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\newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}
\newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}

\begin{document}
 \parindent=0cm
  \section*{$p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$}


\begin{thm}

Let $p: (\widetilde{X}, \widetilde{x_0}) \rightarrow (X,x_0)$ be a
covering.\\Then $p_\sharp : \pi_1(\widetilde{X}, \widetilde{x_0})
\rightarrow \pi_1(X,x_0)$ is a monomorphism.

\end{thm}

\begin{proof}

$p_\sharp\{\widetilde{\alp}\} = \{p \circ \widetilde{\alp}\} =
\{\alp\} = 1$이라고 가정하면 $\alp \sim x_0$를 만족하는 homotopy
$F$가 존재한다.($x_0$는 constant loop)

따름정리 3으로부터 $\widetilde{\alp} \sim \widetilde{x_0}$를
얻는다. 여기에서 $\widetilde{x_0}$는 constant loop이면서 동시에
$x_0$의 lifting이다.

$\therefore \{\widetilde{\alp}\}=\{\widetilde{x_0}\}=1$
\end{proof}\\

{\bf Remark.}

1. $p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})$ 를
$\pi_1(X,x_0)$ 의 subgroup으로 볼 수 있다.

2. $T^2$는 $S^2$의 covering이 될 수 없다 :

$\pi_1(T^2)=\mathbf{Z}\bigoplus \mathbf{Z}$이고 아직 보이지는
않았지만 $\pi_1(S^2)=0$ 임을 이용하면, $T^2$는 $S^2$의  covering이
될 수 없음을 알 수 있다.


\begin{thm}
Let $p:\widetilde{X}\rightarrow X$ be a covering with
$p(\widetilde{x_0})=p(\widetilde{x_0}')=x_0$. Then $
p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}_0)$ and
$p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0}')$ are conjugate
in $\pi_1(X,x_0)$, i.e., $\exists \{\tau\}\in \pi_1(X,x_0)$ such
that
$\{\tau\}p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})\{\tau\}^{-1}=p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0}')$

\end{thm}

\begin{proof}
먼저 $\widetilde{x_0}'$와 $\widetilde{x_0}$사이의 path $\sigma$를
잡은 후, 그것을 X로 내린 $\tau:\,\,=p\circ \sigma$를 생각해 보자.
 그리고 다음의  일반적인  diagram을 생각해 보면,

$\hspace{9.3em}\phi_{\rho}$

$\hspace{3em}\pi_1(X,x_0)\hspace{2em}\rightarrow\hspace{2em}\pi_1(X,x_1)$

$\hspace{4em}f_{\sharp}\downarrow\hspace{8.5em}\downarrow
f_{\sharp}\hspace{5em}$ key diagram ($*$)

$\hspace{2.3em}\pi_1(Y,f(x_0))\hspace{1.5em}\rightarrow\hspace{1.5em}\pi_1(Y,f(x_1))$

$\hspace{9.3em}\phi_{f \circ \rho}$

 위 diagram이  commute함을 보이자.

$\{\alp\} \in \pi_1(X,x_0)$에 대해
$f_{\sharp}(\phi_{\rho}(\{\alp\})=\phi_{f \circ \rho
}(f_{\sharp}(\{\alp\}))$ 임을 보여야 하는데

$f_{\sharp}(\phi_{\rho}(\{\alp\})=f_{\sharp}(\{\rho * \alp *
\overline{\rho}\})=\{f \circ (\rho * \alp *
\overline{\rho})\}=\{(f \circ \rho)*(f \circ \alp )*(f\circ
\overline{\rho})\}$

$\phi_{f \circ \rho }(f_{\sharp}(\{\alp\}))=\phi_{f\circ
\rho}\{f\circ \alp\}=\{(f \circ \rho)*(f \circ \alp
)*(\overline{f\circ \rho})\} $

이고, $f\circ \overline{\rho}=\overline{f\circ \rho} $ 이므로, 위
diagram은  commute한다.

따라서 이제 정리의  case에 맞는 다음 diagram 도 commute한다.

$\hspace{9.3em}\phi_{\sigma}$

$\hspace{3em}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})\hspace{2em}\rightarrow\hspace{2em}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0}')$

$\hspace{4em}p_{\sharp}\downarrow\hspace{8.5em}\downarrow
p_{\sharp}\hspace{5em}$  diagram ($*$)'

$\hspace{3em}\pi_1(X,x_0)\hspace{2em}\rightarrow\hspace{2em}\pi_1(X,x_0)$

$\hspace{9.3em}\phi_{\tau}$

따라서 위 정리가 증명되었다.

\end{proof}\\

{\bf Remark.}

1 .\textit{ If
$\,\,\,p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})$ is a
normal subgroup of $\,\,\,\,\pi_1(X,x_0)\,\,$, then\\
$p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})=p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0}')$
for all $\widetilde{x_0}' \in p^{-1}(x_0)$.}

즉, normality는 $\widetilde{X}$ 의  base point 의 선택에
무관하다. 또한 위  diagram $(*)'$에서 $X$ 의 base point $x_0$의
선택에도 무관하다. 이 경우 $p:\widetilde{X}\rightarrow X$ 를
\textit{regular} covering (or \textit{normal} covering) 이라고
부른다.

2 . 위 정리로부터 \textit{The conjugacy class of a subgroup
$\,\,p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})$는
$\,\{p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0}')\,\,\,|\,\,\,\widetilde{x_0}'
\in p^{-1}(x_0)\}$와 같다.}\\


  \end{document}