\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{$\pi_1$-action on $p^{-1}(x)$} Let G be a group acting on a set X on the left, i.e., \\$\exists\,\,\alp : G \times X \rightarrow X $ such that (1) $(g\cdot h)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)$, (2) $ e\cdot x= x$, \\where $e$ is an identity in G.\\ {\bf Note.} $\alp$ induces a homomorphism : $G\rightarrow Perm(X)$. Orbit of $x=G(x)=G\cdot x=\{g\cdot x\,\,|\,\,g \in G\}$ ,\\ Isotropy subgroup at $x=G_x=\{g\in G\,\,|\,\,gx=x\}$ 에 대해 다음이 성립한다. \textit{$\exists$ a bijection $\phi:G/G_x\rightarrow G\cdot x $} : (증명)Define $\psi:G\rightarrow G\cdot x $ by $g\mapsto gx$. 이 때, $\psi^{-1}(g\cdot x)=gG_x$임을 보이자. 만일 $h\cdot x=g\cdot x$라면, $\Leftrightarrow (g^{-1}h)x=x$ $\Leftrightarrow g^{-1}h\in G_x$ $\Leftrightarrow h\in gG_x$ . 따라서 $\psi$는 bijection $\phi:G/G_x \rightarrow G\cdot x$ 를 준다. If the action is \textit{transitive}, i.e., $G\cdot x=X$ for some $x\in X$, then $G/G_x \simeq X$.\\(이 때 X를 homogeneous하다 라고 한다.)\\ {\bf Note.} $G_{gx}=gG_xg^{-1}$.\\ $p^{-1}(x_0)$상에 다음과 같이 $\pi_1(X,x_0)$ action을 right action으로 정의하자. \textit{$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\widetilde{x_0}\cdot \{\alp\}:=\widetilde{\alp}_{\widetilde{x_0}}(1)$}. 즉, $p^{-1}(x_0)$ 위의 각 점에 대해 $\alp$의 $\widetilde{x_0}$에서 시작하는 lifting $\widetilde{\alp}_{\widetilde{x_0}}$ 의 끝점으로 값을 주면, 이는 action의 조건을 만족한다. 이를 보이기 위해 다음 두가지를 보이자. (1) $\widetilde{x_0}(\{\alp\}\{\beta\})=(\widetilde{x_0}\{\alp\})\{\beta\}$. (2) $\widetilde{x_0}\cdot 1= \widetilde{x_0}$. (증명)(1)은 당연하고, (2)는 constant loop를 lifting시키면 역시 constant loop로 가는 성질 때문에 성립한다. 따라서 right action이 되고, 이 때 다음 두가지가 성립한다. {\bf 1 . $\pi_1$-action is transitive.}: $X=p^{-1}(x_0)$에 대해 $\pi_1$-action 이 transitive임을 보여야 하므로, 임의의 $\widetilde{x_0}'\in p^{-1}(x_0)$ 에 대해 $\widetilde{x_0}\cdot \alp=\widetilde{x_0}'$를 만족하는 $\alp$가 있음을 보이면 된다. $\widetilde{X}$는 path connected이므로 $\widetilde{x}_0$에서 $\widetilde{x}_0'$으로 가는 path $\gamma$를 잡아 $X$로 내린 것을 $\alp$ 라 두자. 이를 다시 lifting시키면, 이는 $\widetilde{x}_0$에서 $\widetilde{x}_0'$으로 가는 path $\widetilde{\alp}=\gamma$가 된다.\\ {\bf 2 . Isotropy subgroup at $\widetilde{x_0}=p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})$}: (증명)($\subseteq$)\textit{Isotropy subgroup at $\widetilde{x_0}$}는 $\,\widetilde{x_0}\{\alp\}=\widetilde{x_0}\,$를 만족하는 $\,\{\alp\}$들이므로 $\,\widetilde{\alp}_{\widetilde{x_0}}(1)=\widetilde{x_0}\,$를 만족하고 따라서 $\,\widetilde{\alp}$는 loop가 된다. $\,\{\widetilde{\alp}\}\in \pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})\,$ 에서 양변에 $p_{\sharp}$ 을 취하면 $\{\alp\}=p_{\sharp}\{\widetilde{\alp}\}\in p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})$ 이 된다. ($\supseteq$) 역으로 $\{\beta\}\in p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})$를 잡자. 그러면 어떤 $\{\beta '\}\in \pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})$에 대해 $p_{\sharp}(\{\beta '\})=\{\beta\}$ 이다. 이 때, $\beta$의 lifting을 $\widetilde{\beta}$ 라 두면 $p_{\sharp}\{\widetilde{\beta}\}=\{p\circ \widetilde{\beta}\}=\{\beta\}=p_{\sharp}\{\beta '\}$. 따라서 $\beta=p\circ \widetilde{\beta}\sim p\circ \beta'$이므로 $\widetilde{\beta}\sim \beta '$ 이 되고, $\beta '$은 loop 이므로 $\widetilde{\beta}$도 loop가 된다. 따라서 $\widetilde{\beta}_{\widetilde{x_0}}(1)=\widetilde{x_0}$ 를 만족한다.\\ 위의 1,2 에 따라 다음 따름정리가 성립한다.\\ \begin{cor} $p^{-1}(x_0)$은 $p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})\setminus \pi_1(X,x_0)$ 와 1-1 correspondence 를 가진다. \end{cor} \begin{cor} The cardinality of $p^{-1}$(= $|p^{-1}(x)|$) is constant, $\forall\,\, x\in X$. \end{cor} \begin{proof} 두 개의 다른 $x_0,x_1 \in X$에 대해 $p^{-1}$의 cardinality가 같음을 보이자. 먼저 두 점의 lifting $\widetilde{x_0},\widetilde{x_1}$에 대해 그 두점을 잇는 path $\rho$ 가 존재하고, $\rho$를 내린 것을 $p\circ \rho$ 라 두자. 그러면 다음 diagram 이 commute하고 $\hspace{9.3em}\phi_{{\rho}}$ $\hspace{3em}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})\hspace{2em}\rightarrow\hspace{2em}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_1})$ $\hspace{4em}p_{\sharp}\downarrow\hspace{8.5em}\downarrow p_{\sharp}\hspace{5em}$ diagram ($*$)' $\hspace{3em}\pi_1(X,x_0)\hspace{2em}\rightarrow\hspace{2em}\pi_1(X,x_1)$ $\hspace{9.3em}\phi_{p\circ \rho}$ 따라서 $p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})\setminus \pi_1(X,x_0)$ 와 $p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_1})\setminus \pi_1(X,x_1)$은 isomorphism $\phi_{p\circ \rho}$ 에 의해 1-1 correspondence 를 가지는데, 따름정리 1에 의해 좌변은 $p^{-1}(x_0)$ 와 cardinality 가 같고 우변 역시 마찬가지로 $p^{-1}(x_1)$ 와 cardinality 가 같다. 따라서 $|p^{-1}(x_0)|=|p^{-1}(x_1)|$ 이 성립한다. \end{proof}\\ 특히 $|p^{-1}(x)|=n $ 인 경우, $p:\widetilde{X}\rightarrow X$ 를 n-sheeted(n-fold) covering 이라고 부른다.\\ \begin{defn}\textit{ (1) A path connected space X is simply connected if $\pi_1(X)=1$.} \textit{$\hspace{3.2em}$ (2)$\,p:\widetilde{X}\rightarrow X$ is called a universal covering if $\widetilde{X}$ is simply connected.} \end{defn} 위 정의와 따름정리 1 로부터 다음 내용을 알 수 있다. \begin{cor} If $\,\,p:\widetilde{X}\rightarrow X$ is a universal covering, then $|p^{-1}(x)|=|\pi_1(X,x)|$ \end{cor} \begin{cor} If $\,\,X$ is simply connected , then $p:\widetilde{X}\rightarrow X$ is a homeomorphism. \end{cor} \begin{proof} $\pi_1(X,{x})\,$이 trivial이므로 그의 subgroup 인 $\,p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})\,$ 역시 trivial하다. 따라서 $ \,|p^{-1}(x)|=|\pi_1(X,{x})|=1\,$ 이 되어 $p$ 는 1-1 이 된다. 원래 covering map $\,p$ 는 onto, continuous, open map이었으므로 $p$는 homeomorphism 이 된다. \end{proof} \end{document}