\documentclass[12pt ]{article}
\setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true
cm}

\usepackage{hangul}
\usepackage{amscd,amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb,theorem}
\usepackage{longtable}
\usepackage{xy}

\newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}}
\newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}}

\newcommand{\alp}{\alpha}
\newcommand{\bet}{\beta}
\newcommand{\gam}{\gamma}
\newcommand{\del}{\delta}
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\vep}{\varepsilon}
\newcommand{\lam}{\lambda}
\newcommand{\kap}{\kappa}
\newcommand{\sig}{\sigma}
\newcommand{\ome}{\omega}
\newcommand{\Gam}{\Gamma}
\newcommand{\Ome}{\Omega}
\newcommand{\Sig}{\Sigma}
\newcommand{\Del}{\Delta}
\newcommand{\Lam}{\Lambda}

\newcommand{\pD}{\partial D}
\newcommand{\wtA}{\widetilde{A}}
\newcommand{\wtX}{\widetilde{X}}
\newcommand{\tda}{\tilde{a}}
\newcommand{\imply}{\Longrightarrow}
\newcommand{\alpcl}{\{ \alpha \}}


\newtheorem{thm}{정리}
\newtheorem{cor}[thm]{따름정리}
\newtheorem{lem}[thm]{보조정리}
\newtheorem{prop}[thm]{명제}
\newtheorem{cl}{Claim}

{\theorembodyfont{\rm}
\newtheorem{ex}{예}
\newtheorem{que}{질문}
\newtheorem{notation}{Notation}[section]
\newtheorem{defn}{정의}
\newtheorem{rem}{주}
\newtheorem{note}{Note}
}
\renewcommand{\thenote}{}
\renewcommand{\therem}{}

\newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}
\newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}}

\begin{document}
 \parindent=0cm
  \section*{The Induced Covering Over a Subspace}

이 note 전체에 걸쳐, $p:\widetilde{X} \longrightarrow X$를 covering map이라 하고, $A$를 $X$의 subspace라 가정한다. 이 때, $\wtA$는 $p^{-1}(A)$의 한 path component를 나타낸다고 하자. 또한, $i: A \longrightarrow X$를 inclusion map으로 고정한다.

\begin{prop}
Let $A$ be a path-connected and locally path-connected subspace of $X$, and let $\wtA$ be a path-component of $p^{-1}(A)$. Then $p|_{\wtA} : \wtA \longrightarrow A$ is a covering map, and $p_{\sharp} \pi_1(\wtA, \tilde{a}) = i^{-1}_{\sharp}(p_{\sharp} \pi_1(\wtX, \tilde{a}))$.
\end{prop}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item {\bf 숙제} $p|_{\wtA} : \wtA \longrightarrow A$가 covering map이 됨을 증명하시오.

\item 우선, $p_{\sharp} \pi_1(\wtA, \tilde{a}) \subset i^{-1}_{\sharp}(p_{\sharp} \pi_1(\wtX, \tilde{a}))$임을 보이자. 다음 다이어그램
$$\begin{CD}
(\wtA, \tda)  @> i >>  (\wtX, \tda) \\
@V{p|}VV                    @VV{p}V \\
(A,a)  @>> i >                (X,a)
\end{CD} $$
이 commute하므로, functor를 모두 작용하여 보면, $i_{\sharp} p_{\sharp} \pi_1 (\wtA, \tda) = p_{\sharp} i_{\sharp} \pi_1(\wtA, \tda)$임을 알 수 있다. 그런데, $i_{\sharp} \pi_1(\wtA, \tda) \subset \pi_1(\wtX, \tda)$이므로,  $i_{\sharp} p_{\sharp} \pi_1 (\wtA, \tda) \subset p_{\sharp} \pi_1(\wtX, \tda)$이다. 그러므로, $p_{\sharp} \pi_1(\wtA, \tilde{a}) \subset i^{-1}_{\sharp}(p_{\sharp} \pi_1(\wtX, \tilde{a}))$를 얻는다.

\item 이번에는 반대 방향, 즉, $p_{\sharp} \pi_1(\wtA, \tilde{a}) \supset i^{-1}_{\sharp}(p_{\sharp} \pi_1(\wtX, \tilde{a}))$임을 보이자.
$\alpcl \in i^{-1}_{\sharp}(p_{\sharp} \pi_1(\wtX, \tilde{a}))$라 하자. 그러면 $i_{\sharp}\alpcl \in p_{\sharp}\pi_1(\wtX, \tda)$이고, 따라서, $i_{\sharp}\alpcl = p_{\sharp}\{ \tilde{\bet} \}$ for some $\{ \tilde{\bet} \} \in \pi_1(\wtX, \tda)$. 이 때, $i_{\sharp}\alpcl = \{ i \circ \alp \} = \{ \alp \}$ in $\pi_1(X,a)$이고, $p_{\sharp}\{ \tilde{\bet} \} = \{ p \circ \tilde{\bet} \} =: \{ \bet \}$이다. 그러므로 "$\alp \sim \bet$ " 이고, 따라서 $\tilde{\alp}(1) = \tilde{\bet}(1) = \tilde{a}$가 되어, $\{\tilde{\alp}\} \in \pi_1(\wtA, \tda)$임을 알 수 있다.
따라서 우리는 원하는 대로, $\{\alp\} = \{p\circ\tilde{\alp}\} = p_{\sharp}\{\tilde{\alp}\} \in p_{\sharp}\pi_1(\wtA, \tda)$를 얻는다.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{cor}
Let $p: \wtX \longrightarrow X$ be a universal covering, and let $A$ be a subspace of $X$. (As usual, $A$ is assumed to be path-connected and locally path-connected.) Let $\wtA$ be a path component of $p^{-1}(A)$. Then, $p_{\sharp} \pi_1(\wtA, \tda) = \ker i_{\sharp}$, and hence $p: \wtA \longrightarrow A$ is a universal covering if and only if $i_{\sharp}$ is injective.
\end{cor}

\begin{prop}
$p^{-1}(A) = \wtA$ if and only if $i_{\sharp} \pi_1(A,a)$ meets every coset of the subgroup $p_{\sharp}\pi_1(\wtX, \tda)$ in $\pi_1(X,a)$.
\end{prop}

\begin{proof}
우리의 첫 번째 주장은, $p^{-1}(A) = \wtA$일 필요충분조건이 $p^{-1}(a) = p|^{-1}_{\wtA}(a)$라는 것이다. 우선 $\Longrightarrow$ 방향은 자명하다. 반대 방향을 보이기 위하여, $x \in p^{-1}(A)$라 하자. 그러면 $p(x) \in A$이고, $p(x)$부터 $a$까지를 잇는 $A$-위의 path $\rho$를 하나 선택한다. 이를 lifting하여, $\tilde{\rho}(0) = x$인 path $\tilde{\rho}$를 얻으면, 그 끝점 $\tilde{\rho}(1)$은 $p^{-1}(a)$에 들어가고, $p^{-1}(a) = p|^{-1}_{\wtA}(a)$이므로, 결국 $\wtA$에 들어가게 된다. 따라서, $x$도 같은 path component에 있어야 하므로, $x \in \wtA$이다.

따라서, 우리는 $i: p|^{-1}_{\wtA}(a) \longrightarrow p^{-1}(a)$가 onto map임을 보이면 된다.

우선, 일반적으로 $(G,X)$가 group action이라 하자. 각 $x \in X$에 대하여, $ev_x : G \longrightarrow X$를 $ev_x(g)=g \cdot x$로 정의하자. 그러면 다음 다이어그램

$ \hspace{11em} ev_x$

$ \hspace{10em} G \longrightarrow G \cdot x $

$ \hspace{8em} can. \downarrow \hspace{1em} \nearrow \cong $

$ \hspace{10em} G/G_x$

이 commute하므로, 특별히 다음 두 diagram도 모두 commute한다.

$ \hspace{10em} ev                                                      \hspace{15em} ev    $

$ \hspace{6em} \pi_1(A,a) \longrightarrow p|_{\wtA}^{-1}(a)             \hspace{7em} \pi_1(X,a) \longrightarrow p^{-1}(a) $

$ \hspace{5em} can. \downarrow \hspace{3em} \nearrow \cong              \hspace{8em} can. \downarrow \hspace{3em} \nearrow \cong $

$ \hspace{6em} \pi_1(A)/p_{\sharp}\pi_1(\wtA)                           \hspace{8em} \pi_1(X)/p_{\sharp}\pi_1(\wtX)$

또한, 다음 다이어그램
$$\begin{CD}
\pi_1(\wtX,\tda)        @> p_{\sharp} >>   \pi_1(X,a)          \\
@A i_{\sharp} AA                  @A i_{\sharp} AA      \\
\pi_1(\wtA,\tda)        @> p_{\sharp} >>    \pi_1(A,a)
\end{CD}$$
이 commute하므로, $i_{\sharp} : \pi_1(A,a) \longrightarrow \pi_1(X,a)$가 induce하는 map $\bar{\i}_{\sharp} : \pi_1(A)/p_{\sharp}\pi_1(\wtA) \longrightarrow \pi_1(X)/p_{\sharp}\pi_1(\wtX)$에 대하여, 다음 다이어그램도 commute한다.
$$\begin{CD}
\pi_1(X,a)        @>can.>>   \pi_1(X)/p_{\sharp}\pi_1(\wtX)       \\
@A i_{\sharp} AA                  @A \bar{\i}_{\sharp} AA      \\
\pi_1(A,a)        @>can.>>   \pi_1(A)/p_{\sharp}\pi_1(\wtA)
\end{CD}$$

마지막으로, 다이어그램
$$\begin{CD}
\pi_1(X,a)        @>ev>>             p^{-1}(a)       \\
@A i_{\sharp} AA                      @A i AA      \\
\pi_1(A,a)        @>ev>>             p|^{-1}_{\wtA}(a)
\end{CD}$$
이 commute하는 것은 자명하다.

이상을 종합하면,
$$\begin{CD}
\pi_1(X)/p_{\sharp}\pi_1(\wtX)        @>\cong>>             p^{-1}(a)       \\
@A \bar{\i}_{\sharp} AA                                   @A i AA       \\
\pi_1(A)/p_{\sharp}\pi_1(\wtA)        @>\cong>>             p|^{-1}_{\wtA}(a)
\end{CD}$$
가 commute함을 얻어낼 수 있고, 따라서 $i$가 onto인 것과 $\bar{\i}_{\sharp}$이 onto인 것은 동치가 된다. 이것은 곧 $i_{\sharp} \pi_1(A,a)$가 $\pi_1(X,a)$안의 모든 $p_{\sharp}\pi_1(\wtX, \tda)$의 coset과 만난다는 것과 동치이다.
\end{proof}

\begin{cor}
If $p: \wtX \longrightarrow X$ is a universal covering, then
\begin{enumerate}
\item $p^{-1}(A)$ is path-connected if and only if $i_{\sharp}:\pi_1(A,a) \longrightarrow \pi_1(X,a)$ is onto.
\item $p : p^{-1}(A) \longrightarrow A$ is a universal covering if and only if $i_{\sharp}$ is an isomorphism. 
\end{enumerate}
\end{cor}


\end{document}