\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Deck transformation} G를 covering $p:\widetilde{X}\rightarrow X$의 deck transformation group 이라고 두자. 이 때 다음 두 가지가 성립한다. {\bf 1. G acts on $\widetilde{X}$ on the \textit{left}}. $\,\,g:\widetilde{X}\rightarrow \widetilde{X}$ $\hspace{2em}x\mapsto g\cdot x=g(x)$ and $(g \circ f)(x)=g(f(x))$. {\bf 2. And the action is \textit{free}, i.e., $\forall g\neq 1\,\,$,$\,\,g(\widetilde{x})\neq \widetilde{x}\,\,$,$\,\forall \widetilde{x} \in X$ .} ( Or equivalently, $ G_{\widetilde{x}}=\{1\}\,\,$, $\,\,\forall \widetilde{x}\in X$.) \begin{proof} $\hspace{9em}g$ $\hspace{5em}(\widetilde{X},\widetilde{x})\hspace{0.5em}\rightarrow\hspace{0.5em}(\widetilde{X},\widetilde{x})$ $\hspace{6em}p \searrow \hspace{2em}\swarrow p$ $\hspace{8em}(X,x)$ 위 diagram 에서 $g$를 $p$의 lifting(즉 morphism)으로 볼 수 있고, $id$ map도 $\widetilde{x}$를 $\widetilde{x}$로 보내는 morphism이므로 \textit { Uniqueness of morphism(lifting)} 에 의해 $g=id$ 가 된다. \end{proof}\\ {\bf Note.}(\textit{Uniqueness}) 이 사실로부터 두개의 deck transformation $g$와 $h$ 가 한 point $x$에서 일치하면, $g$와 $h$는 map으로서 완전히 같아야 한다는 것을 알 수 있다.\\ G action on $\widetilde{X}$는 G action on $p^{-1}(x)$ 을 주고 이것 역시 free이다. 그런데 앞에서 생각했던 right action of $\pi_1(X,x)$ on $p^{-1}(x)$를 다시 보자. 그러면 \begin{prop} Two actions commute, i.e., $g(\widetilde{x}\cdot \{\alp\})=g(\widetilde{x})\cdot \{\alp\}\,\,\,\,\,$ for $\,\forall \,\,\widetilde{x}\,,\,\forall \,\,\{\alp\}\,,\,\forall\,\, g$. \end{prop} \begin{proof} *그림* $p\circ (g\circ \widetilde{\alp})=p\circ \widetilde{\alp}$ 이므로 $g\circ \widetilde{\alp}$는 $(g\circ \widetilde{\alp})(0)=g(\widetilde{x})$에서 $(g\circ \widetilde{\alp})(1)=g(\widetilde{x}\cdot\{\alp\})$로 가는 $\alp$의 lifting 이 된다. 그런데 $g(\widetilde{x})\cdot \{\alp\}=(g\circ \widetilde{\alp})(1)$ 이므로 $g(\widetilde{x}\cdot \{\alp\})=g(\widetilde{x})\cdot \{\alp\}$이 된다. \end{proof}\\ \begin{prop} Let $p:\widetilde{X}\rightarrow X$ be a covering and $\widetilde{x},\widetilde{x}'\in p^{-1}(x)$. Then $\,\,\exists g\in G$ such that $g(\widetilde{x})=\widetilde{x}'$ $ \,\,{\Leftrightarrow}\,\, p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})= p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}')$ $\,\,\Leftrightarrow$ $\widetilde{x}'=\widetilde{x}\cdot \{\alp\}$, $\{\alp\}\in N(p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}))$. 여기서 $\pi_1(X,x)$의 subgroup $H$에 대해, $N(H)$는 $H$의 normalizer이다. \end{prop} \begin{proof} 첫번째 equivalence는 앞에서 보인 적이 있고, 두번째 equivalence를 증명하자. ($\Rightarrow$) 일반적으로 $x$와 $x'$를 잇는 path 를 $\rho$라 할 때 $\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$ 와 $ \pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}') $ 사이에 isomorphism $\phi_{\rho}$ 가 존재한다. 이 $\rho$ 를 내리면 $\pi_1(X,x)$상에서 loop 가 되고 이 loop $p\circ \rho$를 $\alp$라 두자. 그러면 $\{\alp\}\in \pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$ with $\widetilde{x}'=\widetilde{x}\cdot \{\alp\}$ 에 대해 $\{\alp\}p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}')\{\alp\}^{-1}= p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$ 이다. 그런데 $ p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})= p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}')$ 이므로 $\{\alp\}p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})\{\alp\}^{-1}= p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$ 이 되어 $\{\alp\}\in N(p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}))$ 이 된다.\\ ($\Leftarrow$) $\{\alp\}\in N(p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}))$ 이면 $ p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}')= \{\alp\}^{-1}p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})\{\alp\}= p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$ 이므로 $p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})= p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}')$. \end{proof} 위 명제에서 다음 $\phi$ 를 생각해 보자. $\phi:N(p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}))\rightarrow G\,\,\,,\,\,\,\,\,\,g_{\alp}(\widetilde{x})=\widetilde{x}'=\widetilde{x}\cdot \{\alp\}$. $\hspace{4em}\{\alp\}\hspace{1.8em}\mapsto g_{\alp}$ {\bf 1. $\phi$ is a homomorphism. } (증명) $g_{\alp \beta}=g_{\alp}\circ g_{\beta}$ 를 보이자. $\pi_1$ action과 deck transformation group $G$ action이 commute 하므로 $g_{\alp}(\widetilde{x}\cdot \{\beta\})=g_{\alp}(\widetilde{x})\cdot \{\beta\}=(\widetilde{x}\cdot \{\alp\})\cdot\{\beta\}=\widetilde{x}\cdot (\{\alp\}\{\beta\})=g_{\alp \beta}(\widetilde{x})$. 따라서 앞 Note에서 언급한 deck transformation의 uniqueness에 의해 $g_{\alp \beta}=g_{\alp}\circ g_{\beta}$ 이다. {\bf 2. $\phi$ is onto.} (증명)임의의 주어진 $g\in G $에 대해 $\widetilde{x}'=g(\widetilde{x})$라 두자. 그리고 $\rho$를 $\widetilde{x}$에서 $\widetilde{x}'$ 로 가는 path라 두자. 그러면 loop $\alp=p\circ \rho$에 대해 명제 2에 의해 $\widetilde{x}'=x\cdot \{\alp\}$ ,$\{\alp\} \in N(p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})) $이 된다. {\bf 3. $ker\,\,\phi=p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$.} (증명)만일 $\phi(\{\alp\})=id$ 라면 $g_{\alp}=id$ 이고, $\widetilde{x}\cdot \{\alp\}=g_{\alp}(\widetilde{x}) =\widetilde{x} $ 이므로 $ \{\alp\} \in p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$이다. 역으로 $\{\alp\} \in p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$이면 $g_{\alp}(\widetilde{x})= \widetilde{x}\cdot \{\alp\} =\widetilde{x}$이고 uniqueness에 의해 $g_{\alp}=id$이다. \\ 위의 1,2,3 에 의해 다음 따름정리가 얻어진다. \begin{cor} $\displaystyle{G \cong N(p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}))\diagup p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})}$. \end{cor} HW. 위 ${\phi}$로 부터 induce된 isomorphism ${\theta}:N(p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}))\diagup p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})\rightarrow G$는 base point $\widetilde{x}$에 depend한다. base point가 달라질 때 어떻게 달라지는지 비교하라.\\ 특히 $p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$ 가 $\pi_1({X},{x})$ 의 normal subgroup인 경우, 다음이 성립한다. \begin{cor}Let $p:\widetilde{X}\rightarrow X$ be a regular covering. Then $G\cong \pi_1(X,x)\diagup p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$. 그리고 이것은 $p^{-1}(x)$와 1-1 correspondence 를 가진다. \end{cor} (증명) $\pi_1$-action 의 따름정리 1에서 1-1 correspondence 가 있음을 보였다. \begin{cor} Let $p:\widetilde{X}\rightarrow \widetilde{X}$ be a universal covering. Then $G \cong \pi_1(X,x)$. \end{cor} \begin{proof} $\widetilde{X}$가 simply connected 이므로 $\pi_1(\widetilde{X})=1$ 이 된다. 따라서 $ p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})=1$ 이 되고, 이는 당연히 $\pi_1(X,x)$의 normal subgroup이 되므로 $\displaystyle{G \cong N(p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}))\diagup p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})}$ $\hspace{1em}= \pi_1(X,x)\diagup p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$ $\hspace{1em}= \pi_1(X,x)$. \end{proof} \\ Q. $g_{\alp}$는 실제 어떠한 map인가?\\ \begin{cor} $p:\widetilde{X}\rightarrow X$ is a regular covering $\Leftrightarrow$ G action on $p^{-1}(x)$ is transitive. \end{cor} \begin{proof} ($\Rightarrow$)어떤 $\widetilde{x}$에 대해 $G\cdot \widetilde{x}=p^{-1}(x)$ 를 만족함을 보이면 된다. $p$가 regular covering이면 $N(p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}))=\pi_1(X,x)$이므로 임의의 $\widetilde{x}'\in p^{-1}(x)$에 대해 $\widetilde{x}$에서 $\widetilde{x}'$로 가는 path $\rho$를 잡아 $\alp=p\circ \rho$ 라 두면 명제 2의 두번째 equivalence에 의해 $g\cdot \widetilde{x}=\widetilde{x}'$ 를 만족하는 $g\in G$ 가 존재한다. ($\Leftarrow$) G action on $p^{-1}(x)$ is transitive하므로 임의의 $\widetilde{x}$에 대해 $G\cdot \widetilde{x}=p^{-1}(x)$ 를 만족한다. 임의의 $\{\alp\}\in \pi_1(X,x)$에 대해 $\widetilde{x}'=\widetilde{x}\cdot \{\alp\}$라 두면 transitivity에 의해 $g(\widetilde{x})=\widetilde{x}'$를 만족하는 $g$가 존재한다. 따라서 명제 2의 두번째 equivalence에 의해 $\{\alp\}\in N(p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}))$ 이다. 다시 말해 $\pi_1(X,x)=N(p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x}))$이고 $p_{\sharp}\pi_1(\widetilde{X},\widetilde{x})$는 normal subgroup 이다. \end{proof} \\ HW. "Figure eight"의 regular covering과 non-regular covering을 construct하라. \end{document}