{5em}D^2\hspace{2em}\leftarrow \hspace{2em}S^1\times I \hspace{2em}\rightarrow\hspace{2em} X$\\ $\hspace{7em}\exists \overline{\pi}\nwarrow \hspace{2em}q\downarrow \hspace{4em}\nearrow \exists \overline{F}$\\ $\hspace{10em}S^1\times I/S^1 \times \{1\}$\\ 이 때, $\pi$ 에서 induced된 $\overline{\pi}$에 대해 $\overline{\pi}$ 는 1-1, onto를 만족한다. 그런데 $D^2$ 는 Hausdorff space이고, $S^1\times I/S^1 \times \{1\}$ 는 compact 이므로, $\overline{\pi}$는 homeomorphism 이 된다. 이제 $g=\overline{F}\circ \overline{\pi}^{-1} : D^2 \rightarrow X$ 를 생각해보면, 이는 $g|_{S^1}=f$를 만족하고, 따라서 $f$는 $D^2$로 extend 된다.\\ ($3\Rightarrow 2$)$\hspace{3em}f\hspace{18em}f_{\sharp}$ $\hspace{3em}S^1\hspace{2em} \rightarrow\hspace{2em}X\hspace{6em} \hspace{3em}\pi_1(S^1)\hspace{2em} \rightarrow\hspace{2em}\pi_1(X)$ $\hspace{4em}i\searrow\hspace{2.5em}\nearrow \exists \overline{f}\hspace{5em}\Rightarrow \hspace{1em} \hspace{4em}i_{\sharp}\searrow\hspace{2.5em}\nearrow \overline{f}_{\sharp} $ $\hspace{6em}D^2\hspace{10em} \hspace{6em}\pi_1(D^2)$\\ 위 diagram 에서 왼쪽 그림이 commute하고, funtorial property에 의해 오른쪽 그림도 commute한다. $\pi_1(D^2)=0$이므로 $f_{\sharp} = 0$이다.\\ ($2\Rightarrow 1$) $\pi_1(S^1)$의 원 $\{\alp\}$를 $\alp(t)=e^{2\pi it}$로 잡았을 때, 2에서 주어진 $f$에 의해 $f_{\sharp}=0$ 이므로 $f\circ \alp \sim c_{x_0} $ 가 된다.\\ $\hspace{4em}$**diagram**\\ $\overline{F}|_{S^1\times \{0\}}=f$ and $\overline{F}|_{S^1\times\{1\}}=x_0$. \end{proof} \end{document}