\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Applications} {\bf Fundamental theorem of algebra} : \textit{$f(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_1z+a_0=0$ has at least one zero.($z,a_i\in\mathbf{C}$)}\\ \begin{proof} 먼저 $|a_{n-1}|+|a_{n-2}|+\cdot\cdot\cdot+|a_0|<1$ 이라고 가정해도 좋다. 왜냐하면, $z=\lambda x(\lambda >0) $ 으로 놓고 $f(z)$ 를 $\lambda^n$으로 나누면 $x^n+\frac{a_{n-1}}{\lambda}x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+\frac{a_1}{\lambda^{n-1}}x+\frac{a_0}{\lambda^n}=0$ 이 되므로, $|\frac{a_{n-1}}{\lam}|+\cdot\cdot\cdot+|\frac{a_0}{\lam^n}|<1$ 을 만족하는 큰 $\lam$ 를 잡으면 된다.\\ 이제 $f(z)$가 근을 가지지 않는다고 가정하자. 그러면 $f:\textbf{C}\rightarrow\textbf{C}\setminus\{0\}$ 이고,\\$k(z)=z^n : S^1\rightarrow S^1$ 에 대해 $f|_{S^1} \simeq k : S^1(\subset\textbf{C})\rightarrow\textbf{C}\setminus \{0\}$ 임을 보이자. Define $F(z,t)=z^n+t(a_{n-1}z^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_0),\hspace{2em}0\leq t\leq 1$. 먼저 $F$가 $\mathbf{C}\setminus \{0\}$ 으로 가는지를 보이자. $0\leq t\leq 1 \,\,,\,\, |z|=1$ 이고 위에서 $|a_{n-1}|+|a_{n-2}|+\cdot\cdot\cdot+|a_0|<1$임을 가정하였으므로 $|F(z,t)|\geq|z|^n\,\,-\,\,t\,|\,\,a_{n-1}z^{n-1}+\cdot\cdot\cdot a_0\,\,|$ $\hspace{3.7em}\geq|z|^n\,\,-\,\,t(\,|a_{n-1}z^{n-1}|+\cdot\cdot\cdot+|a_0|\,)$ $\hspace{3.7em}=1-t(|a_{n-1}|+|a_{n-2}|+\cdot\cdot\cdot|a_0|)$ $\hspace{3.7em}>0 $ 이고, 이는 $f|_{S^1}$ 와 $k$ 간에 homotopy를 준다. \\ 이제 다음 diagram 을 살펴보면, $\hspace{2em}\hspace{2em}f\hspace{4.2em}p$ $S^1\hookrightarrow\textbf{C}\rightarrow \textbf{C}\setminus\{0\}\rightarrow S^1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ where $\,\,\,\,\,\,p:z\mapsto \frac{z}{|z|}$.\\ $S^1$에서 $\textbf{C}\setminus\{0\}$ 으로 가는 map $f|_{S^1}$와 $k$ 에 대해 $f|_{S^1} \simeq k$ 이고, $p\circ k=k$ 이므로 $p\circ f|_{S^1}=g$ 라고 놓았을 때 $g=p\circ f|_{S^1}\simeq p\circ k=k$ 이다. 따라서 $g_{\sharp}=k_{\sharp}:\pi_1(S^1)\rightarrow \pi_1(S^1)$ 인데, $f$는 $D^2$로 extend 되므로 $g$ 역시 마찬가지이다. 즉 $g_{\sharp}=0$ 인데 반해 $k_{\sharp}:\textbf{Z}\rightarrow\textbf{Z}$ 는 n배 해주는 homomorphism이어서 이는 모순이 된다. \end{proof} \begin{thm} \textit{(Existence of "가마")} Let $f:{D}^{2} \rightarrow \textbf{R}^{2}$ be a non-vanishing continuous vector field. Then $\exists$ a point of $S^1$ where f is directly inward, i.e., $f(x)\cdot x<0$.(Similarly $\exists$ a point of $S^1$ where f is directly outward, i.e., $f(x)\cdot x>0$) \end{thm} \begin{proof} inward point가 없다고 가정하자. 즉 $f(x)\cdot x\geq 0$, $\forall x\in S^1$ 이라고 할 때 Define $F(x,t):S^1\times I \rightarrow \textbf{R}^2\setminus\{0\}\,\,$ by $\,\,F(x,t)=tf(x) + (1-t)x$. (1) $F$ 가 잘 정의되었음을 보이자. 즉, F가 0이 되지 않음을 보이자. 만일 $tf(x)+(1-t)x=0$이라면,\\ $\,|\,tf(x)+(1-t)x|^2=t^2|f(x)|^2+2tx(1-t)f(x)+(t-1)^2|x|^2=0$ \\을 만족하고, 여기서 각 항이 모두 0보다 크거나 같으므로 모두 0이 되어야한다. $|x|=1$이므로 $t=1$이고, 따라서 $f(x)=0$ 이므로 이는 $f$가 non-vanishing 이라는데에 모순이다. 그리고 $F(x,0)=x, F(x,1)=f(x)$ 이므로 $F$는 $x$와 $f(x)$ 사이의 homotopy를 준다.\\ (2) $\hspace{6.5em}F\hspace{4.8em}p$ $\hspace{5em}S^1\times I\rightarrow \textbf{R}^2\setminus\{0\}\rightarrow S^1$\\ 이므로 $p\circ inclusion=id \simeq p\circ f : S^1\rightarrow S^1$ 이다. 하지만 $f$는 원래 $D^2$로 extension이 가능하므로 $p\circ f$ 역시 가능하고 따라서 $(p\circ f)_{\sharp}=0$ 이다. 즉 $id=0:\textbf{Z}\rightarrow \textbf{Z}$이므로 이는 모순이다. "outward point"의 경우에는 $f$대신 $-f$를 쓰면 된다. \end{proof} \begin{thm} $\nexists$ non-vanishing continuous vector field on $S^2$. \end{thm} \begin{proof} 먼저 nonvanishing vector field가 $S^2$위에 존재한다고 가정하자. $S^2$상의 북극 $N$에서의 vector $v$를 생각하면 연속이라는 조건에서 $v$와 거의 같은 vector를 가지는 $N$의 적당한 근방이 존재한다. 이제 $S^2$를 $\textbf{R}^2$로 stereographic projection을 한다. 그러면 $D^2$상의 nonvanishing vector field를 얻는데 이것을 자기자신의 길이로 나누어 얻어지는 unit vector field를 $f$라 두면 다음 그림에서 $f$는 $z$를 $z^2$ 으로 보내는 map과 homotopic함을 알 수 있고, 따라서 $f_{\sharp}$은 $\times 2$로 주어지는 map이다. 하지만 $f$는 $f|_{S^1}:S^1\rightarrow S^1$에서 $D^2$ 로 확장되므로 $f_{\sharp}=0$ 이고, 이는 모순이다.\\ **그림3** \end{proof} \end{document}