\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{General Lifting Theorem} \begin{thm} (General lifting theorem) \\ Let $p:(\widetilde{X},\widetilde{x_0})\rightarrow (X,x_0)$ be a covering and $Y$ be a path-connected and locally path-connected space. Let $f :(Y,y_0)\rightarrow (X,x_0)$. Then\\ $\exists \,\, \widetilde{f}:(Y,y_0)\rightarrow (\widetilde{X},\widetilde{x_0})\,\,\,$ : a lifting of f $\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,$ $f_{\sharp}\pi_1(Y,y_0)\subset p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})$.\\In this case $\widetilde{f}$is unique. \end{thm} $\hspace{6em}(\widetilde{X},\widetilde{x_0})$ $\hspace{2.3em}\exists \widetilde{f}\nearrow\hspace{3em}\downarrow p\hspace{4em}\Leftrightarrow\hspace{4em}$ $f_{\sharp}\pi_1(Y,y_0)\subseteq p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})$ $(Y,y_0)\hspace{1em}\rightarrow\hspace{1em}(X,x_0)$ $\hspace{4em}f$\\ \begin{proof} ($\Rightarrow$) $f=p\circ \widetilde{f}$ 이므로 $f_{\sharp}=p_{\sharp}\circ \widetilde{f}_{\sharp}$ 이고 $f_{\sharp}\pi_1(Y,y_0)=p_{\sharp}(\widetilde{f_{\sharp}}\pi_1(Y,y_0))\subseteq p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0}) $. ($\Leftarrow$) 임의의 $y\in Y$에 대해 $\widetilde{f}(y)$를 다음과 같이 정의하자. $y_0$와 $y$ 사이의 path $\rho$ 를 잡은 후 $f\circ \rho$의 $\widetilde{x_0}$에서 시작하는 lifting $\widetilde{f\circ \rho}$ 에 대해 $\widetilde{f}(y)=\widetilde{f\circ \rho}(1)$ 로 정의하면 이것이 바로 원하는 $\widetilde{f}$ 가 된다. 먼저 $\widetilde{f}$ 가 잘 정의되었는지를 보이자. 즉, $y_0$와 $y$사이의 path의 선택에 무관함을 보이기 위해, $\sigma$를 또다른 path로 두자. 그러면, $f\circ \rho * \overline{f\circ \sigma}$는 loop가 되고 가정에 의해 $\{f\circ \rho * \overline{f\circ \sigma}\}=f_{\sharp}\{\rho * \overline{\sigma}\}\in p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x_0})$ 이다. 따라서 $f\circ \rho * \overline{f\circ \sigma}$의 lifting은 loop이고, $\widetilde{f\circ \sigma}(1)=\widetilde{f\circ \rho}(1)$ 이 되므로 $\widetilde{f}$는 잘 정의되었음을 알 수 있다.\\ 다음으로 $\widetilde{f}$가 연속임을 보이자. $\widetilde{f}$가 연속임을 보이기 위해 $\forall y\in Y$ 에 대해 어떤 근방 $W_y$가 있어서 $\widetilde{f}|_{W_y}$가 연속이라는 것을 보이면 충분하다. $x=f(y)$에 대해 evenly cover되는 근방을 $U_x$라 두면 $f$가 연속이고 $Y$가 locally path connected이므로 $f(W_y)\subset U_x$를 만족하는 path connected $W_y$가 존재한다. 그러면 $\forall z \in W_y$ 는 $y$로부터 $W_y$안에서 path $\tau_z$로 연결할 수 있고, $\rho*\tau_z$는 $y_0$로부터 $z$까지의 path를 준다. 따라서 $\widetilde{f}(z)=\widetilde{f\circ (\rho *\tau_z)}(1)=\widetilde{f\circ \rho}*\widetilde{f\circ \tau_z}(1)=\widetilde{f\circ \tau_z}(1)$이 되고 이 때 $\widetilde{f\circ \tau_z}$는 $\widetilde{f}(y)$ 에서 시작하는 lifting이다. 즉 $W_y$안의 임의의 점 $z$를 $y_0$와의 path의 끝점으로 보고 이 path에서 $y$와 $z$를 잇는 부분을 $f$로 보낸 것은 $U_x$에 들어감을 이용해서 $U_x$에서의 $V_a$와의 homeomorphsim $p^{-1}$를 쓰자. $p^{-1}(U_x)=\displaystyle{\coprod_{a\in A}}V_a$ and $\widetilde{f}(y)\in V_a$ 이라고 두면 $V_{a}$에서 $p^{-1}$는 homeomorphism이므로 $\tau_z$를 이용해서 $\,\,\widetilde{f}|_{W_y}=p|_{V_a}^{-1}\circ f|_{W_y}$ 임을 알 수 있고, 또 $\,\,\,\widetilde{f}$는 path의 선택에 무관하다는 사실로부터 그렇게 될 수 밖에 없다. 따라서 $\widetilde{f}|_{W_y}$ 는 연속이다. 마지막으로 uniqueness 는 Y가 connected이므로 이전의 증명과 같다. \end{proof} {\bf Remark.} This is a generalization of \textit{Unique path lifting property} and \textit{Lifting of path homotopy theorem} and \textit{Covering homotopy property}.\\ 참고로 \textit{Unique path lifting property}는 $Y$가 $I$인 경우이고, \textit{Lifting of path homotopy theorem}는 $Y$가 $I\times I$ 인 경우이다. 그것을 더 일반화해서 $I\times I$를 $Y\times I$로 본 경우가 \textit{Covering homotopy property}이다.\\ \textit{Covering homotopy property :} covering $p:\widetilde{X}\rightarrow X$에 대해 $f:Y\rightarrow X$의 lifting $\widetilde{f}:Y\rightarrow \widetilde{X}$가 주어졌다고 하자. $f$가 $g:Y\rightarrow X$ 와 homotopy $F:Y\times I\rightarrow X(F|_{Y\times\{0\}}=f)$ 에 의해 homotopic하다고 할 때 이 homotopy $F$를 다음 $\widetilde{F}$ 로 lifting 시킬 수 있다. $\widetilde{F}:Y\times I\rightarrow \widetilde{X}\,\,$, $\,\,\,\,\widetilde{F}|_{Y\times \{0\}}=\widetilde{f}$.\\ {\bf 숙제 8. } \textit{$X=M^2$ with triangulation T$\,\,\Rightarrow$ T induces a triangulation $\widetilde{T}$ on $\widetilde{X}$.}\\ {\bf 숙제 9.} 일반적으로 closed surface 들의 n-fold covering을 classify하라. \end{document}