\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Simplicial map} $f:K\rightarrow L$를 simplicial map 이라고 두자. 즉 $f:V(K)\rightarrow V(L)$, $f(\sigma)\in L$ if $\sigma\in K$. 이때 다음과 같은 map을 생각하자. $"f":|K|\rightarrow|L|$ defined as : $\displaystyle{\sum_{i=0}^nt_i v_i=x\in|K|\Rightarrow f(x)=\sum_{i=0}^n t_i f(v_i)}$ 즉 $"f"(|\sigma|)=|f(\sigma)|$ 이다. 이 $"f"$를 $f$에 의해 induced된 simplicial map이라고 한다. {\bf Note.} 1. simplicial map $\circ$ simplicial map = simplicial map. $\hspace{3.2em}$2. $"f"$ is continuous.\\ $f:K\rightarrow L$ 가 simplicial isomorphism 이면 $"f":|K|\rightarrow |L|$ is a homeomorphism 이고, 이를 simplicial homeomorphism이라고 부른다.\\ \begin{prop} $K$ 가 finite simplicial complex 이면 $|K|$는 $\mathbf{R}^N$에 embedd된다. \end{prop} \begin{proof} $K$가 finite이므로 $V(K)=\{v_0,\cdot\cdot\cdot v_N\}$ 라고 놓고, $\mathbf{R}^N$안에서 geometrically independent하게 $a_0,\cdot\cdot\cdot,a_N$를 잡는다. 그리고 $=\sigma^N$으로 놓고 이 $\sigma^N$과 그것의 face 들로 이루어진 simplicial complex 를 $\triangle^N$ 라 놓자. 이 때 $K$와 $\triangle^N$사이에 다음과 같은 함수를 생각하자. Define $f:K\rightarrow \triangle^N \hspace{1em} $ by $f(v_i)=a_i$, $\,\,\,i=0,\cdot\cdot\cdot,N$ . 그러면 $\{v_0,\cdot\cdot\cdot,v_N\}$의 subset들의 image들은 $\{a_0,\cdot\cdot\cdot,a_N\}$들의 subset들이 되는데 이들은 모두 $\triangle^N$상에서 simplex 가 되므로 $f$는 simplicial map이 된다. 따라서 $f$는 $K$와 $\triangle^N$의 subcomplex $L=f(K)$사이의 isomorphism을 주므로 $"f":|K|\rightarrow|L|_w$ 는 homeomorphism 이 된다. 이 때 L은 finite 하므로 $\mathbf{R}^n$에서 $|L|_s=|L|_w$ 이고 따라서 $"f":|K|\rightarrow|L|_s\subseteq \mathbf{R}^n$ 가 homeomorphism이 되어 $|K|$는 $\mathbf{R}^n$에 embedding이 된다. \end{proof} \begin{defn}\textit{star(v)} $v\in V(K)$에 대해 $st(v):=\displaystyle{\bigcup_{v\in\sigma}}int(|\sigma|)=\{x\in|K|\,\,|\,\,t_v(x)\neq 0 \}$. \end{defn} 이 때, $\overline{st(v)}=\displaystyle{\bigcup_{v\in\sigma}}|\sigma|$ 임을 보이자. $(\subseteq)\,\,\,$ $ st(v)=\bigcup int(|\sigma|)\subseteq \bigcup |\sigma|$ 이고, $\bigcup |\sigma|$은 closed이므로 $\overline{st(v)}\subseteq \displaystyle{\bigcup_{v\in\sigma}}|\sigma|$이다. $(\supseteq)\,\,\,$ $v\in\sigma$인 각 $\sigma$들은 $\sigma\in\overline{st(v)}$ 이므로 $\displaystyle{\bigcup_{v\in\sigma}}|\sigma|\subseteq\overline{st(v)}$ 이다. 따라서 $\overline{st(v)}$는 $|K|$에서 closed이고, $lk(v):=\overline{sk(v)}-st(v)$ 로 정의한다.\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=1,clip=true]{graph8.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 8\\ {\bf 숙제 14.} 다음을 보여라. $K$ is locally finite. $\Leftrightarrow |K|$ is locally compact. $\Leftrightarrow |K|$ is metrizable with respect to $d$, $d(x,y)=\sqrt{\displaystyle{\sum_{v\in V}(t_v(x)-t_v(y))^2}}$.\\ {\bf 숙제 15.} If $K$ is countable and locally finite and $dim\,K\leq n$, then $|K|$ can be embedded as a closed subset in $\mathbf{R}^{2n+1}$. (\textit{Hint.}) Use a curve $C=(t,t^2,\cdot\cdot\cdot,t^{2n+1})$. 이 $C$위의 어떤 2n+2개의 점을 뽑아도 이들은 geometrically independent하다. \end{document}