2-vertex model

1. Boltzmann weight

위와 같은 vertex에 대하여 Boltzmann weight를 다음과 같이 정의한다. (단, [eqn: i,j,k,l=+- 1 over 2])

[eqn: cases{w( 1 over 2 , 1 over 2 , 1 over 2 , 1 over 2 )(u)=w(- 1 over 2 ,- 1 over 2 , - 1 over 2 , - 1 over 2 )(u)=1 #w( 1 over 2 , - 1 over 2 , 1 over 2 , - 1 over 2 )(u)=w( - 1 over 2 , 1 over 2 , - 1 over 2 , 1 over 2 )(u)= {sinh u} over {sinh( lambda -u)} #w( 1 over 2 , - 1 over 2 ,- 1 over 2 , 1 over 2 )(u)=w(- 1 over 2 , 1 over 2 , 1 over 2 ,- 1 over 2 )(u)= {sinh lambda} over {sinh( lambda -u)} #other~case s~:~w(i,~j,~k,~l)(u)=0}]

그러면 다음과 같은 Yang-Baxter equation을 만족한다.

[eqn: sum_a,b,c w(b,c,q,r)(u) ``w(a,k,p,c)(u+v)``w(i,j,a,b)(v) #=sum_a,b,c w(a,b,p,q)(v) ``w(i,c,a,r)(u+v)``w(j,k,b,c)(u)]

또한 아래와 같은 unitary condition 또한 만족한다.

[eqn: sum_p,q w(i,j,p,q)(u)``w(q,p,l,k)(-u)=delta_ik delta_jl]

이제 새로운 Boltzmann weight [eqn: tilde w_+], [eqn: tilde w_-]를 아래와 같이 정의하자.

[eqn: cases{tilde w_+ (i,j,k,l)&=lim_{u->inf} e^{1 over 2 (-i+j-k+l)u}``w(k,l,j,i)(u) #tilde w_- (i,j,k,l)&=lim_{u->inf} e^{1 over 2 (-i+j-k+l)(-u)}``w(k,l,j,i)(-u)}]

예를 들어

[eqn: cases{tilde w_+ ( 1 over 2 ,- 1 over 2 , 1 over 2 , - 1 over 2 )&=lim_u->inf e^-u ``w( 1 over 2 , - 1 over 2 ,- 1 over 2 , 1 over 2 )(u)#&=lim_u->inf e^-u ``{sinh lambda} over {sinh(lambda-u)}=0 #tilde w_- ( 1 over 2 ,- 1 over 2 , 1 over 2 , - 1 over 2 )&=lim_u->inf e^u ``w( 1 over 2 , - 1 over 2 ,- 1 over 2 , 1 over 2 )(-u)#&=lim_u->inf e^u ``{sinh lambda} over {sinh(lambda+u)}=1- 1 over e^{2 lambda}}]

[eqn: cases{tilde w_+ (- 1 over 2 , 1 over 2 ,- 1 over 2 , 1 over 2 )&=lim_u->inf e^u ``w(- 1 over 2 , 1 over 2 , 1 over 2 ,- 1 over 2 )(u)#&=lim_u->inf e^u ``{sinh lambda} over {sinh(lambda-u)}=1-e^2lambda #tilde w_- (- 1 over 2 , 1 over 2 ,- 1 over 2 , 1 over 2 )&=lim_u->inf e^-u ``w(- 1 over 2 , 1 over 2 , 1 over 2 ,- 1 over 2 )(-u)#&=lim_u->inf e^-u ``{sinh lambda} over {sinh(lambda+u)}=0}]

가 성립한다. 여기에서 [eqn: e^2lambda =t]라 치완한 후에, R-matrix를 아래와 같이 정의한다.

[eqn: R=||tilde w_+ (i,j,k,l)||=bmatrix{1&0&0&0#0&0&- sqrt t&0#0&-sqrt t&1-t&0#0&0&0&1}]

그러면

[eqn: R^-1 =||tilde w_- (i,j,k,l)|| =bmatrix{1&0&0&0# 0&1- 1 over t&- 1 over sqrt t&0# 0&- 1 over sqrt t&0&0#0&0&0&1}]

가 성립하게 된다. 또한 이렇게 새롭게 정의한 Boltzmann weight들은 아래와 같이 Yang-Baxter equation과 unitary condition을 만족한다. (이것이 성립하는 이유는 3절에서 확인할 수 있다)

[eqn: sum_a,b,c tilde w_+ (r,q,b,c) ``tilde w_+ (c,p,a,k)``tilde w_+ (b,a,i,j) #=sum_a,b,c tilde w_+ (p,q,a,b) ``tilde w_+ (r,a,i,c)``tilde w_+ (c,b,j,k)]

=

[eqn: sum_a,b,c tilde w_- (r,q,b,c) ``tilde w_- (c,p,a,k)``tilde w_- (b,a,i,j) #=sum_a,b,c tilde w_- (p,q,a,b) ``tilde w_- (r,a,i,c)``tilde w_- (c,b,j,k)]

[eqn: sum_p,q tilde w_- (k,l,q,p)``tilde w_+ (q,p,i,j)=delta_ki delta_lj]

=

[eqn: sum_p,q tilde w_+ (k,l,q,p)``tilde w_- (q,p,i,j)=delta_ki delta_lj]

2. Partition Function for Braid

이제 위에서 정의한 Boltzmann weight들을 이용하여 knot invariant를 정의하고자 한다. 이를 위해 먼저 braid [eqn: beta]에 대하여 partition function [eqn: Z_beta]를 정의하자.

Braid [eqn: beta]에 있는 각각의 crossing [eqn: c]에 대하여, 만일 [eqn: c]가 (a)와 같은 positive crossing이면 [eqn: c]에 [eqn: tilde w_+ (l,k,i,j)] 값을 부여하고, 만일 [eqn: c]가 (b)와 같은 negative crossing이면 [eqn: c]에 [eqn: tilde w_- (l,k,i,j)] 값을 부여한다. 그런 후에 partition function을 아래와 같이 정의한다.

[eqn: Z_beta =SUM_s PI_c tilde w_+- (l,k,i,j)t^{-(a_1 +a_2 +cdots+a_n )}]

위에서 특별히 [eqn: t^{-(a_1 +a_2 +cdots+a_n )}] 항이 곱해진 것에 유념하자. partition function은 앞으로 knot invariant를 구하기 위해 Markov move에 invariant한 값을 구하기 위한 중간 과정으로 이렇게 정의하는 것이다. (이것은 4절에서 확인할 수 있다)

앞으로의 논의를 위해 [eqn: tilde Z_beta =SUM_s PI_c tilde w_+- (l,k,i,j)]와 같이 정의하자.

3. Braid representation and braid invariant

앞 절에서 정의한 partition function은 행렬의 trace와 깊은 관련을 맺고 있다. 예를 들어 [eqn: beta=sigma_1 `^3]인 경우를 살펴보자.

위에 의하여

[eqn: cases{tilde Z_beta&=1&+left{(- sqrt t )(1-t)(-sqrt t )right}&+(1-t)^3 &+left{(- sqrt t )^2 (1-t) right}&+left{(1-t) (- sqrt t )^2 right}&+1 #Z_beta&=t^-1 +&t^0 left{(- sqrt t )(1-t)(-sqrt t )right}+&t^0 (1-t)^3 &+t^0 left{(- sqrt t )^2 (1-t) right}&+t^0 left{(1-t) (- sqrt t )^2 right}&+t}]

이고, 결국 [eqn: tilde Z_beta =3-t^3], [eqn: Z_beta =t^-1 +1+t-t^3]이 성립한다. 여기에서 [eqn: mu_1 =bmatrix{1 over sqrt t&0#0& sqrt t}], [eqn: mu_2 =bmatrix{1&0#0&t}]라 정의하고, [eqn: mu_i ^(r) =mu_i □cdots □mu_i #r개~~~] 라 정의하자. 그러면

[eqn: tilde Z_beta =trace(R^3 )], [eqn: Z_beta =trace(mu_1 ^(2) R^3 )]

이 성립한다는 것에 주목하자. 마찬가지로 만일 [eqn: beta=sigma_1 `^k] 였다면

[eqn: tilde Z_beta =trace(R^k )], [eqn: Z_beta =trace(mu_1 ^(2) R^k )]

가 성립함을 알 수 있다. 즉 일반적으로 [eqn: beta in B_2]에 대해서

[eqn: tilde Z_beta =trace(R^{w(beta)} )], [eqn: Z_beta =trace(mu_1 ^(2) R^{w(beta)} )]

임을 알 수 있다.

그렇다면 만일 [eqn: beta in B_n]이면 [eqn: tilde Z_beta]와 [eqn: Z_beta]를 어떻게 해석할 수 있을까? trace를 이용하여 위와 비슷하게 해석할 수 있다. 이를 위해 2차 단위행렬 [eqn: I]에 대하여 다음을 정의하자.

[eqn: R_i =I□cdots□I□R□I□cdots□I #n개~~~~~~~~n-i-1개]

그러면 [eqn: beta=sigma_i_1 `^j_1 sigma_i_2 `^j_2 cdots sigma_i_k `^j_k in B_n]에 대하여

[eqn: tilde Z_beta =trace(R_i_1`^j_1 R_i_2`^j_2 cdots R_i_k`^j_k )], [eqn: Z_beta =trace(mu_1`^(n) R_i_1`^j_1 R_i_2`^j_2 cdots R_i_k`^j_k )]

이 성립한다. 여기에서 앞으로의 논의를 위해

[eqn: Z_beta prime =trace(mu_2`^(n) R_i_1`^j_1 R_i_2`^j_2 cdots R_i_k`^j_k )]

와 같이 정의하자. 그러면 tensor의 성질에 의해

[eqn: beta=sigma_i_1 `^j_1 sigma_i_2 `^j_2 cdots sigma_i_k `^j_k ~MAPSTO~ R_i_1`^j_1 R_i_2`^j_2 cdots R_i_k`^j_k in M_{2^n}]

는 braid representation이 되며, [eqn: tilde Z_beta], [eqn: Z_beta], [eqn: Z_beta prime]은 모두 braid invariant가 된다. (이로부터 앞의 1절의 unitary condition이 성립하는 것이다)

지금까지 과정에 의하면 우리는 braid invariant [eqn: tilde Z_beta]를 정의했고, 이것을 조금 변형하여 [eqn: Z_beta], [eqn: Z_beta prime]를 정의했다. 이것들은 trace를 이용하여 정의가 되었기 때문에 Markov move type 1에 의해서는 invariant가 된다. (이로부터 앞의 1절의 Yang-Baxter equation을 얻을 수 있다) 하지만 [eqn: tilde Z_beta]는 Markov move type 2에 대하여 invariant하지 않기 때문에, knot invariant를 얻기 위해서는 약간의 조정을 해주어야 한다. 이를 위해 [eqn: Z_beta], [eqn: Z_beta prime]을 정의한 것인데, 이것을 다음 절에서 자세히 살펴보자.

4. Braid group의 matrix representation과 Markov trace

먼저 braid [eqn: beta=sigma_i_1 `^j_1 sigma_i_2 `^j_2 cdots sigma_i_k `^j_k in B_n]을 [eqn: A=R_i_1`^j_1 R_i_2`^j_2 cdots R_i_k`^j_k in M_{2^n}]로 representation 시키고, 이 둘을 identify하자. 만일 [eqn: alpha~:~M_{2^n}~->~□]가 knot invariant를 induce한다면

[eqn: alpha(AB)=alpha(BA)], [eqn: alpha(AG_n )=alpha(AG_n `^-1 )=alpha(A)]

가 성립해야 한다. 하지만 trace는 [eqn: trace(AB)=trace(BA)]를 만족시키지만, [eqn: trace(AG_r )!=trace(A)]가 성립하므로, [eqn: alpha]를 trace로 정의할 수 없다. 즉 [eqn: tilde Z_beta]는 knot invariant를 induce할 수 없다는 것이다. 그러나 우리가 만일 trace와 비슷한 성질을 가진 함수 [eqn: phi](즉, [eqn: phi(AB)=phi(BA)]를 만족시키는 함수 [eqn: phi])를 찾고,

[eqn: phi(AG_n )=tau `phi(A)], [eqn: phi(AG_n `^-1 )=overline tau `phi(A)]

를 만족시키는 [eqn: tau,~overline tau]를 찾을 수 있다면,

[eqn: alpha(A)=(tau overline tau )^{- n-1 over 2 } left( overline tau over tau right)^{w(A) over 2}phi(A)]

라 정의해서 [eqn: alpha]로부터 knot invariant를 얻을 수 있다. 이것을 위해 [eqn: trace(AG_n )], [eqn: trace(A)] 사이의 관계식을 구하자.

위의 그림과 같이 가장 오른쪽에 있는 line의 state value가 [eqn: 1 over 2]로 고정시키고 [eqn: tilde Z_beta]를 구한 것과, [eqn: - 1 over 2]로 고정시키고 [eqn: tilde Z_beta]를 구한 것을 각각 [eqn: P,~Q]라 두자. 그러면 [eqn: trace(A)=P+Q]가 된다.

위의 그림과 같은 상황에서 [eqn: tilde Z_beta]를 구하면, 각각 [eqn: P], [eqn: (1-t)Q], [eqn: Q]가 된다. 그러므로 [eqn: trace(AG_n )=P+(1-t)Q+Q]가 된다.

마찬가지로 [eqn: trace(AG_n `^-1 )]을 계산하면 [eqn: trace(AG_n`^-1 )=P+(1- 1 over t )P+Q]임을 알 수 있다. 그러므로 만일 [eqn: phi(A)=trace(A)]와 같이 정의하면 [eqn: tau= {phi(AG_n )} over {phi(A)}], [eqn: overline tau = {phi(AG_n`^-1 )} over {phi(A)}]는 모두 [eqn: P,~Q]에 종속된 값이 되어서, 임의의 [eqn: A]에 대해서 잘 정의되지 않는다.

[eqn: tau]가 임의의 [eqn: A]에 대하여 잘 정의되기 위해서는 [eqn: a,~b,~c]를 잘 정의해서 [eqn: aP+b(1-t)Q+cQ]가 [eqn: P+Q]의 상수배가 되도록 만들어준 후, [eqn: phi(AG_n )=aP+b(1-t)Q+cQ]를 만족하도록 [eqn: phi]를 정의하면 된다. 이 조건을 만족시키는 가장 자연스러운 [eqn: a,~b,~c]의 선택은 [eqn: a=1,~b=c=t]이며, 이것은 [eqn: phi(A)=trace(mu_2 ^(r) A)]와 같이 정의했을 때에 가능하다. 또한 이 경우에는 [eqn: phi(AG_n `^-1 )=P+t left(1- 1 over t right)P+tQ=t(P+Q)]가 되어서, [eqn: overline tau] 또한 잘 정의된다. 즉 [eqn: phi(A)=trace(mu_2 ^(r) A)=Z_beta prime]와 같이 정의하면 [eqn: tau=1], [eqn: overline tau =t]가 되어서 우리가 원하는 조건을 만족시키게 된다. 이때 [eqn: phi]를 Markov trace라 정의한다.

여기에서 만일 [eqn: phi prime(A)=trace(mu_1 ^(r) A)=Z_beta]와 같이 정의한다면 [eqn: a= 1 over sqrt t], [eqn: b=c=sqrt t]가 되고, [eqn: tau= 1 over sqrt t], [eqn: overline tau = sqrt t]가 된다. 이때 [eqn: phi prime]도 Markov trace라 부르기로 하자.

5. Markov trace와 knot invariant

이제 knot invariant를 구하기 위해서 [eqn: alpha(A)]를 계산하자.

[eqn: alpha(A)=(tau overline tau )^{- n-1 over 2 } left( overline tau over tau right)^{w(A) over 2}phi(A)=t^{{w(A)-n+1} over 2} Z_beta prime]

마찬가지로 [eqn: phi] 대신 [eqn: phi prime]을 이용하여 계산을 하면

[eqn: alpha prime(A)=(tau overline tau )^{- n-1 over 2 } left( overline tau over tau right)^{w(A) over 2}phi(A)=t^{{w(A)} over 2} Z_beta]

을 얻는다. 그러므로 [eqn: alpha], [eqn: alpha prime]은 모두 knot invariant가 된다. 이때 trivial knot에 대해서 그 값이 1이 되는 invariant으로 normalize를 시키고 싶다면, [eqn: beta]의 completion이 knot [eqn: K]가 될 때

[eqn: {tilde P}_K (t)= t^{n over 2} over 1+t alpha(A)= sqrt t over 1+t alpha prime (A)]

와 같이 정의하면 된다. 그리고 만일 [eqn: K]의 component의 개수가 [eqn: l]이라면 [eqn: (-1)^l-1{tilde P}_K (t)]는 Jones polynomial이 됨을 Skein relation을 이용하여 보일 수 있다.