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\begin{document}
\parindent=0cm
\section*{V.2 Abstract Simplicial complex}


\begin{defn}
\textit{An (abstract) simplicial complex} consists of a set $V$ of
vertices and a collection $K$ of finite non-empty subsets of $V$
called simplices such that

1 . $v\in V \Rightarrow \{v\}\in K$,

2 . $\sigma \in K\,,\,\,\emptyset\neq\tau\subset \sigma
\,\,\Rightarrow \,\,\tau \in K$ .( 이 때 $\tau$를 $\sigma$의
face라고 하고, $\tau<\sigma$로 쓴다.)
\end{defn}

앞에서 정의했던 것과 마찬가지로 dimension, subcomplex,
p-skeleton을 정의하자.

$dim\,K:=sup\{dim\, \sigma \,|\,\sigma\in K\}$.

$L\subset K$ is a \textit{subcomplex}($L<K$) if $L$ is a
simplicial complex in its own right.

$K^p=p-skeleton$ of $K$= collection of all simplices of $ K$ of
dim$\leq\,p$

이때 $K^p$는 $K$의 subcomplex가 된다.\\

{\bf Examples.}

1 . 임의의 주어진 집합 A에 대해 $\mathcal{F}(A)$를 A의 모든
유한부분집합(공집합 제외)들의 집합이라고 두자. 그러면
$K=\mathcal{F}(A)$는 $V=A$로 하는 simplicial complex가 된다.\\

2 . 주어진 집합 X의 subset들의 collection $\mathcal{U}$에 대해,
the $nerve$ of $\mathcal{U}$, $K(\mathcal{U})$를 다음과 같이
정의하자. $K(\mathcal{U})$의 simplex들을 non-empty intersection을
가지는 $\mathcal{U}$의 finite non-empty subsets라 하자. 그러면
$K(\mathcal{U})$는 simplicial complex가 된다.\\

3 . K, L이 simplicial complex 일 때 $K$와 $L$의 join$K*L$을 다음과
같이 정의하자.

$K*L=K\coprod L \coprod \{\sigma \coprod \tau \,\,|\,\, \sigma \in
K, \tau \in L \}$.

이것 역시 simplicial complex가 된다. 예를 들어 두 1-dim simplex
$K,L$ 을 join하면 3차원짜리 사면체가 나오게 되고, $K=\{point\}$ 인
경우 2차원 삼각형 L과 join하면 속이 찬 사면체가 나오게
된다. ($K$가 한 점일 때 $K$와 $L$의 join을 $L$상의 cone이라고 한다.)\\

$\sigma^n *\sigma^m=\sigma^{n+m+1} \\
(\because \sigma^n$과 $\sigma^m$의 vertices를 각각 $
\{a_1,\cdots,a_{n+1}\},\{b_1,\cdots,b_{m+1}\} $이라 두면\\
$\sigma^n *\sigma^m$의 vertices는 $\{a_1,\cdots,a_{n+1},b_1,\cdots,b_{m+1}\}$이 된다 . 그리고
이때 simplicial complex structure는 power set이 된다.)\\

Check $S^n*S^m=S^{n+m+1}$.\\

이제 abstract simplicial complex의 underlying space를 정의하자.\\


$K$를 simplicial complex, $\sigma=\{v_0,\cdot\cdot\cdot,v_n\} \in
K$라고 하자. 이 때, 다음과 같이 $|K|$를 정의한다.

Let $|\,\sigma|=\{\displaystyle{\sum_{i=0}^n
t_iv_i\,\,|\,\,\sum_{i=0}^n }t_i=1,\,\,t_i\geq 0\}$ and,
$|K|=\displaystyle{\bigcup_{\sigma \in K}}|\,\sigma|$

with obvious identification $1\cdot v=v$ and $\,0\cdot v=0$.

이를 formal하게 쓰면,

$|K|=\{x:V\rightarrow [0,1]\,\,|\,\,\{v\in K\,\,|\,\,x(v)\neq
0\}\in K,\displaystyle{\sum_{v\in K}}x(v)=1 \}$ and

$|\,\sigma|=\{x\in |K|\,\,|\,\,x(v)=0 \,\,if\,\, v\notin
\sigma\}$.

$x(v)=t_v(x)$로 정의된 $t_v:|K|\rightarrow [0,1]\,\,$ 를 $x$의
$v$번째 barycentric coordinate이라고 한다. 만일 모든 $v$에 대해
$t_v(x)=t_v(y)$ 이면 $x=y$ 이다.\\

이제 $|K|$에 topology를 주자.

topology of $|\,\sigma|$ : $x,y \in \sigma$, $x=\sum
t_iv_i\,,\,\,\, y=\sum s_iv_i$ 에 대해

$d(x,y):=\sqrt{\sum{(t_i-s_i)^2}}$ 로 주면

$|\,\sigma|\cong \,\,standard \,\,simplex
<e_0,\cdot\cdot\cdot,e_n>\subset \mathbb{R}^{n+1}$.(isometric
하다.)

$\hspace{1.7em}\cong \,\,any\,\, affine\,\, simplex
\,\,<a_0,\cdot\cdot\cdot ,a_n>\subset \mathbb{R}^{N} $ with the
subspace topology.

( 이 affine simplex $<a_0,\cdot\cdot\cdot ,a_n>$를 a geometric
realization of $|\,\sigma|$라고 한다.)

topology of $|K|$를 weak topology generated by $\{|\,\sigma|
\,\,|\,\,\sigma\in K\}$로 정의한다.

Note that $| \sigma |\cap|\tau|$ is clearly closed in $|\sigma|$
and in $|\tau|$.

\begin{thm}
$f:|K|\rightarrow X$ is continuous $\Leftrightarrow$
$f|_{|\,\sigma|}$ is continuous $\,\forall \,\,|\,\sigma|\in K$.
\end{thm}

\begin{proof}
$\Rightarrow$ 는 당연하고 $\Leftarrow$ 를 보이자.

$X$에서 closed인 $C$에 대해 $f^{-1}(C)$가 closed in $|K|$임을
보이면 된다. 그런데 임의의 $|\,\sigma|$에 대해 $f^{-1}(C)\cap
|\,\sigma|=f|_{|\,\sigma|}^{-1}(C)$ 이고 이는 $|\,\sigma|$ 에서
closed 이므로 따라서 $f^{-1}(C)$는 $|K|$에서 closed이다.
\end{proof}\\

\begin{cor}
$\hspace{1em}$

(1) $t_v:|K|\rightarrow [0,1]$ is continuous.

(2) $|K|$ is a Hausdorff space.

(3) $A\subset |K|$ is compact $\Leftrightarrow$ $A$ is closed
subset of $|L|$ for some finite subcomplex $L$ of $K$. In
particular, $|K|$ is compact if and only if K is a finite
simplicial complex.

\end{cor}

\begin{proof}
(1)은 각 simplex 상에서 coordinate function $t_v$는 연속이므로
따라서 $|K|$에서도 연속이다.

(2)는 만일 $x\neq y $ in $|K|$ 이라면 $t_v(x)\neq t_v(y)$ 를
만족하는 $v$가 존재하므로 따라서 (1)에 의해 $ x,y$를 separate 시킬
수 있다.

(3)에서 $\Leftarrow$를 보이자. $|L|=\displaystyle{\bigcup_{\sigma
\in L}}\sigma$이고 각 $\sigma$는 compact이다. $L$ 이 finite 이면
$|L|$은 compact set들의 finite union이므로 $|L|$ 역시 compact
이다. 따라서 $L$의 closed subset $A$ 역시 compact이다.

$\Rightarrow$를 보이기 위해 compact인 $A\subset |K|$ 와 $\forall
\, \sigma \in K$ 에 대해 $A\cap \overset{\circ}{\sigma}$ 를
생각하자. $A\cap \overset{\circ}{\sigma}$가 non-empty인
$\sigma$마다 $A\cap \overset{\circ}{\sigma}$ 에 속하는 원소를
하나씩 뽑아 $x_{\sigma}$라 두고 이들을 모은 것을 $A'$라 두자. 이
때 $|K|=\displaystyle{\coprod_{\sigma\in
K}}\overset{\circ}{\sigma}$이므로 $A'$이 finite임을 보이면
충분하다. $A'\subset A$ 이고 $A'$의 모든 subset B는 closed가
되므로 ($B\cap \sigma $가 finite set이므로 $\sigma$의 closed
subset이 되고 weak topology의 정의에 의해 $B$는 closed이다.)
$A'$는 discrete하다. 또한 $A'$은 compact한 $A$의 closed
subset이므로 $A'$역시 compact이다. 즉 $A'$는 compact, discrete
set이므로 finite set이 되어야 한다.


\end{proof}

\textbf{Simplicial map}\\

$f:K\rightarrow L$를 simplicial map 이라고 두자. 즉
$f:V(K)\rightarrow V(L)$, $f(\sigma)\in L$ if $\sigma\in K$. 이때
다음과 같은 map을 생각하자.

$"f":|K|\rightarrow|L|$ defined as :
$\displaystyle{\sum_{i=0}^nt_i v_i=x\in|K|\Rightarrow
f(x)=\sum_{i=0}^n t_i f(v_i)}$

즉 $"f"(|\sigma|)=|f(\sigma)|$ 이다. 이 $"f"$를 $f$에 의해
induced된 simplicial map이라고 한다.

ex. simplicial map $\circ$ simplicial map = simplicial
map.\\

0 . $"f"$ is continuous. ($"f"|_{|\sigma|}$가 continuous이므로)\\

1 . $f:K\rightarrow L$ 가 simplicial isomorphism 이면
$"f":|K|\rightarrow |L|$ is a homeomorphism 이고, 이를 simplicial
homeomorphism이라고 부른다.\\

2 . $K$ 가 finite simplicial complex 이면 $|K|$는 $\mathbf{R}^N$에
embed된다.\\
\begin{proof}
$K$가 finite이므로 $V(K)=\{v_0,\cdot\cdot\cdot v_N\}$ 라고 놓고,
$\mathbb{R}^N$안에서 geometrically independent하게
$a_0,\cdot\cdot\cdot,a_N$를 잡는다. 그리고
$<a_0,\cdot\cdot\cdot,a_N>=\sigma^N$으로 놓고 이 $\sigma^N$과
그것의 face 들로 이루어진 simplicial complex 를 $\triangle^N$ 라
놓자. 이 때 $K$와 $\triangle^N$사이에 다음과 같은 함수를 생각하자.

Define $f:K\rightarrow \triangle^N \hspace{1em} $ by $f(v_i)=a_i$,
$\,\,\,i=0,\cdot\cdot\cdot,N$ .

그러면 $\{v_0,\cdot\cdot\cdot,v_N\}$의 subset들의 image들은
$\{a_0,\cdot\cdot\cdot,a_N\}$들의 subset들이 되는데 이들은 모두
$\triangle^N$상에서 simplex 가 되므로 $f$는 simplicial map이 된다.

따라서 $f$는 $K$와 $\triangle^N$의 subcomplex $L=f(K)$사이의
isomorphism을 주므로 $"f":|K|\rightarrow|L|_w$ 는 homeomorphism 이
된다.

이 때 L은 finite 하므로 $\mathbf{R}^n$에서 $|L|_s=|L|_w$ 이고
따라서

$"f":|K|\rightarrow|L|_s\subseteq \mathbf{R}^n$ 가 homeomorphism이
되어 $|K|$는 $\mathbf{R}^n$에 embed 된다.
\end{proof}\\

\textbf{ 숙제 14.} 다음을 보여라.

$K$ is locally finite. \\
(i.e., each vertex belongs to only
finitely many simplices in $K$.)

$\Leftrightarrow |K|$ is locally compact.

$\Leftrightarrow |K|$ is metrizable with respect to $d$, $d(x,y)=\sqrt{\displaystyle{\sum_{v\in V}(t_v(x)-t_v(y))^2}}$.\\

\textbf{ 숙제 15.} If $K$ is countable and locally finite and
$dim\,K\leq n$, then $|K|$ can be embedded as a closed subset in
$\mathbf{R}^{2n+1}$.


(\textit{Hint.}) Use a curve $C=(t,t^2,\cdot\cdot\cdot,t^{2n+1})$.

이 $C$위의 어떤 2n+2개의 점을 뽑아도 이들은 geometrically
independent하다.

\begin{defn}\textit{star(v)}

$v\in V(K)$에 대해
$st(v):=\displaystyle{\bigcup_{v\in\sigma}}int(|\sigma|)=\{x\in|K|\,\,|\,\,t_v(x)\neq
0 \}$.

\end{defn}

이 때,
$\overline{st(v)}=\displaystyle{\bigcup_{v\in\sigma}}|\sigma|$
임을 보이자.

$(\subseteq)\,\,\,$ $ st(v)=\bigcup int(|\sigma|)\subseteq \bigcup
|\sigma|$ 이고, $\bigcup |\sigma|$은 closed이므로
$\overline{st(v)}\subseteq
\displaystyle{\bigcup_{v\in\sigma}}|\sigma|$이다.

$(\supseteq)\,\,\,$ $v\in\sigma$인 각 $\sigma$들은
$\sigma\in\overline{st(v)}$ 이므로
$\displaystyle{\bigcup_{v\in\sigma}}|\sigma|\subseteq\overline{st(v)}$
이다.


따라서 $\overline{st(v)}$는 $|K|$에서 closed이고, $lk(v):=\overline{sk(v)}-st(v)$ 로 정의한다.\\


\end{document}


\end{document}