\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Morphisms of Covering Space} \begin{defn} \textit{ Let $p_i:\widetilde{X}_i\rightarrow X, i=1,2 $ be covering maps.\\A morphism of $\widetilde{X}_1$ to $\widetilde{X}_2$ is a map $\phi:\widetilde{X}_1\rightarrow \widetilde{X}_2$ such that the diagram } $\hspace{5.5em}\phi$ $\hspace{3em}\widetilde{X}_1\hspace{1em}\rightarrow \hspace{1em}\widetilde{X}_2$ $\hspace{3em}p_1\searrow \hspace{2em} \swarrow p_2 \hspace{5em}$ \textit{commutes.} $\hspace{5.5em}X$ \end{defn} 즉, 위 diagram 이 commute한다는 말은 fiber를 fiber로 보낸다는 뜻이 된다. 위와 같이 morphism을 정의했을 때 1-1,onto인 morphism 을 isomorphism이라고 하고, 특히 자기자신으로 가는 isomorphism을 deck transformation (or covering transformation) 이라고 한다. deck transformation의 예로 covering $p:\textbf{R}^1\rightarrow S^1$ 에서\\ $\tau:\textbf{R}\rightarrow \textbf{R} \,\,$,$\,\,\tau(x)=x+1$를 생각해 보자. $\hspace{5.5em}\tau$ $\hspace{3em}\textbf{R}\hspace{1em}\rightarrow \hspace{1em}\textbf{R}$ $\hspace{3em}p\searrow \hspace{1.5em} \swarrow p \hspace{5em}$ $\hspace{5.3em}S^1$ 그러면, $\tau$를 취하기 전의 $x$를 $p$로 보낸 것이나 $\tau$를 취한 후 $p$로 보낸 것이나 같음을 알 수 있다. 즉, $p\circ \tau=p$ 이므로 $\tau$는 deck transformation이 된다. 또 다른 예로 $p:S^n\rightarrow P^n$ 에서 각 $[x]$의 $p^{-1}$이미지인 $x,-x$ 를 바꾸는 map, 즉 antipodal map $A$를 생각해보자. 위와 마찬가지로 $ p(A(x))=p(-x)=p(x)$ 이므로 $A$도 deck transformation이 된다. \begin{thm} Let $p_i:\widetilde{X}_i\rightarrow X, i=1,2 $ be covering maps. Then (1) $\exists$ a morphism $\phi:(\widetilde{X}_1,\widetilde{x}_1)\rightarrow (\widetilde{X}_2,\widetilde{x}_2)\Leftrightarrow$ $p_{1\sharp}\pi_1(\widetilde{X}_1,\widetilde{x}_1)\subset p_{2\sharp}\pi_1(\widetilde{X}_2,\widetilde{x}_2)$. \\Such a morphism is unique if it exists. (2) A morphism $\phi$ is a covering map. \end{thm} \begin{proof}\\ (1)의 증명은 이전에 했던 general lifting theorem 에서와 같고, uniqueness 역시 이전에 했던 것과 마찬가지이다. (2)의 증명은 $\phi$가 onto이고 evenly cover되는 근방을 가진다는 것을 보이면 된다. 먼저 $\phi$가 onto임을 보이기 위해 임의의 $y\in \widetilde{X}_2$에 대해 $\widetilde{x}_2$에서 $y$ 로 가는 path $\rho$를 잡자. 이 $\rho$ 를 $p_2$ 에 의해 $X$로 내린 후 $\widetilde{X}_1$으로 lifting을 시킨 것을 $\widetilde{p_2\circ \rho}$라 두자.그러면 $\phi$가 morphism이라는 사실로부터 $\phi(\widetilde{p_2\circ \rho})$는 $\widetilde{X}_2$에서의 $p_2\circ \rho$ 의 lifting이 된다. 그런데, $\rho$ 역시 $\widetilde{X}_2$에서의 $p_2\circ \rho$ 의 lifting이므로 uniqueness에 의해 둘은 같다. 즉, $\phi(\widetilde{p_2\circ \rho})=\rho$ 이므로, 끝점도 같다. 따라서 $\phi$는 onto 이다. 다음으로, $\phi$가 evenly cover되는 근방을 가짐을 보이자. 임의의 $y \in \widetilde{X}_2$에 대해 $p_2(y)=z\in X$ 를 생각해보자. 이 $z$에서 covering $p_1$에 대해 evenly cover되는 $U_1$과 $p_2$에 대해 evenly cover되는 $U_2$가 존재한다. 이 둘의 교집합에 포함되는 path connected한 neighborhood를 $U$로 두자. 그러면 $p_1^{-1}(U)=\displaystyle{\coprod_{a\in p_1^{-1}(z)}}V_a$, $\,\,p_2^{-1}(U)=\displaystyle{\coprod_{b\in p_2^{-1}(z)}}W_b$ 로 둘 수 있다. 특히 $y$를 포함하는 $\widetilde{X_2}$에서의 copy를 $W_y$라 두자. 각 $V_a$에서는($a\in p_1^{-1}(z)$) $p_1$은 homeomorphism이고, 또 $U$와 $W_y$에서는 $p_2$가 homeomorphism 이므로 $\phi|_{V_a}=p_2|_{U}^{-1}\circ p_1|_{V_a}$ 이 되어야 한다. ($p_1|_{V_a}$의 lifting의 uniqueness에 의해)그러면 이 $W_y$는 다음에 의해 evenly covered 된다. $\displaystyle{\coprod_{a\in \phi^{-1}(y)}}V_a=\phi^{-1}(W_y)$. \end{proof} \begin{cor} Let $\,\,p:\widetilde{X}\rightarrow X$ be a universal covering and $p_1:\widetilde{X}_1\rightarrow X$ be a covering. Then $\exists$ a covering $\,\,\phi: \widetilde{X}\hspace{1em}\rightarrow \hspace{1em}\widetilde{X}_1\,\,\,\,$ such that $p_1\circ \phi = p$ $\hspace{14em}p\searrow \hspace{2em}\swarrow p_1$ $\hspace{16em}X$\\ \end{cor} 위 따름정리에 따르면, $X$의 universal covering $\widetilde{X}$ 가 있기만 하면 모든 다른 covering은 $\widetilde{X}$에 의해 covered 된다는 것을 알 수 있다.\\ {\bf 예.} 다음은 모두 universal covering 들이다. 1 . $p:\mathbf{R}\rightarrow S^1$. 2 . $p:S^n\rightarrow p^n\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,(n\geq 2)$. 3 . $p: \mathbf{R}^n\rightarrow T^n$.\\ \begin{thm}(Existence and Uniqueness.) Let $p_i:\widetilde{X}_i\rightarrow X, i=1,2 $ be covering maps. Then $\exists$ an isomorphism $\phi:(\widetilde{X}_1,\widetilde{x_1})\rightarrow(\widetilde{X}_2,\widetilde{x_2})$ $\Longleftrightarrow p_{1{\sharp}}\pi_1(\widetilde{X}_1,\widetilde{x_1})=p_{2{\sharp}}\pi_1(\widetilde{X}_2,\widetilde{x_2})$ \end{thm} \begin{proof} 앞 Section의 정리 1에서 한쪽방향을 보였으므로 양쪽에 대해 생각하면 된다. \end{proof}\\ 위 정리에서 base point 와 무관하게 다음 내용이 성립함을 알 수 있다. \begin{cor} $\hspace{4.5em}\exists \phi$ $\hspace{7em}\widetilde{X}_1\hspace{1em}\rightarrow\hspace{1em}\widetilde{X}_2\hspace{3em},\phi:isomorphism.$ $\hspace{7em}p_1\searrow\hspace{2em}\swarrow p_2$ $\hspace{9.5em}X$ $\Leftrightarrow$ For some $\,\,x=p_1(\widetilde{x}_1)=p_2(\widetilde{x}_2)$, $\,\,p_{1\sharp}\pi_1(\widetilde{X}_1,\widetilde{x}_1)$ and $p_{2\sharp}\pi_2(\widetilde{X}_2,\widetilde{x}_2)$ belong to the same conjugacy class in $\pi_1(X,x)$. \end{cor} \begin{proof} 이전의 Application부분에서 $p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}_0)$ 와 $p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}_0')$ 사이에는 conjugation 관계가 있음을 보였으므로 이로부터 보일 수 있다. \end{proof}\\ {\bf 숙제 10.} Massey, "Algebraic topology : An introduction", p. 161, exc 6.4,\\ {\bf 숙제 11.} Massey, "Algebraic topology : An introduction", p. 161, exc 6.5. \end{document}