\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Application} \textit{{\bf $1\,\,.\,\, \pi_1(S^n)$=0, $n\geq 2$}} \begin{proof} simplicial approximation 정리와 $S^n\setminus \{point\}=\mathbf{R}^N$이 contractible이라는 것을 이용하자. $S^1$에서 $S^n$으로 가는 $\alp$가 onto만 아니라면, $S^n$상에서 $\alp$의 image가 아닌 점 $x_0$ 를 생각할 수 있고 $S^n\setminus \{x_0\}=\mathbf{R}^N$이 contractible이므로 증명이 완성된다. 먼저 simplicial map 자체는 $p$-skeleton 을 $p$-skeleton 으로 보내므로 $\alp$의 simplicial approximation $\alp '$는 onto가 될 수 없고, 따라서 $\alp'$은 한 점으로 contractible 하고 $\alp \sim \alp '$ 이므로 $\alp$ 도 contractible하다. 이 증명에서 base point는 vertex가 되도록 simplicial complex 구조를 $S^1$과 $S^n$에 적당히 준다. 정리 4의 Remark에 의해 $\alp(base\,\,point)=\alp'(base\,\,point)$라 두어도 상관없다. \end{proof} {\bf $2\,\,.\,\, i:K^1\hookrightarrow K$ induces an epimorphism $i_*:\pi_1(|K^1|)\rightarrow \pi_1(|K|)$.} {\bf$\hspace{1.2em}i:K^2\hookrightarrow K$ induces an isomorphism $i_*:\pi_1(|K^2|)\rightarrow \pi_1(|K|)$. }\\ \begin{proof} 먼저 epimorphism 이 됨을 보이자. $\pi_1(|K|)$의 원 $\{\alp\}$에 대해 simplicial approximation $\alp '$을 생각하자. 먼저 $\alp \sim \alp'$ 임을 알고 있고 ($\alp$와 $\alp '$ 사이의 homotopy $F$는 $F(x,t)=t(fx)+(1-t)g(x)$ 였으므로 만일 $f(x_0)=g(x_0)$ 이라면 $F(x_0,t)$ 가 t가 변하는 동안 계속 $f(x_0)=g(x_0)$ 로 유지된다.) $\{\alp ' \}\in\pi_1(|K^1|)$이다. 즉 $i_*(\{\alp '\})=\{\alp\}$ 를 만족하는 $\{\alp ' \}$가 있으므로 onto 임이 증명되었다. 따라서 두번째 명제는 1-1 임을 보이기만 하면 된다. 1-1 임을 보이기 위해 이전에 보였던 다음 note를 이용하자. {\bf Note.}\textit{ $\alp:S^1\rightarrow X$ represent a zero element in $\pi_1(X)$ if and only if} \textit{$\hspace{3em}\exists\,\,extension\,\,\overline{\alp}:D^2\rightarrow X.$} 어떤 $\{\alp\} \in \pi_1(|K^2|)$ 가 $i_*$에 의해 identity 로 간다면, $\alp$를 $|K|$의 loop로 봤을 때 위 note 에 의해 extension $\overline{\alp}$ 가 존재하므로 다음 diagram 이 성립한다.\\ $\,\,\,|K^2|\hspace{1em}\rightarrow\hspace{1em} |K|\hspace{4em}|K^2|\hspace{1em}\rightarrow\hspace{1em} |K| $ $\alp\uparrow\hspace{6.5em}\Rightarrow \hspace{2.5em}\alp\uparrow\hspace{4em}\uparrow \exists\,\overline{\alp}$ $\,\,\,S^1\hspace{10.5em}S^1\hspace{1.5em}\subset\hspace{1.3em}D^2$\\ 여기서 $\overline{\alp}$의 simplicial approximation $\overline{\alp}'$를 잡으면 $\,\,\,K^2\hspace{1em}\rightarrow\hspace{1em} K\hspace{4em}$ $\hspace{1em}\exists\,\overline{\alp'}\nwarrow$ $\,\,\,\hspace{4.5em}D^2$ 가 되고 이 때 $\{\overline{\alp}'|_{\partial D^2}\}=\{\alp\}$ 이다. 왜냐하면, $\overline{\alp}'\simeq \overline{\alp}$ 이고 $\overline{\alp}|_{\partial D^2}=\alp$ 이므로 $\overline{\alp }'|_{\partial D^2}$은 $\alp$와 equivalent하다. 따라서 $\{\overline{\alp }'|_{\partial D^2}\}=\{\alp\}$ 이다. 그런데 $\{\overline{\alp}'|_{\partial D^2}\}=0$ 이므로 $\{\alp\}=0$ 이다. 따라서 1-1임을 보였다. \end{proof} \end{document}