\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Edge Path Group} simplicial complex $K$와 $V(K)=\{v_0,\cdot\cdot\cdot,v_m\}$에 대해 $\Omega(|K|,v_0)$에서 simplicial loop들만 보자. 즉 다음과 같은 simplicial loop들의 집합을 정의하자. $\Omega_s(K,v_0)$=the set of simplicial loops $\hspace{4em}$=$\{v_0v_{i_1}\cdot\cdot\cdot v_{i_k}v_0\,\,|\,\,v_i\in V(K),\{v_0,v_{i_1}\},\cdot\cdot\cdot,\{v_{i_k},v_0\}\in K\}$\\ 이제 $\Omega_s(K,v_0)$에 equivalence relation $\overset{s}{\sim}$를 다음 3가지 equivalence에 의해 generate된 것으로 주자. $(1)\,\,\cdot\cdot\cdot v_iv_i \cdot \cdot \,\cdot \overset{s}{\sim} \cdot \cdot \cdot v_i\cdot\cdot\,\cdot$ $(2)\,\,\cdot\cdot\cdot v_iv_jv_i\cdot\cdot\,\cdot\overset{s}{\sim}\cdot\cdot\cdot v_i\cdot\cdot\,\cdot$ $(3)\,\,\cdot\cdot\cdot v_iv_jv_k\cdot\cdot\,\cdot\overset{s}{\sim}\cdot\cdot\cdot v_iv_k\cdot\cdot\,\cdot$ if $\{v_i,v_j,v_k\}\in K$ 이 때 $\Omega_s(K,v_0)/{\overset{s}{\sim}}:=E(K,v_0)$를 $(K,v_0)$의 edge path group이라고 한다. 이 때 group operation은 juxtaposition 이다.\\ $E(K,v_0)$ 가 group이 됨을 보이자. 먼저 $(\{v_0v_{i_1}\cdot\cdot\, v_0\}\{v_0v_{j_1}\cdot\cdot\, v_0\})\{v_0v_{k_1}\cdot\cdot\, v_0\}=\{v_0v_{i_1}\cdot\cdot\, v_0\}(\{v_0v_{j_1}\cdot\cdot\, v_0\}\{v_0v_{k_1}\cdot\cdot\, v_0\}) $ 는 위 세가지 equivalence 에 대해 성립하므로 결합법칙을 만족하고, $\{v_0\}\in E(K,v_0)$ 가 group operation의 identity 가 된다. 그리고$\{v_0v_{i_1}\cdot\cdot\cdot v_{i_k}v_0\}\in E(K,v_0)$에 대해 inverse는 $\{v_0v_{i_k}\cdot\cdot\cdot v_{i_1}v_0\}$가 된다. 따라서 $E(K,v_0)$ 는 group 이 된다. \begin{thm} $E(K,v_0)\cong \pi_1(|K|,v_0)$ \end{thm} \begin{proof} 두 group사이의 isomorphism을 찾기 위해 먼저 다음 함수를 생각하자. $\hspace{3em}\phi\,\,:\,\,\hspace{1em}\Omega_s(K,v_0)\hspace{1em}\rightarrow \hspace{1em}\Omega(|K|,v_0)/\sim$ $\hspace{5em}v_0v_{i_1}\cdot\cdot\cdot v_{i_{k-1}}v_0\hspace{1em}\mapsto\hspace{2em} \{\alp\}$\\ 여기서 $\alp:I\rightarrow |K|$는 $\alp(\frac{j}{k})=v_{ij}\,,\,j=0,1,\cdot\cdot\cdot,k\,,\,v_{i_0}=v_{i_k}=v_0$로 정의되는 simplicial map이다. 이 $\phi$에 의해 induce되는 $\phi_{\sharp}:\Omega_s/{\overset{s}{\sim}}\rightarrow \Omega/{\sim}$을 얻을 수 있고, 이 때 다음 네 가지를 보이자.\\ $(1)\,\,\phi_{\sharp}$ is well defined : 첫번째 equivalence relation $\overset{s}{\sim}$에 대해 $\phi_{\sharp}(v_0\cdot\cdot v_iv_i\cdot\cdot v_0)=\phi_{\sharp}(v_0\cdot\cdot v_i\cdot\cdot v_0) $ 임을 알 수 있고, 나머지 두개에 대해서도 마찬가지로 확인할 수 있다.\\ $(2)\,\,\phi_{\sharp}$ is a homomorphism : $\phi(\{v_0v_{i_1}\cdot\cdot v_0\})=\alp\,$ 와 $\,\phi(\{v_0v_{j_1}\cdot\cdot v_0\})=\beta$ 에 대해 $\phi(\{v_0v_{i_1}\cdot\cdot v_0\}\circ\{v_0v_{j_1}\cdot\cdot v_0\})$ 은 juxtaposition에 의해 $\alp$와 $\beta$의 juxtaposition으로 가고 이는 $\phi(\{v_0v_{i_1}\cdot\cdot v_0\})\circ \phi(\{v_0v_{j_1}\cdot\cdot v_0\})$ 와 같다.\\\\ $(3)\,\,\phi_{\sharp}$ is onto : 임의의 $\alp\in \pi_1(|K|,v_0)$에 대해 $\alp$의 simplicial approximation $\overline{\alp}$ 가 존재한다. $\phi_{\sharp}(\overline{\alp})=\alp$ 가 되어 onto이다.\\ $(4)\,\,\phi_{\sharp}$ is 1-1 : $\alp\,,\,\beta\,\in \Omega(K,v_0)$에 대해 $\phi(\alp)\sim\phi(\beta)$이라고 가정하고 $\alp\overset{s}{\sim}\beta$ 임을 보이자. 먼저 $\alp,\beta$ 에 대해 각각 다음과 같이 $\alp',\beta'$을 잡자. $\phi(\alp)$와 $\phi(\beta)$ 사이의 homotopy $F\,,\,F(0,t)=\alp(t),F(1,t)=\beta(t)$에 대해 $F$의 simplicial approximation($G$라 두자)이 존재하도록 다음과 같이 subdivision한다. **그림10** 이 때 $G(0,t)=\alp'(t),G(1,t)=\beta'(t)$ 으로 두면 이 $\alp'$ 역시 $v_0$를 base point로 하는 loop가 된다. 그리고 앞 simplicial approximation 정리의 Remark들로부터(simplicial map의 approximation은 그대로 똑같이 유지되고, 그렇지 않은 부분은 approximation을 취하면 원래의 부분과 같은 face에 있다) $\alp\overset{s}{\sim}\alp',\beta\overset{s}{\sim}\beta'$ 이다. 따라서 $\alp'\overset{s}{\sim}\beta'$를 보이면 $\alp\overset{s}{\sim}\beta$임을 보일 수 있다. **그림11** 위의 과정대로 하면 $\alp'\overset{s}{\sim}\beta'$ 임을 알 수 있다. \end{proof} \begin{cor} $\hspace{20em}$ If $K$ is a finite simplicial complex , then $\pi_1(|K|,v_0)$ is finitely generated. \end{cor} \begin{proof} $E(K,v_0)$는 다음 그림과 같은 꼴의 기본 원소들에 의해 generate된다. \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=1.4,clip=true]{graph12.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 12\\ 만일 위의 그림과 달리 self-crossing이 일어난다면, 이는 다시 위와 같은 기본원소들의 곱으로 표현 가능하다. 그리고 각 vertex가 유한개이므로 이런 기본 원소들의 갯수 역시 유한개이다.\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=1,clip=true]{graph13.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 13\\ \end{proof} \begin{cor} $i_{\sharp}:\pi_1(|K^2|,v_0)\rightarrow \pi_1(|K|,v_0)$ is an isomorphism. \end{cor} \begin{proof} 앞에서 이미 이는 증명한 적이 있지만 여기서는 다르게 증명해 보이자. 정리 1에 따르면 $\pi_1(|K^2|,v_0)\cong E(K^2,v_0)$ 이고 $\pi_1(|K|,v_0)\cong E(K,v_0)$ 이다. 그런데 $E(K,v_0)$는 $K^1,K^2$에 의해 결정되므로 $E(K^2,v_0)=E(K,v_0)$이다. 따라서 $\pi_1(|K^2|,v_0)\cong \pi_1(|K|,v_0)$ 이다. \end{proof} \end{document}