\documentclass[12pt ]{article} \setlength{\textwidth}{14 true cm} \setlength{\textheight}{20 true cm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hangul} \usepackage{amscd,amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,theorem} \usepackage{longtable} \newcommand{\Aff}{\mbox{\it Aff}} \newcommand{\aff}{\mbox{\it aff}} \newcommand{\alp}{\alpha} \newcommand{\bet}{\beta} \newcommand{\del}{\delta} \newcommand{\gam}{\gamma} \newcommand{\vep}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\kap}{\kappa} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\Gam}{\Gamma} \newcommand{\Ome}{\Omega} \newcommand{\Sig}{\Sigma} \newcommand{\Del}{\Delta} \newcommand{\Lam}{\Lambda} \newtheorem{thm}{정리} \newtheorem{cor}[thm]{따름정리} \newtheorem{lem}[thm]{보조정리} \newtheorem{prop}[thm]{명제} \newtheorem{cl}{Claim} {\theorembodyfont{\rm} \newtheorem{ex}{예} \newtheorem{que}{질문} \newtheorem{notation}{Notation}[section] \newtheorem{defn}{정의} \newtheorem{rem}{주} \newtheorem{note}{Note} } \renewcommand{\thenote}{} \renewcommand{\therem}{} \newenvironment{proof}{{\bf 증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \newenvironment{proof1}{{\bf 정리증명}}{\hfill\framebox[2mm]{}} \begin{document} \parindent=0cm \section*{Examples} {\bf 1. $\pi(S^1)=\mathbb{Z}_1=F_1$}\\ $\pi_1(figure\,\,\,\, eight)=\mathbb{Z}*\mathbb{Z}=F_2.$ $\pi_1(S^2\vee S^1)=1*\mathbb{Z}=\mathbb{Z}=F_1.$ $\pi_1(S^2\vee S^2)=1.$ $\pi_1(S^1\vee S^2 \vee S^1)=\mathbb{Z}*\mathbb{Z}=F_2.$\\ {\bf 2. $\pi_1(T^2)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ ;}\\ torus를 아래 그림과 같이 보자.\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=1,clip=true]{graph17.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 17\\ 그림의 왼쪽 부분을 $A$라 두고 오른쪽 부분을 $B$라 두면, 이 때 torus $K=A\cup B$ 가 된다. 이를 아랫그림과 같이 표현할 수 있다.\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=1,clip=true]{graph18.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 18\\ $A,B,K,A\cap B,A\cup B$ 는 Van Kampen Theorem 의 조건을 모두 만족하므로 ${\pi_1(K,v_0)=\pi_1(A,v_0)*\pi_1(B,v_0)}/N$임을 알 수 있다. 따라서 $\pi_1(A,v_0)$와 $\pi_1(B,v_0)$를 알면 된다. $ \pi_1(A,v_0)$는 위 그림의 A부분에서 사각형 내부의 원을 바깥 사각형의 boundary로 retract 시키면 이는 $aba^{-1}b^{-1}$ 가 되어 figure eight 과 같은 꼴이 된다. 따라서 $\pi_1(A,v_0)$ 는 $F_2$ 가 된다. $\pi_1(B,v_0)$는 1임을 쉽게 알 수 있고 $A\cap B$는 circle 이므로 $\pi_1(A\cap B)=\mathbb{Z}$ 이다. 그리고\\ $\hspace{3em}F_2=\hspace{3em}1$ $\hspace{6em}i\nwarrow\hspace{3.5em}\nearrow j$ $\hspace{6em}\mathbb{Z}=$\\ 위 diagram에서 $\underset{\mathbb{Z}}{*}$의 정의에 따라 $i(x)$ 와 $j(x)$ 를 같게 보는 relation을 주면 되므로 generator 는 $a,b$이고 relation 은 $x\in \pi_1(A\cap B)$에 대해 $i(x)=j(x)$ 이다. 즉 $\pi_1(K,v_0)=$ 이다. 그런데 $\pi_1(B,v_0)=1$ 이므로 $j(x)=1$ 이고 $A$와 $B$의 교집합 부분인 circle에 대해서는 $i(x)$는 바깥 사각형이 되므로 $i(x)=aba^{-1}b^{-1}$ 이 된다. 따라서 relation은 $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}=1$ 이다. 그러므로 $\pi_1(T^2)=F_2\underset{\mathbb{Z}}{*}1==\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$이다.\\ {\bf 3. $\pi_1(P^2)=\mathbb{Z}/2$} ; (방법 1.) $S^2$ 는 $P^2$의 covering 임을 알고 있다. 그런데 $S^2$는 simply connected이므로 $S^2$는 $P^2$의 universal covering 이다. $p^{-1}(x)$와 $\pi_1(X)/p_{\sharp}\pi_1(X)$는 일대일대응관계를 가지는데 universal covering이라는 성질에서 $p_{\sharp}\pi_1(X)$는 1이 되어 $\pi_1(X)$는 $p^{-1}(x)$ 즉 fiber와 개수가 같다. $P^2$의 각 점에 대해 fiber가 두 점이므로 $\pi_1(P^2)$는 $\mathbb{Z}/2$일 수 밖에 없다.\\ (방법 2.) Van Kampen theorem을 이용하기 위해 $P^2$를 아래 그림과 같이 보자.\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=1,clip=true]{graph19.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 19\\ 이 때 $\pi_1(A)=\mathbb{Z}=$, $\pi_1(B)=1$, $\pi_1(A\cap B)=\mathbb{Z}$ 임을 쉽게 알 수 있고 $\mathbb{Z}_2\underset{\mathbb{Z}}{*}1$ 을 생각해 보자. $x\in A\cap B$ 에 대해 $i(x)=aa$ 가 되고, $j(x)=1$ 이 되어 $a^2=1$ 이라는 relation을 얻는다. 따라서 $\pi_1(P^2)==\mathbb{Z}/_2 $ 가 된다.\\ 이제 임의의 compact surface에 대해 fundamental group을 계산해 보자.\\ {\bf 1. Orientable surfaces.}\\ orientable surface는 $T^2\sharp T^2\sharp \cdot\cdot\cdot \sharp T^2$ 꼴로 표현되므로 genus g개짜리 다음 그림의 orientable surface를 살펴보자.\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=1,clip=true]{graph20.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 20\\ 위 그림에서 $A$는 $\overset{2g}{\overbrace{S^1\vee\cdot\cdot\cdot\vee S^1}}$ = $\overset{2g}{\vee}S^1$ ( = bouquet of 2g circles = 2g개의 circle들을 one point union한 것 ) 과 homotopy equivalent하므로 $\pi_1(A,v_0)=F_{2g}$ 가 된다. ( genus 하나짜리는 figure eight $S^1\vee S^1$ 이 되어 이것의 $\pi_1$은 $F_2$가 된다.) 또한 $\pi_1(B,v_0)=1$ 이고 $x\in A\cap B$에 대해 $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}a_2b_2a_2^{-1}b_2^{-1}\cdot\cdot\cdot a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}=i(x)=j(x)=1$ 임을 알수 있다. 따라서 다음내용이 성립한다. $\pi_1(\Sigma g)=$.\\ {\bf 2. Nonorientable surfaces.}\\ nonorientable surface $P^2\sharp P^2\sharp\cdot\cdot\cdot \sharp P^2$를 생각해보자. 다음 그림에서 \\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=1,clip=true]{graph21.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 21\\ $\pi_1(A,v_0)=$ 이 되고 $\pi_1(B,v_0)=1$ 이 된다. $x\in A\cap B$에 대해 $i(x)=j(x)$ 를 찾으면 $a_1a_1a_2a_2\cdot\cdot\cdot a_ka_k=1$ 이 된다. 따라서 $\pi_1(N_k)=$.\\ {\bf Dunce hat.}\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=1,clip=true]{graph22.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 22\\ 위 그림의 $\pi_1$을 생각해 보자. 앞에서의 내용과 마찬가지로 내부에 원을 잡아서 $A,B$ 로 나누면 $\pi_1(A,v_0)=$, $\pi_1(B,v_0)=1$ 이고 $x\in A\cap B$에 대해 $i(x)=aaa^{-1}$ 이므로 $\pi_1(Dunce\,\,\, hat)===1$ 이 된다. 즉 simply connected space가 된다. 실은 Dunce hat 이 contractible space 도 되는데 이는 다음과 같이 보일 수 있다. 먼저 위의 그림을 다음과 같이 꼬깔처럼 본 다음\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=1,clip=true]{graph23.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 23\\ 속을 채우면 이는 Dunce hat과 homotopy equivalent 하고(사실 Dunce hat은 속을 채운 것의 strong deformation retract 이다.) contractible 함을 쉽게 알 수 있다.\\ 위의 Dunce hat($aaa^{-1}$)과 달리 $aaa$꼴로 된 것을 살펴보자.\\ \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics*[scale=1,clip=true]{graph24.eps}} \end{figure} $\hspace{15em}$ 그림 24\\ 사실 이것의 $\pi_1$은 $\mathbb{Z}/3$ 가 된다. $P^2(즉\,\,aa)$의 universal covering이 $S^2$ 임과 비슷하게 $aaa$의 universal covering을 구해보아라.(Exercise) 그리고 이 covering이 3-fold covering임을 이용하면 $\pi_1=\mathbb{Z}/3$임을 역시 알 수 있다. \end{document}