\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Simplicial approximation theorem} {\bf Barycentric subdivision, $sd K$} $\sigma=\subset \mathbf{R}^n$ 이 주어졌다고 하자. 이 때, $\sigma$의 barycenter 를 $\hspace{7em}\hat{\sigma}=\displaystyle{\frac{1}{n+1}}\sum_{i=0}^{n}a_i$ 로 정의하자. 그러면, $\mathbf{R}^n$의 simplicial complex $K$에 대해 barycentric subdivision $sd K$는 다음과 같이 정의된다.\\ $V(sdK)= \{{\hat{\sigma}}\,|\,\sigma\in K\}$ 이고, $sd(K)=\{\{\hat{\sigma_1},\cdot\cdot\cdot, \hat{\sigma_p} \}\,\,|\,\,\sigma_1\lneq\cdot\cdot\cdot\lneq \sigma_p\,,\,\,\sigma_i\in K,p=1,2,\cdot\cdot\cdot \}$.\\ {\bf Note.} $|sdK|=|K|$. \begin{defn}\textit{(mesh(K))} $K$가 $\mathbf{R}^N$ 의 finite simplicial complex 일 때 $mesh(K):=max\{diam(\sigma)\,\,|\,\,\sigma\in K\}$. \end{defn} \begin{prop} $\hspace{20em}\\$ (1) $\sigma$ 가 $\mathbf{R}^N$의 n차원 simplex일 때, $mesh(sd(\sigma))\leq\frac{n}{n+1} mesh(\sigma)\,\,$ 이다. (2) $K\,$가 $\mathbf{R}^N$의 n차원 finite simplicial complex일 때, $mesh(sd(K))\leq\frac{n}{n+1} mesh(K)\,\,$ 이다. \end{prop} \begin{proof} (2)는 (1)의 내용과 $\frac{x}{x+1}$이 증가함수라는 사실로부터 바로 나오므로, (1)을 증명하자. 이를 증명하기에 앞서 다음 Note를 살펴보자. {\bf Note.} 1.$\forall\,\, \sigma,\,\, \exists\,$ an edge $ e<\sigma\,$ such that $\,diam(\sigma)=length(e).$ 2.$\forall \,\,x\in\sigma,\,\,|\hat{\sigma}-x|\leq |\hat{\sigma}-v|$ for some vertex $v$ of $\sigma$, and $|\hat{\sigma}-v|\leq \frac{n}{n+1}mesh(\sigma)$. (증명)$|\hat{\sigma}-v_0|=|\displaystyle{\frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n} v_i - v_0|\\= | \frac{1}{n+1}\displaystyle{\sum_{i=0}^n (v_i-v_0)} |$\\ =$ |\displaystyle{\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n (v_i-v_0)} | $ $\displaystyle{ \leq \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n |v_i-v_0|} $ $\displaystyle{\leq \frac{n}{n+1}max_i|v_i-v_0|} $ $ \displaystyle{\leq\frac{n}{n+1}mesh(\sigma) } $ 이 된다.\\ 이제 (1)의 증명을 하면, $\forall\,\tau \in sd(\sigma)$에 대해 $\tau$의 모든 edge $e$는 barycenter에서 혹은 face의 barycenter에서 나가므로 Note 2에 의해 $length(e)\leq \frac{n}{n+1}mesh(\sigma)$ 이다. 따라서 Note 1에 의해 $mesh(\tau)\leq\frac{n}{n+1}mesh(\sigma)$ 이다. \end{proof} \begin{cor} $mesh(sd^N K)\leq C(\frac{n}{n+1})^N$ and converges to 0 if $N\rightarrow \infty$. \end{cor} {\bf Note.} $g:|K|\rightarrow |L|$이 simplicial map 이면, $\forall\,\,v\in V(K)$ 에 대해 $\hspace{3em}g(st(v))\subset st(g(v))$ 이다. (증명)$x\in st(v)\Leftrightarrow t_v(x)>0$. $g$가 simplicial map이므로 $t_v(x) \leq t_{g(v)}(g(x))$ 이고 따라서 $ t_{g(v)}(g(x))>0 \Rightarrow g(x)\in st(g(v)).$ \begin{prop} Let $f:|K|\rightarrow |L|$ be a map and $g:|K|\rightarrow |L|$ be a simplicial map. Then the followings are equivalent. (1) $\forall\,x\in|K|$, $f(x)\in \overset{\circ}\tau \Rightarrow g(x) \in \tau$. (2) $\forall\,x\in|K|$, $f(x)\in \tau \Rightarrow g(x) \in \tau$. (3) $\forall\,v\in V(K),f(st(v))\subset st(g(v))$. 이 경우 $g$를 $f$의 simplicial approximation 이라고 한다. \end{prop} \begin{proof} (2)$\Rightarrow $(1) 은 당연하다. (1)$\Rightarrow$(3) $x\in st(v)$,$f(x)\in\overset{\circ}\tau$ 라 놓자. 그러면 $t_v(x)>0,\,\,g(x)\in\tau$ $\Rightarrow t_{g(v)}(g(x))>0,\,\,g(x)\in\tau$ $\Rightarrow g(x)\in st(g(v))\,\,$ and $\,\,g(x)\in \tau$ 즉 $g(v)$는 $\tau$의 vertex이고, $\overset{\circ}\tau\subset st(g(v))$이다. 따라서 $f(x)\in\overset{\circ}\tau\subset st(g(v))$. (3)$\Rightarrow $(2) $x\in\overset{\circ}\sigma$ 이고, $f(x)\in\tau$라고 가정하자. 이 때, 임의의 $v\in V(\sigma)$ 에 대해 $x\in st(v)$이다. $f(st(v))\subset st(g(v))$ 로부터$ f(x)\in st(g(v))$ 이고 따라서 $g(v)$는 $\tau$의 vertex가 된다. 따라서 $g(\sigma)\subset \tau$ 이고 $g(x)\in \tau$이다. \end{proof} \begin{thm} Let $f:|K|\rightarrow |L|$ be a map which satisfies "star condition", i.e., $\forall\,\,v\in V(K),\,\,\exists\,\,w\in V(L)$ such that $f(st(v))\subset st(w)$. Then $\,\,\exists\,\,g:K\rightarrow L$ which is a simplicial approximation of $f$. \end{thm} \begin{proof} 모든 $v\in V(K)$에 대해 $f(st(v))\subset st(w)$를 만족하는 아무런 $w$ 를 선택하여 $g(v)=w$로 정의하자. 이제 이 $g$가 simplicial map임을 보이기 위해 $$ 가 simplex 이면, $$가 simplex 임을 보이자. simplex $$를 $\sigma$로 놓으면 $\overset{\circ}\sigma$에 들어가는 $x\in\overset{\circ}\sigma$ 가 존재하고, 이 $x$에 대해 $x\in\displaystyle{\bigcap_{i=0}^n}st(v_i)$ 이다. 이 때, $f(x)\in \displaystyle{f(\bigcap st(v_i))\subset \bigcap f(st(v_i))\subset \bigcap st(w_i)}\,,\,w_i=g(v_i)$ 이 되어 모든 $i$에 대해 $f(x)\subset st(w_i)$ 이므로 $t_{w_i}(f(x))>0,\,\forall\,\,i$ 이다. 따라서 $=$ 는 simplex를 형성한다.(interior point $f(x)$가 존재하므로). 따라서 $g$는 simplicial map이 되고 $f(st(v))\subset st(g(v))$ 를 만족하므로 앞의 명제 3의 (3)을 만족하여 $g$는 $f$의 simplicial approximation이 된다. \end{proof}\\ {\bf Remark.} $f:|K|\rightarrow |L|$가 $K$의 subcomplex $M$에서 이미 simplicial map이라고 하자. 그러면 위 정리의 증명과정에서 $g$를 잡을 때, $M$에서의 값은 그대로 주고 (앞 Note에서 simplicial map은 star condition을 만족하므로 ) 나머지 부분만 정리의 증명처럼 하면 되므로 $g|_{|M|}=f|_{|M|}$ 이 되도록 approximation 시킬 수 있다.\\ \begin{thm}(Simplicial approximation theorem) K,L 은 finite simplicial complex 들일 때, (1) 주어진 map $f:|K|\rightarrow |L|$ 에 대해 어떤 $N$ 이 존재해서 $f$는 simplicial approximation $g:sd^N \,K\rightarrow L$ 을 가질 수 있다. (2) $g$가 $f$의 simplicial approximation이면, $f\simeq g$ 이다. \end{thm} \begin{proof} (1) $\mathcal{U}=\{f^{-1}(st(w))\,|\,w\in V(L)\}$ 은 $|K|$의 open covering 이 된다. $K$가 finite이므로 $|K|$는 compact이고 따라서 open covering $\mathcal{U}$에 대해 Lebesgue number $\eps$이 존재한다. 이 때, $mesh(sd^N K)<\frac{\eps}{2}$ 를 만족하도록 $N$을 충분히 크게 잡으면 $sd^N K$ 안의 각 star들은 diam이 $\eps$보다 작고 따라서 어떤 $U \in \mathcal{U} $에 포함된다. 그러면 $f:|sd^N K|\rightarrow |L|$ 은 star condition을 만족하고 $|sd^N K|=|K|$ 이므로 정리 4에 의해 우리가 원하던 $g$ 가 존재한다. (2) $g$를 $f$의 simplicial approximation이라고 하자. 먼저 $L$은 finite이므로 $\mathbf{R}^N$에 embedded되어 있다고 가정해도 좋다. 이 때 $F:|K|\times I \rightarrow |L|$, $F(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)$ 가 $f$와 $g$사이의 homotopy가 됨을 보이자. 먼저 각 $f(x)$와 $g(x)$는 같은 simplex에 놓여 있으므로 $F$는 잘 정의된다. 또한 $f$와 $g$는 연속이므로 $F$ 역시 연속이다. 따라서 $F$는 원하는 homotopy이다.\\ {\bf Remark.} 정리 5에서 꼭 $sd^N K$ 여야 할 필요는 없다. 증명에서 $mesh$ 조건을 만족하는 어떤 subdivision에 대해서도 성립한다. 또한 K와 L이 finite가 아니라도 성립한다.(See Munkres 16.5,19.4,20.5.) 이를 보이기 위해 다음 사실이 필요하다.\\ {\bf Fact.} $F:|K| \times I \rightarrow |L|$ is continuous $\Leftrightarrow \,\,F:|\sigma|\times I\rightarrow |L|$ is continuous. (이것의 증명은 다음 숙제로부터 자명하다.)\\ {\bf 숙제 16.} \\The topology of $|K|\times I$ is coherent with the subspaces $\{|\sigma|\times I \,\,|\,\,\sigma \in K\}$. \end{proof} \end{document}